【期中单元重点题型】（苏科版）2023-2024学年八年级数学上册 第一章+全等三角形模型归纳（知识拓展）

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第一章 全等三角形 拓展知识 模型拓展1 双垂直模型一、双垂直模型①双垂直中的角度关系②双垂直中的全等关系 ∠A=∠C∠A=∠C，∠AFB=∠E若AF=CE，则△ABF≌△CBE△ABC、△BEF为等腰直角三角形 典例1 例1如图，在△ABC中， AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线与F，E为垂直，则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC﹢CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE．其中正确结论的个数是（    ）． A．1            B．2            C．3            D．4【答案】D【解析】解析：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠FAE．∵BE⊥AD，∴∠AEB=∠AEF=90°．∴∠F+∠FBC=90°，∠F+∠FAE=90°，∴∠FBC=∠FAE．∵∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACB=∠AEF=90°．在△ACD和△BCF中，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD=BF，CD=CF．在△AEB和△AEF中，∴△AEB≌△AEF（ASA），∴AB=AF，BE=EF．∴BF=2BE．∵CD≠EF，∴CF≠BE，∵AC+CF=AF，∴AC+CD=AF，∴AC+CD=AB． 跟踪训练1 如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，则CF=_______．【答案】8【解析】解析：∵BD⊥CF，∠ACB=90°，AF⊥CF，∴∠DCB+∠DBC=∠DCB+∠ACF=90°，∴∠DBC=∠ACF；∴∠CAF=∠BCD（等角的余角相等）；在△AFC和△CDB中，，∴△AFC≌△CDB（ASA），∴CD=AF=3，∴CF=CD+DF=3+5=8． 拓展2 三垂直模型二、三垂直模型模型描述△ABC是等腰直角三角形， 图①为一条直线经过直角顶点A，过△ABC的外侧， 图②、③为一条直线经过直角顶点A，过△ABC的内侧， BM与CN分别垂直于过A点的直线． 核心结论：△ABM≌△CAN（AAS）图①：MN=BM﹢CN          图②：MN=CN﹣BM         图③：MN=BM﹣CN 例2如图，锐角△ABC分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N．求证：EM﹢FN=AB．  【答案】见解析【解析】解析：如图，过C作CG⊥AB，∴∠CAG+∠ACG=90°，∵△AEC为等腰直角三角形，∴∠EAC=90°，AE=AC，∴∠CAG+∠EAM=90°，∴∠ACG=∠EAM，∵在△ACG和△EAM中，，∴△ACG≌△EAM（AAS），∴EM=AG，同理GB=FN，∴AB=AG+GB=EM+FN．  例3．如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．（1）证明：DE=BD﹢CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD﹢CE是否还成立？如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．  （3）如图（3），D、E是直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）见解析（2)见解析（3）等边三角形【解析】解析：（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，CE=DA，∴DE=AE+DA=BD+CE；（2）成立，证明如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，∴∠BAD+∠CAE=180°﹣α，且∠DBA+∠BAD=180°﹣α，∴∠DBA=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，CE=DA，∴DE=AE+DA=BD+CE；（3）∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠BAC=∠BAF+∠CAF=120°，∴∠BDA=∠BAC=120°，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠ABD，∴△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，∠ABD=∠ACE，∵∠DBF=60°+∠ABD，∠FAE=60°+∠CAE，∴∠DBF=∠FAE，在△BDF和△AEF中，∴△BDF≌△AEF（SAS）∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∵∠BFD+∠AFD=60°，∴∠AFE+∠AFD=60°，即∠DFE=60°∴△DEF是等边三角形 跟踪训练2王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．（1）求证：；（2）求两堵木墙之间的距离．  【答案】（1）证明见解析；（2）两堵木墙之间的距离为．【解析】（1）证明：由题意得：，，∴，∴，∴在和中，∴；（2）解：由题意得：，∵，∴，∴，答：两堵木墙之间的距离为． 拓展3 手拉手模型三、手拉手模型模型要点：两个等腰三角形共顶点常考图形等边三角形手拉手等腰直角三角形（正方形）手拉手核心结论：①△ABE≌△CBD；AE=CD②∠AFC=∠EFD=60°核心结论：①△ABG≌△CBE；AG=CE②∠AHC=∠GHE=90°（AG⊥CE） 例4如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于，连接、，求证：=并求出的度数.【答案】90°【解析】解析：∵四边形BAFE和四边形ACGD是正方形∴AB=AF，AC=AD，∠BAF=∠CAD=90°∴∠BAF+∠DAF=∠CAD+∠DAF即∠BAD=∠FAC在△BAD和△FAC中∴△BAD≌△FAC（SAS）∴BD=CF，∠ACF=∠ADB∴∠DOH=∠CAD=90° 例5小明和同学小颖在学习了全等三角形后，研究了以下问题：（1）探索：如图2，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，试说明：BD=CE． （2）拓展：如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．试判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由． 【答案】AE=BE+2CM【解析】解析：（1）∵△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAE又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE∴BD=CE（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°∴∠CED=∠CDE=45°，∠ECB=∠DCA，EC=DC，BC=AC得△ECB≌△DCA又由于点A，D，E在同一个一直线上∴∠CEB=∠CDA=180°﹣∠CDE=135°，AD=BE∠AEB=∠BEC﹣∠DEC=135°﹣45°=90°又∵CM为△DCE中DE边上的高，而且△DCE为等腰直角三角形得DE=2CM故AE=AD+DE=BE+2CM 跟踪训练3 如图，为线段上一点，分别以、为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点，求证：．【答案】见解析【解析】解析：在等边三角形ACD和等边三角形BCE中，AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∵∠ACD+∠DCE+∠BCE=180°，∴∠DCE=60°，∠ACE=∠DCB=120°，在△ACE和△DCB中，AC=DC，∠ACE=∠DCB，CE=CB，∴△ACE≌△DCB（SAS），易证△GCE≌△HCB，∴CH=CG，∴∠CGH=∠CHG，∵∠GCH+∠GHC+∠CGH=180°，∴∠GHC=∠CGH=60°，∴∠ACG=∠CGH=60°，∴GH//AB  拓展4 半角模型四、半角模型模型描述从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线AE、AF，并连接EF构成的几何模型辅助线画法：延长CB，使BF′=DF，连接AF′（本质：旋转△ADF至△ABF′）核心结论：△ADF≌△ABF′（SAS），△AEF≌△AEF′（SAS），EF=DF﹢BE 例6：如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．【答案】6【解析】解析：延长AB至F，使BF=CN，连接DF，∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°，∵△ABC是边长为3的等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠DBA=∠DCA=90°，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC，∴△BDF≌△CND，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°∴∠FDM=60°=∠MDN∴△DMN≌△DMF∴MN=MF∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6 跟踪训练4 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF. 求证：. 【答案】见解析【解析】解析：把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，如图，∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF，∵∠B+∠D=180°，∴∠B+∠ABG=180°，∴点G、B、C共线，∵BE+FD=EF，∴BE+BG=GE=EF，在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF，∴∠EAG=∠EAF，而∠BAG=∠DAF，∴∠EAB+∠DAF=∠EAF，∴∠EAF=∠BAD．   1．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】解：，，于，于，，，又，，．，，．故选：C．2．如图，，则（   ） A． B． C． D．【答案】B【解析】，，．在和中，，，．．．故选：B． 3．如图，为等腰直角三角形，，．(1)求证：；(2)求证：【答案】(1)见解析；(2)见解析．【解析】（1）证明：是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，在与中，，∴（2）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴． 4．如图，点C为线段上一点，在，中，，，，连接交于点E，连接交于点F，线段，交于点O，求证：  (1)(2)(3)【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】（1）证明：∵，∴，即：，又，，∴，∴；（2）∵，∴，∵点C为线段上一点，，∴，又，∴；（3）∵，，∴． 5．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）【答案】(1)，证明见解析；(2)，，．【解析】（1）证明：如图2，∵，，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴（AAS），∴，∵，∴．（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，．如图1时，，如图2时，，如图3时，，（证明同理） 6．如图，四边形和四边形是正方形，（正方形四条边都相等，四个内角都是直角）【感知】（1）某学习小组探究如下问题：如图1，连接，，直线于点H，交于点M，则与面积的大小关系是：_________．【探究】（2）该学习小组在探究（1）中面积问题时，发现M为中点，你认为是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【拓展】（3）经过以上探究，该学习小组也提出问题：若正方形和正方形的位置如图2所示，点M为中点，连接交于点H，那么与有怎样的关系?试探究，并说明理由   【答案】（1）；（2）成立；理由见解析；（3），；理由见解析【解析】解：（1）过点E作于点Q，延长，过点G作于点P，如图所示：  则，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：．（2）成立；理由如下：过点E作于点P，过点B作于点Q，如图所示：  ∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理得：，∴，∴，  ∵，，∴，∴，∴M为中点．（3），．理由如下：延长，在延长线上截取，连接、，如图所示：  ∵M为的中点，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，  ∴，∵，，∴，即，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，  ∴，∴．7．（1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：；（2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见证明；（2）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD，证明见详解．【解析】解：（1）证明：如图，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠3．∵∠EAF∠BAD，∴∠2+∠4∠BAD＝∠EAF．∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，∴EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF．在△AGE与△AFE中，，∴△AEG≌△AEF，∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．