2020年高二上学期期末数学《圆锥曲线》复习专题

这是一份2020年高二上学期期末数学《圆锥曲线》复习专题，共48页。
2020年高二上学期期末数学《圆锥曲线》复习专题
一．选择题（共18小题）
1．（2019秋•越秀区期末）抛物线y2＝x的焦点坐标是（　　）
A．（） B．（） C．（0，） D．（0，）
2．（2019秋•越秀区期末）双曲线﹣＝1的一条渐近线方程是（　　）
A．3x﹣4y＝0 B．4x﹣3y＝0 C．9x﹣16y＝0 D．16x﹣9y＝0
3．（2019秋•越秀区期末）设a＞0，b＞0，则“b＞a”是“椭圆+＝1的焦点在y轴上”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2019秋•越秀区期末）已知圆锥曲线C的方程是5x2﹣6xy+5y2＝8，则下列命题中是假命题的是（　　）
A．曲线C上的点的横坐标x的取值范围是[﹣，]
B．曲线C关于直线y＝x对称
C．曲线C上的点到曲线C的对称中心的最远距离为2
D．曲线C的离心率是
5．（2019秋•天河区校级期末）已知双曲线，A，B分别是双曲线的左右顶点，点P是双曲线右支上一点，AP与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且BM与BP的倾斜角互补，若点M在圆x2+y2＝a2的内部，则双曲线离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．（2019秋•广州期末）已知双曲线的方程为：，则双曲线的焦距长为（　　）
A． B． C．5 D．10
7．（2019秋•广州期末）双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若PO⊥PF，则△PFO的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2019秋•天河区期末）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，若|AF|＝4，|BC|＝2|BF|，且|AF|＞|BF|，则此抛物线的方程为（　　）
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x
9．（2020•湖北模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（　　）
A．x2＝1 B．
C． D．
10．（2018秋•荔湾区期末）双曲线的焦距是（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
11．（2018•长春二模）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为（　　）
A． B．1 C． D．
12．（2018秋•荔湾区期末）F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F1作x轴的垂线与双曲线交于M，N两点，，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
13．（2017秋•荔湾区校级期末）若直线y＝kx﹣2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（　　）
A．（，） B．（0，） C．（1，） D．（，﹣1）
14．（2017秋•广州期末）椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（　　）
A．＝1 B．+y2＝1
C．＝1 D．＝1
15．（2017秋•广州期末）已知椭圆C的中心在原点，左焦点F1右焦点F2均在x轴上，A为椭圆的右顶点，B为椭圆的上端点，P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
16．（2019•河西区二模）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝x
17．（2015•深圳一模）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）的左、右焦点，点P在C上，若PF1⊥F1F2，且PF1＝F1F2，则C的离心率是（　　）
A．﹣1 B． C．+1 D．﹣1
18．（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（　　）
A． B．6 C．12 D．7
二．填空题（共5小题）
19．（2020•四川模拟）双曲线的焦点到渐近线的距离为　 　．
20．（2020•靖远县模拟）已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，△POF2为正三角形，则C的离心率为　 　．
21．（2019秋•天河区校级期末）已知双曲线过点（2，3），渐近线方程为，则该双曲线的标准方程是　 　．
22．（2018秋•荔湾区期末）点P（x，y）满足等式＝2，过点（2，0）的直线l交动点P的轨迹曲线E于A，B两点，若曲线E上存在点C，使四边形AOBC（O为坐标原点）恰为平行四边形，则直线l的斜率为　 　
23．（2017秋•荔湾区校级期末）在直角坐标系xOy中，已知直线x+y﹣2＝0与椭圆C：+＝1（a＞b＞0）相切，且椭圆C的右焦点F（c，0）关于直线y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为　 　．
三．解答题（共17小题）
24．（2019秋•越秀区期末）已知直线x＝4与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，且△OAB是等腰直角三角形．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l过定点（﹣2，1），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？
25．（2019秋•越秀区期末）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为10．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆+y2＝1上，O为原点，点Q，M，N满足＝+3，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
26．（2019秋•天河区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，D（x0，y0）为AB的中点，且|AF|+|BF|＝1+2x0．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若x1x2+y1y2＝﹣1，求的最小值．

27．（2020•成武县校级模拟）如图，已知圆A：（x+1）2+y2＝16，点B（1，0）是圆A内一个定点，点P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线l1和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点D（4，0）的直线l2与曲线C相交于M、N两点（点M在D、N两点之间）．是否存在直线l2使得？若存在，求直线l2的方程；若不存在，请说明理由．

28．（2019秋•广州期末）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，并且经过点，抛物线C的焦点为F，准线为l．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F且斜率为的直线h与抛物线C相交于A、B两点，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D、E，求四边形ABED的面积．
29．（2019秋•天河区期末）已知椭圆C：x2+2y2＝36．
（1）求椭圆C的短轴长和离心率；
（2）过点（2，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，点P（4，0），判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．
30．（2019秋•天河区期末）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x＝﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|＝|FB|，若平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过点F（1，0）？并说明理由．
31．（2019秋•天河区期末）已知m为实数，命题p：方程表示双曲线；命题q：函数的定义域为R．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p与命题q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
32．（2019•西湖区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（1，2）．
（1）求C的标准方程和焦点坐标；
（2）斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．
33．（2018秋•荔湾区期末）已知F1、F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上、下焦点，A为左顶点，过点F1、A的直线与椭圆的另一个交点为B，∠BAF2＝90°，|F2B|＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y＝kx+m与椭圆交于E、F两点，且线段EF的中点在直线y＝1上，求|EF|的最大值．
34．（2012•鹿城区校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）若m＝1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得恒为定值．

35．（2017秋•荔湾区校级期末）已知双曲线C：，如图，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足：成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P
（1）求证：．
（2）若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E、D，求双曲线离心率e的取值范围．

36．（2017•上饶县模拟）已知圆M：x2+y2＝r2（r＞0）与直线l1：相切，设点A为圆M上一动点，AB⊥x轴于B，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P、Q两点，求△OPQ（O为坐标原点）面积的最大值．
37．（2014•宜春二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．
38．（2017秋•马鞍山期末）已知圆C与y轴相切于点A（0，1），且被x轴所截得的弦长为，圆心C在第一象限．
（1）求圆C的方程；
（2）若点P是直线l：3x+4y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线，切点为B，求△PBC面积的最小值．
39．（2016•西宁模拟）已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y＝kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

40．（2011•咸阳三模）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

2020年高二上学期期末数学《圆锥曲线》复习专题
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．（2019秋•越秀区期末）抛物线y2＝x的焦点坐标是（　　）
A．（） B．（） C．（0，） D．（0，）
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用抛物线的标准方程，直接写出焦点坐标即可．
【解答】解：抛物线y2＝x的焦点坐标是（）．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
2．（2019秋•越秀区期末）双曲线﹣＝1的一条渐近线方程是（　　）
A．3x﹣4y＝0 B．4x﹣3y＝0 C．9x﹣16y＝0 D．16x﹣9y＝0
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】直接由双曲线的渐近线的定义可得渐近线的方程．
【解答】解：由双曲线的方程可得a2＝16，b2＝9，焦点在x轴上，所以渐近线的方程为：y＝x＝x，即3x±4y＝0，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．
3．（2019秋•越秀区期末）设a＞0，b＞0，则“b＞a”是“椭圆+＝1的焦点在y轴上”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑；数学运算．
【分析】利用椭圆的焦点在y轴上的充要条件即可得出．
【解答】解：“b＞a”⇔“椭圆+＝1的焦点在y轴上”，
∴“b＞a”是“椭圆+＝1的焦点在y轴上”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的焦点在y轴上的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（2019秋•越秀区期末）已知圆锥曲线C的方程是5x2﹣6xy+5y2＝8，则下列命题中是假命题的是（　　）
A．曲线C上的点的横坐标x的取值范围是[﹣，]
B．曲线C关于直线y＝x对称
C．曲线C上的点到曲线C的对称中心的最远距离为2
D．曲线C的离心率是
【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由关于y的二次方程5y2﹣6xy+5x2﹣8＝0有实数解，运用判别式非负，解得x的范围，可判断A；将x换为y，y换为x，方程不变，可判断B；由旋转变换公式可得，代入原方程化简可得椭圆方程，由椭圆的性质可判断C，D．
【解答】解：方程5x2﹣6xy+5y2＝8，可看做关于y的二次方程5y2﹣6xy+5x2﹣8＝0，
根据方程有实数解的条件可得△＝36x2﹣4×5（5x2﹣8）≥0，解得﹣≤x≤，故A正确；
将x换为y，y换为x，可得方程5x2﹣6xy+5y2＝8不变，则圆锥曲线C关于直线y＝x对称；
同样将x换为﹣y，y换为﹣x，可得方程5x2﹣6xy+5y2＝8不变，则圆锥曲线C关于直线y＝﹣x对称，
故B正确；
由旋转变换公式可得，代入曲线C的方程可得5×﹣6××+5×＝8，
化为+y'2＝1，即为椭圆方程，且长轴长为4，即曲线C上的点到曲线C的对称中心O的最远距离为2，离心率为e＝＝，故C正确，D错误．
故选：D．

【点评】本题考查圆锥曲线的方程和性质，考查化简变形能力和运算能力、推理能力，以及数形结合思想，属于难题．
5．（2019秋•天河区校级期末）已知双曲线，A，B分别是双曲线的左右顶点，点P是双曲线右支上一点，AP与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且BM与BP的倾斜角互补，若点M在圆x2+y2＝a2的内部，则双曲线离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由双曲线的方程写出A，B的坐标，再由题意设M的坐标，求出直线BM的斜率，由题意可得直线BP的斜率，和AP的斜率，设直线AP，BP的方程，两个方程联立求出交点P的坐标，再由P在双曲线上，代入求出M的横坐标，再由M在圆的内部可得Aa，b的关系，进而求出离心率的范围．
【解答】解：由题意A（﹣a，0），B（a，0），设M（x0，），则kBM＝＝，
因为BM与BP的倾斜角互补，所以kBP＝﹣kBM＝﹣，
所以直线AP的方程为：y＝（x+a），
直线BP的方程为：y＝（x﹣a），
两个方程联立可得xP＝，yP＝b，
又因为P在双曲线上，所以＝1，所以x02＝
又因为点M在圆x2+y2＝a2的内部，所以x02+x02＜a2
即+＜a2，所以b2＜a2，
可得c2＜2a2，所以可得e2＜2，
又e＞1，
所以双曲线离心率的取值范围为（1，），
故选：A．
【点评】考查双曲线的性质，属于中档题．
6．（2019秋•广州期末）已知双曲线的方程为：，则双曲线的焦距长为（　　）
A． B． C．5 D．10
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用双曲线方程求出a，b，然后求出c 即可得到结果．
【解答】解：双曲线的方程为：，
可得a＝4，b＝3，所以c＝5，
所以双曲线的焦距长为：2c＝10．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
7．（2019秋•广州期末）双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若PO⊥PF，则△PFO的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出三角形POF的顶点P的坐标，然后求解面积即可．
【解答】解：双曲线的右焦点为F（2，0），渐近线方程为：y＝x，不妨P在第一象限，
PO⊥PF，可得tan∠POF＝，P（，），
所以△PFO的面积为：×2×＝．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
8．（2019秋•天河区期末）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，若|AF|＝4，|BC|＝2|BF|，且|AF|＞|BF|，则此抛物线的方程为（　　）
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x
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【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，在直角三角形ADC中求线段PF长度即可得p值，进而可得方程．
【解答】解：如图过A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，
过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，P为准线与x轴的焦点，
由抛物线的定义，|BF|＝|BE|，|AF|＝|AD|＝4，
∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BE|，∴∠DCA＝30°
∴|AC|＝2|AD|＝8，∴|CF|＝8﹣4＝4，
∴|PF|＝＝2，即p＝|PF|＝2，
∴所以抛物线方程为：y2＝4x，
故选：C．

【点评】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．
9．（2020•湖北模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（　　）
A．x2＝1 B．
C． D．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得|AF2|＝|F2F1|＝2c，由双曲线的定义可得|AF1|＝2a+2c，再由三角形的余弦定理，可得3c＝5a，4c＝5b，即可得到所求方程．
【解答】解：若（+）•＝0，即为若（+）•（﹣+）＝0，
可得2＝2，即有|AF2|＝|F2F1|＝2c，
由双曲线的定义可得|AF1|＝2a+2c，
在等腰三角形AF1F2中，tan∠AF2F1＝﹣，
cos∠AF2F1＝﹣＝，
化为3c＝5a，
即a＝c，b＝c，
可得a：b＝3：4，a2：b2＝9：16．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．
10．（2018秋•荔湾区期末）双曲线的焦距是（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；综合法；高考数学专题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的标准方程以及简单性质，求解即可．
【解答】解：双曲线可得，a＝2，b＝2，c＝2，
所以双曲线的焦距是：4．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
11．（2018•长春二模）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为（　　）
A． B．1 C． D．
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，设△ABF1内切圆的半径为r，由椭圆的方程分析可得a、b、c的值，由勾股定理分析可得|AF1|2﹣|AF2|2＝4，|AF1|+|AF2|＝2a＝4，解可得|AF1|与|AF2|的值，计算可得△ABF1的周长与面积，由内切圆的性质计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设△ABF1内切圆的半径为r；
椭圆的方程为，
其中a＝＝2，b＝，c＝＝1，则||F1F2|＝2c＝2，
AB与x轴垂直，
则有|AF1|2﹣|AF2|2＝4，|AF1|+|AF2|＝2a＝4，
解可得：|AF1|＝，|AF2|＝，
△ABF1的周长l＝|AF1|+|BF1|+|AB|＝4+2c＝8，
其面积S＝×|AB|×|F1F2|＝3，
由内切圆的性质可知，有r×l＝S，解可得r＝．
故选：D．

【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意利用三角形面积公式进行转化．
12．（2018秋•荔湾区期末）F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F1作x轴的垂线与双曲线交于M，N两点，，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】画出图形，求出cos∠OF2M，然后通过，求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：由题意可知：|MF2|＝2a+，
cosα＝＝．
，
可得：＝，
可得：＝8e，
解得e＝或e＝（舍去）．
故选：A．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
13．（2017秋•荔湾区校级期末）若直线y＝kx﹣2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（　　）
A．（，） B．（0，） C．（1，） D．（，﹣1）
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【专题】方程思想；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理．
【分析】联立直线与双曲线方程得，（1﹣k2）x2+4kx﹣10＝0，若直线y＝kx﹣2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，则，即可解出答案．
【解答】解：联立直线与双曲线方程得，
（1﹣k2）x2+4kx﹣10＝0，
若直线y＝kx﹣2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，则
，
解得：1＜k＜，
故选：C．
【点评】本题考查直线与双曲线的相交问题，属于中档题．
14．（2017秋•广州期末）椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（　　）
A．＝1 B．+y2＝1
C．＝1 D．＝1
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】用正方形的正方形边长为2，得|AF1|＝|AF2|＝a＝2，|F1F2|＝2，c＝b即可
【解答】解：设左右焦点为F1、F2，上顶点为A，正方形边长＝2，
∴|AF1|＝|AF2|＝a＝2，|F1F2|＝2，c＝b＝，
则椭圆E的标准方程为：+＝1．
故选：C．
【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，属于基础题．
15．（2017秋•广州期末）已知椭圆C的中心在原点，左焦点F1右焦点F2均在x轴上，A为椭圆的右顶点，B为椭圆的上端点，P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
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【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先画出图形，设椭圆方程为，求出P，F2，A，B四点的坐标，从而根据PF2∥AB即可得kPF2＝kAB，从而可得到b＝2c，根据a2＝b2+c2即可得出a＝c，从而得到该椭圆的离心率．
【解答】解：如图，
设椭圆方程为，
∴x＝﹣c时，y2＝，∴P（﹣c，），F2（c，0）；
又A（a，0），B（0，b），PF2∥AB；
∴；
∴﹣＝﹣；
∴b＝2c；
a＝＝c；
∴＝；
即椭圆的离心率为：．
故选：D．

【点评】考查椭圆的标准方程，根据椭圆标准方程可表示椭圆的焦点及顶点坐标，根据椭圆的方程，已知椭圆上点的横坐标能求其纵坐标，根据两点坐标求直线斜率，以及两平行直线的斜率关系，椭圆离心率的概念及计算．
16．（2019•河西区二模）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝x
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【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，由双曲线的离心率为，分析可得e2＝＝＝1+＝，计算可得的值，结合焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程即可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，
则有e2＝＝＝1+＝，
即＝，即有＝，
又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y＝±x；
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，注意双曲线的焦点的位置．
17．（2015•深圳一模）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）的左、右焦点，点P在C上，若PF1⊥F1F2，且PF1＝F1F2，则C的离心率是（　　）
A．﹣1 B． C．+1 D．﹣1
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【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：可设F1F2＝2c，则PF1＝2c，
在直角三角形PF1F2中，PF2＝＝2c，
由双曲线的定义可得，PF2﹣PF1＝2a，
即2（﹣1）c＝2a，
则e＝＝＝1+．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．
18．（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（　　）
A． B．6 C．12 D．7
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．
【解答】解：由y2＝3x得其焦点F（，0），准线方程为x＝﹣．
则过抛物线y2＝3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝tan30°（x﹣）＝（x﹣）．
代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2＝，
所以|AB|＝x1++x2+＝++＝12
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．
二．填空题（共5小题）
19．（2020•四川模拟）双曲线的焦点到渐近线的距离为　　．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由双曲线方程求得焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解．
【解答】解：由双曲线，得焦点坐标为F（±4，0），
渐近线方程为y＝，
不妨取焦点坐标为（4，0），一条渐近线方程为．
则焦点到渐近线的距离为d＝．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．
20．（2020•靖远县模拟）已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，△POF2为正三角形，则C的离心率为　﹣1　．
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】根据△POF2为等边三角形，可得在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，在根据直角形和椭圆定义可得；
【解答】解：连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，
∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（+1）c，
故曲线C的离心率e＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，属中档题．
21．（2019秋•天河区校级期末）已知双曲线过点（2，3），渐近线方程为，则该双曲线的标准方程是　　．
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为：﹣x2＝λ，将点（2，3）代入方程中，计算可得λ的值，即可得双曲线的方程，将其方程变形为标准方程即可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为，则可以设其方程为：﹣x2＝λ，（λ≠0），
又由双曲线过点（2，3），
则有﹣22＝λ，
解可得λ＝﹣1，
则其方程为：﹣x2＝﹣1．即，
故答案是：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．
22．（2018秋•荔湾区期末）点P（x，y）满足等式＝2，过点（2，0）的直线l交动点P的轨迹曲线E于A，B两点，若曲线E上存在点C，使四边形AOBC（O为坐标原点）恰为平行四边形，则直线l的斜率为　±1　
【考点】轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设出点的坐标，结合椭圆的定义求出轨迹方程，利用直线和椭圆的位置关系，利用设而不求思想进行转化求解即可．
【解答】解：设F1（﹣2，0），F2（2，0），
则由＝2等价为|PF1|+|PF2|＝2
由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆，椭圆方程为+＝1，其中a＝，c＝2，则b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，
所以动点P的轨迹方程为：+＝1．
若直线l垂直x轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线l对称，此时点C坐标为（4，0）．
因为4＞，所以点C在椭圆E外，所以直线与x轴不垂直，
故可设直线的方程为y＝k（x﹣2），
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则联立，整理得（3+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣30＝0，
则由题知x1+x2＝，y1+y2＝，
因为四边形AOBC为平行四边形，
所以＝，所以点C的坐标为（，），
代入椭圆方程得+＝1，解得k2＝1，所以k＝±1．
故答案为：±1
【点评】本题主要考查轨迹方程的应用以及直线和椭圆位置关系的应用，根据椭圆的定义求出轨迹方程以及利用设而不求思想进行求解是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
23．（2017秋•荔湾区校级期末）在直角坐标系xOy中，已知直线x+y﹣2＝0与椭圆C：+＝1（a＞b＞0）相切，且椭圆C的右焦点F（c，0）关于直线y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为　1　．
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【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆的另一个焦点为F'，运用点到直线的距离公式以及中位线定理、对称性，可得|EF'|＝，|EF|＝，
运用椭圆的定义，化简为b＝c，即a2＝2b2，再由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a，b，c，运用三角形的面积公式可得所求值．
【解答】解：设椭圆的另一个焦点为F'，
可得|EF|+|EF'|＝2a，
F到直线y＝x的距离为d＝＝，
即有|EF|＝，
由EF的方程为y＝﹣（x﹣c），
可得O到EF的距离为＝，
由中位线定理可得|EF'|＝，
由椭圆的定义可得+＝2a，
化为2（a2﹣c2）＝2bc，
化为b＝c，即a2＝2b2，
直线x+y﹣2＝0与椭圆C：+＝1（a＞b＞0）相切，
可得（a2+2b2）y2﹣8b2y+8b2﹣a2b2＝0，
即有△＝64b4﹣4（a2+2b2）（8b2﹣a2b2）＝0，
化为a2+2b2＝8，
解得a＝2，b＝c＝，
则|EF|＝＝2，O到EF的距离为＝1，
则△OEF的面积为×2×1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于较难题．
三．解答题（共17小题）
24．（2019秋•越秀区期末）已知直线x＝4与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，且△OAB是等腰直角三角形．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l过定点（﹣2，1），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？
【考点】抛物线的标准方程；直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】方程思想；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）将x＝4代入抛物线的方程，求得A，B的坐标，由等腰直角三角形的性质可得OA⊥OB，再由两直线垂直的条件，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；
（2）由题意可得直线l与抛物线的对称轴平行，可得k＝0，又直线和抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，可得所求值．
【解答】解：（1）直线x＝4与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，
可设A（4，2），B（4，﹣2），
又△OAB是等腰直角三角形，可得OA⊥OB，
则•＝﹣1，解得p＝2，
即有抛物线的方程为y2＝4x；
（2）直线l过定点（﹣2，1），斜率为k，可设直线l的方程为y﹣1＝k（x+2），
当直线l平行于抛物线的对称轴x轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即k＝0；
当直线l与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，
由可得k2x2+[2k（1+2k）﹣4]x+（1+2k）2＝0，k≠0，
由△＝[2k（1+2k）﹣4]2﹣4k2（1+2k）2＝16（1﹣k﹣2k2）＝0，解得k＝﹣1或k＝，
综上可得k＝0或k＝﹣1或k＝，直线l与抛物线C只有一个公共点．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，主要是直线和抛物线有交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
25．（2019秋•越秀区期末）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，且△PF1F2面积的最大值为10．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆+y2＝1上，O为原点，点Q，M，N满足＝+3，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
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【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可求出椭圆方程；
（2）设Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），所以，，，由＝+3得，代入得＝3+27+6（x1x2+2y1y2），所以x1x2+2y1y2＝0，即，从而得到直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为﹣．
【解答】解：（1）由题意可知：，解得，
∴椭圆C的方程为：；
（2）设Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），
∴，，，
∵＝+3，
∴（x0，y0）＝（x1，y1）+3（x2，y2），∴，
∴＝＝＝3+27+6（x1x2+2y1y2）＝30，
∴x1x2+2y1y2＝0，
∴，即，
∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为﹣．
【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．
26．（2019秋•天河区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，D（x0，y0）为AB的中点，且|AF|+|BF|＝1+2x0．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若x1x2+y1y2＝﹣1，求的最小值．

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【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）根据题意，根据抛物线的定义知|AF|+|BF|＝x1+x2+p，x1+x3＝2xD，分析可得|AF|+|BF|＝1+2xD，解可得p的值，代入抛物线的方程即可得答案；
（2）设直线l的方程为x＝my+b，代入抛物线方程，得y2﹣2my﹣2b＝0，由根与系数的关系分析可得b的值，由此表示|AB|，进而可以用m表示，由基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据抛物线的定义知|AF|+|BF|＝x1+x2+p，x1+x3＝2xD，
∵|AF|+|BF|＝1+2xD，
∴p＝1，
∴y2＝2x．
（2）设直线l的方程为x＝my+b，代入抛物线方程，得y2﹣2my﹣2b＝0，
∵x1x2+y1y2＝﹣1，即，
∴y1y2＝﹣2，即y1y2＝﹣2b＝﹣2，
∴b＝1，
∴y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2，
＝＝，
，
∴，
令t＝m2+1，t∈[1，+∞），
则；
即的最小值为．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是求出抛物线的标准方程．
27．（2020•成武县校级模拟）如图，已知圆A：（x+1）2+y2＝16，点B（1，0）是圆A内一个定点，点P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线l1和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点D（4，0）的直线l2与曲线C相交于M、N两点（点M在D、N两点之间）．是否存在直线l2使得？若存在，求直线l2的方程；若不存在，请说明理由．

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【专题】计算题；综合法；高考数学专题；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）求出圆A：（x+1）2+y2＝16与x轴的交点，得到c＝1，推出|QP|＝|QB|，判断点Q的轨迹是以A（﹣1，0），B（1，0）为焦点，长轴长2a＝4的椭圆，转化求解即可．
（2）存在直线l2使得，因为点D在曲线外，直线l2与曲线C相交，设直线l2的方程为y＝k（x﹣4），
设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＞x2），联立，得（3+4k2）x2﹣32k2x+（64k2﹣12）＝0，利用韦达定理以及向量关系，转化求解直线方程即可．
【解答】解：（1）∵因为A：（x+1）2+y2＝16，所以A（﹣1，0），r＝4，B（1，0），
因为线段BP的垂直平分线为l1，所以|QP|＝|QB|，
所以AP＝AQ+QP＝AQ+QB＝4，
因为4＞|AB|，
所以点Q的轨迹是以A（﹣1，0），B（1，0）为焦点，长轴长2a＝4的椭圆，
因为a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆的方程为．
（2）存在直线l2使得，因为点D在曲线外，直线l2与曲线C相交，
所以直线l2的斜率存在，设直线l2的方程为y＝k（x﹣4），
设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＞x2）
由，得（3+4k2）x2﹣32k2x+（64k2﹣12）＝0，
所以，
由题意知△＝（﹣32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，解得，
因为，
所以x2﹣4＝2（x1﹣4）⇒x2＝2x1﹣4③，
把③代入①得：，
把④代入②得：，满足，
所以直线l2的方程为：或．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
28．（2019秋•广州期末）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，并且经过点，抛物线C的焦点为F，准线为l．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F且斜率为的直线h与抛物线C相交于A、B两点，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D、E，求四边形ABED的面积．
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【专题】计算题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）设抛物线为y2＝2px（p＞0），利用点（1，﹣2）在抛物线上，求出p＝2，得到抛物线的方程．
（2）不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），过F且斜率为的直线h的方程为，由，得3x2﹣10x+3＝0，所以，然后求解A、B坐标，转化求解四边形的面积．
【解答】解：（1）根据题意，设抛物线为y2＝2px（p＞0）
因为点（1，﹣2）在抛物线上，所以（﹣2）2＝2p，即p＝2
所以抛物线的方程为y2＝4x．
（2）由（1）可得焦点F（1，0），准线为l：x＝﹣1，
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），
过F且斜率为的直线h的方程为，
由，得3x2﹣10x+3＝0，所以，
代入，得，
所以，
所以
因为四边形ABED是直角梯形，所以四边形ABED的面积为．

【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
29．（2019秋•天河区期末）已知椭圆C：x2+2y2＝36．
（1）求椭圆C的短轴长和离心率；
（2）过点（2，0）的直线l与椭圆C相交于两点M，N，设MN的中点为T，点P（4，0），判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．
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【分析】（1）由题，椭圆C：x2+2y2＝36可变形为，即可得出短轴长及其离心率．
（2）当l为x＝2时，代入C：x2+2y2＝36可得y＝+4，此时T（2，0），可得|TM|＞|TP|．当l为斜率k存在时，设l：y＝k（x﹣2），代入到C：x2+2y2＝36，得x2+2k2（x﹣2）2＝36，可得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣36＝0，利用根与系数的关系、数量积运算性质即可得出．
【解答】解：（1）由题，椭圆C：x2+2y2＝36可变形为∴a＝6，，
故短轴长为，
（2）当l为x＝2时，代入C：x2+2y2＝36可得y＝+4，
此时T（2，0），∴|TM|＝4，|TP|＝2，∴|TM|＞|TP|，
当l为斜率k存在时，设l：y＝k（x﹣2）
代入到C：x2+2y2＝36，得x2+2k2（x﹣2）2＝36，
∴（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣36＝0，
令M（x1，y1），N（x2，y2）
则，，
此时＝（x1﹣4，y1），＝（x2﹣4，y2），
∴•＝（x1﹣4）（x2﹣4）+y1y2＝（x1﹣4）（x2﹣4）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）
＝
＝
＝
＝．
∴∠MPN＞90°，点P在以MN为直径的圆内部．
所以|TM|＞|TP|，
综上所述，|TM|＞|TP|．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点与圆的位置关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
30．（2019秋•天河区期末）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F（1，0）的距离和它到直线x＝﹣1的距离相等，记点P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|＝|FB|，若平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过点F（1，0）？并说明理由．
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【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）运用抛物线的定义可得所求轨方程；
（2）设A（x0，y0），由抛物线的定义可得|AF|，求得B的坐标，直线AB的斜率，设出平行于直线AB的方程，联立抛物线方程，由相切的条件：判别式为0，可得D的坐标，直线AD的斜率和方程，进而判断结论．
【解答】解：（1）由题意可得动点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，准线为x＝﹣1的抛物线y2＝4x；
（2）由题设A（x0，y0），则|AF|＝x0+1，
又|AF|＝|FB|，故B（x0+2，0），
令平行于AB的直线l：y＝kx+m，则，∴A（k2，﹣2k），
代入y2＝4x，得（kx+m）2＝4x，
整理k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0（*）∴△＝（2km﹣4）2﹣4k2m2＝0，∴km＝1，∴，
所以（*）可以化为∴，，∴，∴，
∴，∴，过定点F（1，0），
当k2＝1时，AD：x＝1也过点F（1，0），故直线AD过点F（1，0）．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用相切的条件：判别式为0，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于中档题．
31．（2019秋•天河区期末）已知m为实数，命题p：方程表示双曲线；命题q：函数的定义域为R．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p与命题q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】综合题；对应思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】（1）由（2m﹣1）（m﹣4）＞0即可求得m的取值范围；
（2）若命题q为真，则恒成立，列关于m的不等式组求得m的范围，再由p真q假或p假q真分别求得m的范围，取并集得答案．
【解答】解：（1）若命题p为真命题，则（2m﹣1）（m﹣4）＞0，
解得m或m＞4．
即m的取值范围是或m＞4；
（2）若命题q为真，则恒成立，
则，即m＞1．
∵命题p、q一真一假．
∴当p真q假时，得；
当p假q真时，1＜m≤4．
∴实数m的取值范围是或1＜m≤4．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查函数恒成立问题的求解方法，是基础题．
32．（2019•西湖区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（1，2）．
（1）求C的标准方程和焦点坐标；
（2）斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．
【考点】直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设出抛物线方程，利用已知条件求出p，得到抛物线的方程，然后求解焦点坐标．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线方程与抛物线联立，求出AB坐标，然后求解弦长即可．
【解答】解：（1）由已知抛物线经过点M（1，2），代入y2＝2px得22＝2p，解得p＝2，
所以，抛物线C的标准方程为 y2＝4x，
所以，抛物线的焦点为（1，0），
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知得直线l的方程为 y＝x﹣1，
联立方程消去y得 x2﹣6x+1＝0，
解得，，
所以 x1+x2＝6（也可以由韦达定理直接得到x1+x2＝6），
于是|AB|＝x1+x2+2＝8．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查计算能力．
33．（2018秋•荔湾区期末）已知F1、F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上、下焦点，A为左顶点，过点F1、A的直线与椭圆的另一个交点为B，∠BAF2＝90°，|F2B|＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y＝kx+m与椭圆交于E、F两点，且线段EF的中点在直线y＝1上，求|EF|的最大值．
【考点】直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】综合题；对应思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）根据△OF2A为等腰直角三角形，即可求出a＝b＝c，则根据椭圆的定即可求出a的值，可得椭圆的方程，
（2）将直线方程y＝kx+m代入椭圆方程2x2+y2﹣2＝0得到：（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2＝0，根据弦长公式求出|EF|，利用基本不等式，即可求|EF|的最大值．
【解答】解：（1）因∠BAF2＝90°，所以△OF2A为等腰直角三角形，则，
又|F2A|＝a，，由定义，
所以，解得，
∴椭圆方程为
（2）将直线方程y＝kx+m代入椭圆方程2x2+y2﹣2＝0得到：（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2＝0，
设E（x1，y1），F（x2，y2），则，△＝8（k2+2﹣m2），
则，得到2m＝2+k2，
，
∵，
∴，
令t＝2+k2，则，由△＞0知k2＜2，
所以2≤t＜4，
则由基本不等式知（当t＝2，k＝0取到）．
【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．
34．（2012•鹿城区校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）若m＝1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得恒为定值．

【考点】圆的标准方程；抛物线的性质；直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】综合题．
【分析】（I）由题意得M（1，0），直线l的方程为y＝x﹣1与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得圆心坐标与圆的半径，从而可得圆的方程；
（II）若存在这样的点M，使得为定值，直线l：x＝ky+m与抛物线方程联立，计算|AM|，|BM|，利用恒为定值，可求点M的坐标．
【解答】解：（I）设A，B两点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为P（x0，y0），
由题意得M（1，0），直线l的方程为y＝x﹣1．（2分）
由可得x2﹣6x+1＝0，
则x1+x2＝6，x1•x2＝1，∴．（4分）
故圆心为P（3，2），直径．
∴以AB为直径的圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16．（6分）
（II）若存在这样的点M，使得为定值，直线l：x＝ky+m．
由，∴y2﹣4ky﹣4m＝0，∴y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4m．
又∵，
∴＝，（13分）
因为要与k无关，只需令，即m＝2，进而．
所以，存在定点M（2，0），不论直线l绕点M如何转动，恒为定值．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，联立方程，正确运用韦达定理是关键．
35．（2017秋•荔湾区校级期末）已知双曲线C：，如图，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足：成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P
（1）求证：．
（2）若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E、D，求双曲线离心率e的取值范围．

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；双曲线的性质；直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）通过双曲线方程求出渐近线方程，得到直线的斜率，求出P的坐标，利用等差数列推出．
（2）利用l与双曲线C的左右两支分别相交于点E、D，联立方程组，通过两点的横坐标的乘积小于0，推出双曲线离心率e的取值范围．
【解答】解：（1）证明：双曲线的渐近线为 ，
∵过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，
∴直线l的斜率为：，∴直线l：，
由，可得P（），
∵成等比数列，
所以，，
，
所以，
则．
（2）解：，
得，
∵x1x2＜0，∴，
∴b2＞a2，则c2＞2a2，
∴e2＞2，
∴．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
36．（2017•上饶县模拟）已知圆M：x2+y2＝r2（r＞0）与直线l1：相切，设点A为圆M上一动点，AB⊥x轴于B，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P、Q两点，求△OPQ（O为坐标原点）面积的最大值．
【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）求出圆M的程为M：x2+y2＝4，利用，所以（0，﹣y0）＝2（x0﹣x，﹣y），即可求曲线C的方程；
（2）联立方程得，表示出△OPQ面积，即可求△OPQ面积的最大值．
【解答】解：（1）设动点N（x，y），A（x0，y0），因为AB⊥x轴于B，所以B（x0，0），
设圆M的方程为M：x2+y2＝r2，
由题意得，
所以圆M的程为M：x2+y2＝4．
由题意，，所以（0，﹣y0）＝2（x0﹣x，﹣y），
所以，即
将A（x，2y）代入圆M：x2+y2＝4，得动点N的轨迹方程，
（Ⅱ）由题意设直线l，设直线l与椭圆交于，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程得，△＝192m2﹣4×13（4m2﹣4）＝16（﹣m2+13）＞0，解得m2＜13，，
又因为点O到直线l的距离，，．
所以△OPQ面积的最大值为1．
【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
37．（2014•宜春二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】综合题；向量与圆锥曲线．
【分析】（Ⅰ）由离心率e＝及a2＝b2+c2可得关于a，b的方程，由此可简化椭圆方程，设N（x，y），则|NQ|可表示为关于y的函数，据此可求得其最大值为4，解得b，进而求得a；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y＝k（x﹣3），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，由△＞0得，由韦达定理及可用k、t表示出点P的坐标，代入椭圆方程得36k2＝t2（1+4k2）①，由弦长公式及可得，故②，联立①②可求得t的范围；
【解答】解：（Ⅰ）∵，∴a2＝4b2，
则椭圆方程为，即x2+4y2＝4b2．
设N（x，y），则＝，
当y＝﹣1时，|NQ|有最大值为，
解得b2＝1，∴a2＝4，椭圆方程是；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y＝k（x﹣3），
由，整理得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4＝0．
由△＝242k4﹣16（9k2﹣1）（1+4k2）＞0，得，
．
∴，
则，．
由点P在椭圆上，得，化简得36k2＝t2（1+4k2）①，
又由，即，
将x1+x2，x1x2代入得，化简得（8k2﹣1）（16k2+13）＞0，则，
∴②，由①，得，联立②，解得3＜t2＜4，
∴或．
【点评】本题考查直线方程、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算，考查学生的运算能力、解决问题的能力，综合性较强．
38．（2017秋•马鞍山期末）已知圆C与y轴相切于点A（0，1），且被x轴所截得的弦长为，圆心C在第一象限．
（1）求圆C的方程；
（2）若点P是直线l：3x+4y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线，切点为B，求△PBC面积的最小值．
【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）设圆心坐标为C（R，1），半径为R，由圆C被x轴所截得的弦长为，列出方程，能求出圆C的方程．
（2）由点P是直线l：3x+4y+5＝0上的动点，圆心C到直线l：3x+4y+5＝0的距离为，得|PC|的最小值为3，过点P作圆C的切线，切点为B，连接BC，有BC⊥PC，由此能求出△PBC面积的最小值．
【解答】解：（1）∵圆C与y轴相切于点A（0，1），圆心C在第一象限
∴可设圆心坐标为C（R，1），半径为R …（1分）
∵圆C被x轴所截得的弦长为
∴，得R＝2，…（3分）
∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4…（5分）
（2）∵点P是直线l：3x+4y+5＝0上的动点
圆心C到直线l：3x+4y+5＝0的距离为…（7分）
即|PC|的最小值为3…（8分）
过点P作圆C的切线，切点为B，连接BC，有BC⊥PC…（9分）
∴△PBC的面积等于
而在RT△PBC中有|PB|2＝|PC|2﹣|BC|2，又|BC|＝R＝2
∴…（11分）
∴△PBC面积的最小值为…（12分）
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，考查直线方程、圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
39．（2016•西宁模拟）已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y＝kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

【考点】椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】综合题．
【分析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab＝0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．
（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9＝0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．
【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab＝0，
依题意可得：，
解得：a2＝3，b＝1，
∴椭圆的方程为．
（2）假设存在这样的值．
，
得（1+3k2）x2+12kx+9＝0，
∴△＝（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则
而y1•y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4，
要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），
当且仅当CE⊥DE时，
则y1y2+（x1+1）（x2+1）＝0，
∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5＝0…③
将②代入③整理得k＝，
经验证k＝使得①成立综上可知，存在k＝使得以CD为直径的圆过点E．
【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
40．（2011•咸阳三模）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程．
（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2＝1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2＝．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A（x1，y1），B（x2，y2），根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式，代入•的表达式中，求得•＝0，进而推断TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，离心率，，抛物线的焦点为（0，1），所以，椭圆C的方程是x2+＝1
（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2＝1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）2+y2＝．
由解得即两圆相切于点（1，0）．
因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．
事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．
若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y＝k（x+）．
由即（k2+2）x2+k2x+k2﹣2＝0．
记点A（x1，y1），B（x2，y2），则
又因为＝（x1﹣1，y1），＝（x2﹣1，y2），•＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+）（x2+）
＝（k2+1）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+k2+1
＝（k2+1）+（k2﹣1）++1＝0，
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．
所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
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