【期中单元重点题型】（沪教版）2023-2024学年九年级数学上册 第二十四章 相似三角形 （5类压轴题专练）

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第二十四章 相似三角形50题（5类压轴题专练）
压轴题型一 相似三角形的判定与性质综合
1．（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）如图，在中，，，E、F为线段AB上两动点，且，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．以下结论错误的是（    ）
  
A． B．当点E与点B重合时，
C． D．
【答案】C
【分析】A由题意知，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
B如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得，四边形是矩形，进一步得到FG是的中位线，从而作出判断；
C如图2所示，根据可证，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
D易证，根据相似三角形的性质可得，由题意知四边形是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到 ，依此即可作出判断.
【详解】解：由题意知，是等腰直角三角形，
∴ ，故A正确；
如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
  
∴，
∵，
∴，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴FG是的中位线，
∴，故B正确；
如图2所示，
  
∵，
∴．
将绕点C顺时针旋转至，
则；
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴（），
∴．
∵，
∴，
∴，即，故C错误；
∵，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
由题意知四边形是矩形，
∴，
∴ ，
即 ，
∴，
∴，
故D正确．
故选C．
【点睛】此题是三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
2．（2023春·四川德阳·八年级统考期末）如图，已知F是内的一点，，，若四边形的面积为2，，，则的面积是（　　）．

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】延长、分别交于点M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解．
【详解】解：如图所示：延长、分别交于点M、N，

∵，
∴．
∵，
∴，，
∴令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，．
∵,
∴,,
∴，．
∴设，则，
∴，
∴．
∵,
∴,
∴，
解得，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形，平行线分线段成比例．一定的难度，利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
3．（2023·福建·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，将沿的方向平移至，使得，其中E是与的交点，F是与的交点，则的长为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平移的性质结合矩形的性质易证四边形为菱形，即得出．根据勾股定理可求出，又易证，即得出．设，则，代入，即可求出x的值，从而可求出，最后再次利用勾股定理即可求解．
【详解】解：由平移的性质可知，，，．
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴平行四边形为菱形，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．
4．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）个．
  
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】延长交于M，作于N，由，可得，从而判断①；由，，得出，从而判断②；先证，可得，从而判断③，由结合等角的转化，得出，从而判断④．
【详解】解：延长交于M，作于N，则，
  
∵，
∴，故①不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故②符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，三角形中位线定理的含义，平行线分线段成比例的应用，关键是灵活应用这些知识点．
5．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，为矩形的对角线，平分交于点，为边的中点，连接分别交，于点，．若，，则线段的长为 ．

【答案】
【分析】根据矩形的性质由勾股定理求出，的长，证明，求出，，过点作，于点，，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
为边的中点，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
如图，过点作，于点，，

平分，
，
，
，
，
，
，
，
线段的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考开学考试）如图，在中，，点为上一点，过点作的垂线交的延长线于点，若，则线段的长为 ．
  
【答案】
【分析】通过导角证明，过点D作于点F，根据角平分线的性质可得，，证明，得出，设，，依次证明，，利用相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：，
，
又，
，
，，
，
，
如图，过点D作于点F，
  
，，
，
在和中，
，
，
．
，，
．
，，
，
，
，
设，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是通过导角证明．
7．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，中，，为边的中点，点在直线上（点不与点、重合），连接，过点作交直线于点．若，，，则线段的长为 ．
  
【答案】或
【分析】①当在边上时，取的中点为，的中点，连接，，可证四边形是矩形，可得，可证，可得，即可求解；②当点在的延长线上时，同理可求：，即可求解．
【详解】解：①当在边上时，
如图，取的中点为，的中点，连接，，
  
，，
，
为的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，

；
②如图，当点在的延长线上时，
  
同理可求：，
，

．
故答案：或．
【点睛】本题考查了三角形性中位线定理，相似三角形的判定及性质等，找到点的不同位置，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
8．（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，矩形中，，，点为的中点，点为上一点，连接、交于点，连接，当时，线段的长度是 ．

【答案】/
【分析】根据矩形的性质和中点的定义可得、、，再运用勾股定理可得， ，再由平行线等分线段定理可得，可求得，再运用勾股定理求得再证，最后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵矩形中，，，点为的中点，
∴、，、
∴，
∴
∵，
∴,即，解得：,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即,解得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理鞥知识点，理解题意、综合运用这些知识点是解题关键．
9．（2023春·山东日照·九年级校考期中）已知等边三角形的边长为4．
(1)如图，在边上有一个动点，在边上有一个动点，满足，求证：；
  
(2)如图，若点在射线上运动，点在直线上，满足，当时，求的长；
  
(3)在（2）的条件下，将点绕点逆时针旋转到点，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)7
(3)

【分析】（1）先利用三角形的内角和得出，再用平角得出，进而得出，即可得出结论；
（2）过点作于，构造出含角的直角三角形，求出的长度，再用勾股定理求出，进而求出的值，再判断出，得出比例式即可得出结论；
（3）先求出的值，进而得出的值，再构造出直角三角形求出的长度，进而得出的值，再求出的长度，最后用面积差即可得出结论．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如下图，过点作于，
  
∴，
∵是等边三角形，边长为4，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，根据勾股定理得，，
在中，，
根据勾股定理得，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如下图，
  
由（2）知，，
∵，
∴，
由旋转知，，，
∵，
∴，，
过点作于，
在中，，
根据勾股定理得，，
过点作于，
∵，
∴，
∴，
过点作于，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．
10．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，点O为矩形ABCD对角线BD的中点，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F，．将矩形沿折叠，点A的对应点为点H，点B的对应点为点G，交于点N，交于点P，连接．
  
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，连接交于点M，连接．判断，和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析

【分析】（1）利用证明，推出，即可证明．
（2）由对称的性质可得，，等量代换可得，进而可得，．根据，，可得，进而可得，，推出，即可证明；
（3）首先证明，推出，进而可得．再依次证，，，根据相似三角形的性质可得，，进而可得，变形可得，即．
【详解】（1）证明∵四边形是矩形，
∴，，
∴，．
∵点O为的中点，
∴．
∴，
∴，
∴．
（2）证明：由对称可得，．
∵，
∴．
∴．
∴．
由（1）得，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：数量关系是：．
∵，
∴．
由对称可得，
∵，
∴，
由（2）知，即，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
∴，
∴．
∵，
∴．
同理可证，
∴．
∴．
∴．
即．
∵，
∴．
  
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，轴对称的性质等，解题的关键是综合运用上述知识点，逐步进行推导论证是解题的关键．
压轴题型二 函数中的相似三角形问题
1．（2023·辽宁锦州·统考一模）如图，在四边形中，，，，，，是线段上一动点，，交于点，将沿折叠得到，与四边形重叠部分的面积为，则下列图像能大致反映与之间函数关系的是（    ）．
  
A．   B．  
C．   D．  
【答案】B
【分析】如图：当G在上时，可求得函数关系式为可排除B、D；当G在的延长线上时，可求得函数关系式为，可排除A选项即可解答．
【详解】解：①当G在上时，作于H，则四边形为矩形，
  
，，
,
∵，
，
∴，即，解得：，
∴，即，即以y轴为对称轴开口向上，可排除B、D；
②当G在的延长线上时，作于H，则四边形为矩形，作于H，
  
，
，
，
∵

∵，
，
∴，即，解得：，
同理：；
∴，
，
∴，即开口方向向下，可排除A选项．
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、二次函数图像的性质等知识点，掌握分类讨论思想以及二次函数的性质是解答本题的关键．
2．（2023·安徽·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，，点是上的一个动点，交四边形另一边于点．设，的面积为，则与之间的函数关系图象可能是（　　）
  
A．   B．  
C．   D．  
【答案】C
【分析】过点作于点，过点作于点，由平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，从而得到，通过证明，得到，由勾股定理得出，再分，，三种情况讨论即可．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，则，
  
，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
①当时，
  ，
，
，
，
，即，
，
；
②当，此时，
  ，
；
③当时，
  
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，
第一段为开口向上的二次函数，第二段为一次函数，第三段为开口向下的二次函数，
故选：C．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质等，全的三角形的判定与性质，勾股定理，明确题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质等，全的三角形的判定与性质，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
3．（2023春·江苏·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点．若将线段绕点O逆时针旋转得到线段，当点恰好落在y轴正半轴上时，点的坐标为（　　）
  
A．（，） B．（，） C．（2，） D．（3，5）
【答案】A
【分析】连接,过点作轴，过点作于，过点作轴，先求出，再证明得出，，，再证明，推出，，从而求出点的坐标．
【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作轴，
，
，点到轴的距离为4，
，
，，
，
，，
，
，即，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，，
，，
故选：A．
\    
【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．
4．（2023春·河南南阳·九年级淅川县第一初级中学校联考期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，点沿从点匀速运动到点．设点的运动时间为，，图是点运动时随变化的函数关系图象，则图中最低点的纵坐标的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，由菱形的性质可知，点与点关于对称，根据两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，的最小值为，在中，解直角三角形可得，，于是，，易证，，由相似三角形的性质分别求出和，易知，则为直角三角形．再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，

四边形为菱形，
点在上，，
垂直平分，
，，

当、、三点共线时，的最小值为
在中，
，

，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，
，
的最小值为，即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查动点函数问题、两点之间线段最短、解直角三角形、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，正确理解题意，学会利用模型思想解决问题是解题关键．
5．（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，一次函数与反比例函数相交于点，点，轴于点，轴于点，是线段上的一点，连接，，若，则点的坐标为 ．

  
【答案】
【分析】联立方程求得点与点的坐标，根据相似三角形的性质即可求得，，利用两点间距离公式建立方程求解即可．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数相交于点，点，
令，整理得：
解得：，，
当时，，当时，，
故，，
∴，，
∵，
∴，
设，
则，
，
故，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴点．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，相似三角形的性质，两点间距离公式等，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
6．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为 ．
  
【答案】4
【分析】过点作轴于点，证明，得，再根据，可得，再证明，得到的长，设，，得到的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得的值，从而可得，再利用勾股定理解得，从而求得的值．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
  
轴，
    ，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
即，
同理可得，
，
，
，
设，则，，
，
都在反比例函数上，
，
解得，
，
在中，，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像，相似三角形的判定及性质，勾股定理，理解反比例函数图像上的点横坐标与纵坐标的乘积相同，是解题的关键．
7．（2023·广东深圳·校考一模）如图，已知中，，，，将的顶点O与平面直角坐标系的原点重合，顶点B落在x轴上，另一顶点A在反比例函数在第一象限的图象上．将通过旋转和平移变换得到，若斜边在x轴上，且直角顶点也在反比例函数的第一象限的图象上，则 ．

【答案】
【分析】利用勾股定理可得，即，即可得反比例函数为，根据旋转、平移的性质可得，，，，作轴于D，证明，即有，进而可得，，可得点的纵坐标为4.8，进而有，问题随之得解．
【详解】解：中，，，，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数在第一象限的图象上，
∴，
∴反比例函数为，
由题意可知，，，，，
作轴于D，

∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴点的纵坐标为4.8，
代入，得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，勾股定理，平移的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
8．（2023春·山东淄博·九年级统考期中）如图，点坐标为，点是线段上的一个动点（不运动至，两点）过点作轴，垂足为，以为边在右侧作正方形，连接并延长交轴的正半轴于点，连接，若以，，为顶点的三角形与相似，则的坐标是 ．
  
【答案】或或
【分析】根据点坐标是可以确定，又四边形是正方形，所以，即可证明的边，再根据“以，，为顶点的三角形与相似”分：①，②两种情况讨论，根据与相似，相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式计算即可求出正方形的边长，从而的长即可求出．
【详解】解：如图当点在点的右边时，
如图，过点作于点，
∵点坐标是，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵以，，为顶点的三角形与相似，
①当时，
可得：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
②当时，
可得：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
  
如图，当点在点的左边时，设正方形的边长为，
过点作于点，延长交于点，
∴，
∵点坐标是，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
在四边形中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵以，，为顶点的三角形与相似，
①当，
∴，
则点，点与点重合，不符合题意；
②当，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标是或或．
故答案为：或或．
  
【点睛】本题考查相似三角形的性质：对应高的比等于对应边的比的性质，解题的关键是根据点坐标确定出，注意要分情况讨论，避免漏解．也考查了正方形的性质，矩形的判定和性质．
9．（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为．的长度为，与的函数图象如图2所示．
  
(1)当恰好平分时，求的值；
(2)满足（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)
(2)见详解

【分析】（1）由图象可得，通过证明，可求的长，即可求解；
（2）根据（1）中，，，可得结论．
【详解】（1）解：如图，连接，
由图2可得，
，，
，
平分，
，
，，
，
，，
，
，
，
，（负值舍去），
；
（2）证明：由（1）知，，
，，
．
  
【点睛】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
10．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点，，过点作交于点，连结．

(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，点在射线上（点不与点重合），过点作，垂足为点，若，求出与的函数关系式，并直接写出的取值范围．
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，连接，在射线上是否存在点，连结，使为等腰三角形．若存在，求出的长．
【答案】(1)
(2)
(3)的长为1或或

【分析】（1）当，，则，当，，则，由，可知当，，则，根据勾股定理的逆定理进行求解即可；
（2）当在线段上，，如图1，由题意知，，，，证明，则，即，整理得，，当在点左侧，，如图2，同理求解即可；
（3）由题意知，，如图3，由题意知，为等腰三角形，分，，，三种情况求解求解即可．
【详解】（1）解：当，，则，
当，，则，
∵，
∴当，，则，
∴，，，
∵，
∴是直角三角形，；
（2）解：当在线段上，，如图1，

由题意知，，，，
又∵，
∴，
∴，即，整理得，，
当在点左侧，，如图2，

同理，，
∴，即，整理得，，
综上所述，与的函数关系式为；
（3）解：由题意知，，
如图3，由题意知，为等腰三角形，分，，，三种情况求解：

①当，则为底边的高，
∴，
∴；
②当，
由勾股定理得，，
∴，
∴；
③当，设，
如图3，过作于，设，则，
由勾股定理得，，即，解得，
当，，则，
∴，
解得，，
∴，
∴；
综上所述，的长为1或或．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

压轴题型三 动点关系的相似三角形问题
1．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（    ）

A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对
【答案】C
【分析】首先设秒钟与以、、为顶点的三角形相似，则，，，然后分两种情况当和当讨论．
【详解】解：设运动时间为秒．
，，，
当，，

即，
解得；
当，，

即，
解得，
综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　）

A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【答案】A
【分析】作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】作点F作FG⊥BC于G，

∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；
∴∠BDE＝∠FEG，
在△DBE与△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF（AAS），
∴EG＝DB，FG＝BE＝x，
∴EG＝DB＝2BE＝2x，
∴GC＝y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴△FGC∽△ABC，
∴CG：BC＝FG：AB，
即＝，
∴y＝﹣．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
3．（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）如图，中，，，，D为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（    ）

A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5
【答案】C
【分析】求出，分两种情况：①当时，，，得出，即可得出；②当时，证出，得出，因此，得出，；即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
分两种情况：
①当时，
，，
∵D为的中点，
∴，E为的中点，，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为2或3.5；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论．
4．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．作于点G，则运动过程中，AG的最大值为（    ）

A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，设运动时间为t秒，则由已知易证明△BFQ∽△OFP，则可得PQ过定点F；再证明△OFH∽△OBC，则可求得点F的坐标，进而求得AF的长，则由垂线段最短可确定AG的最大值．
【详解】连接OB交PQ于F，过点F作FH⊥OC于H，连接AF，如图．
设运动时间为t秒，则BQ=2t，OP=3t，
∵B、C的纵坐标相同，
∴BC∥OA，
∴△BFQ∽△OFP，
∴，
∴PQ恒过定点F．
∵FH∥BC，
∴△OFH∽△OBC，
∴，
即，
∴，
∴．
∴由勾股定理得：．
∵PQ恒过定点F，且AG⊥PQ，
∴AG≤AF，
∴AG的最大值为AF，即AG的最大值为．
故选：A．

【点睛】本题是动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，确定PQ过定点是问题的关键．
5．（2023春·江苏扬州·九年级仪征市第三中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点C运动，作于点G，设运动的时间为t秒，则AG的最大值是 ．

【答案】
【分析】如图，连接交于，由题意知，，证明，则，可得过定点，，，如图，过作于，过作于，证明，则，即，解得，，，由，过定点，可知当与重合时，有最大值，为，在中，由勾股定理求的值，进而可得最大的值．
【详解】解：如图，连接交于，由题意知，，

∴，
又∵，
∴，
∴，
∴过定点，，，
如图，过作于，过作于，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，，
∵，过定点，
∴当与重合时，有最大值，为，
在中，由勾股定理得，
∴最大值为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于确定过定点．
6．（2023·江苏·模拟预测）如图，矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点A出发，沿运动到点B停止，过点E作交射线于点Q，设O是线段的中点，则在点P运动的整个过程中，点O运动路线的长为 ．

【答案】4
【分析】由题意知，如图，过作于，过作于，证明，则，即，解得，如图，过作于，当运动到点，连接，作，交于，连接、中点、，由题意知 在上运动，证明，则即，解得，由、分别为、中点，可知是的中位线，则，进而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
如图，过作于，过作于，

∵，，
∴，
∴，即，
解得，
如图，过作于，当运动到点，连接，作，交于，连接、中点、，
∴由题意知， 在上运动，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴即，
解得，
∵、分别为、中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中位线等知识．解题的关键在于确定的运动轨迹．
7．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图，已知在中，，，点在边上（点与点，不重合），，射线与边交于点，过点作的平行线，交射线于点．

（1）若，则的长为 ；
（2）当是等腰三角形时，的长为 ．
【答案】 /2.4 5或
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，利用外角的性质及得出，根据相似三角形的判定得出，最后利用相似三角形的性质建立等式求解可得．
（2）设，分类讨论，当，时的两种情况．由（1）已知，利用相似三角形的判定与性质，结合是等腰三角形，得出时，根据相似三角形的性质建立等式关系求解；得出，利用等腰三角形的性质即可得出．
【详解】解：（1）在中，，，
．
，，
．
．
，
．
，即，
．
故答案为：．
（2）如图所示，若，设，
，
，．
．
是等腰三角形，
，，是等腰三角形．
．
，，
．
，即，
．

如图所示，若，设，
，
，．
．
是等腰三角形，
，，是等腰三角形．
，
是等腰三角形．
，
，即．

故答案为：5或．
【点睛】本题考查三角形动点问题的综合应用能力．涉及平行线，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点．两直线平行，内错角相等．等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）．相似三角形对应角相等，对应边成比例．两角分别相等的两个三角形相似．注重分类思想，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
8．（2023春·湖北襄阳·九年级统考阶段练习）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），若，则折叠后重叠部分的面积为 ．

【答案】
【分析】设BN=NF=x，则NC=（4-x），根据，AB=CD=3，确定DF=1，FC=2，在直角三角形NCF中，实施勾股定理确定x，利用△NCF∽△FDQ，计算DQ，FQ，得证△MEQ≌△FDQ，求得AM=ME，根据重叠面积等四边形ABNM的面积与△MEQ面积的差计算即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∵，
∴DF=1，FC=2，

∵沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，
∴设BN=NF=x，则NC=（4-x），
∴在直角三角形NCF中，
∴
解得x=，4-x=，
∵∠EFN=∠ABC=∠C=∠D=90°，∠NFC+∠FNC=90°，
∴∠NFC+∠DFQ=90°，
∴∠FNC=∠DFQ，
∴△NCF∽△FDQ，
∴FD：NC= FQ：NF= DQ：CF=1：，
解得DQ=，FQ=，
∴EQ=EF-FQ=AB-FQ=3-=，
∴EQ=DQ，
∵∠E=∠D=90°，∠EQM=∠DQF，
∴△MEQ≌△FDQ，
∴ME=FD=1，
∴AM=ME=1，
∴重叠面积=四边形ABNM的面积-△MEQ面积
=
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质，会证三角形的全等，三角形相似，会用勾股定理是解题的关键．
9．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，在中，，，，点D、E分别为边、的中点．动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点A运动，连结．作点A关于直线的对称点，连接，．设点P运动时间为t秒．
  
(1)线段的长为 ；
(2)当点P在折线上时，用含t的代数式表示线段的长；
(3)当点在内部时，求t的取值范围；
(4)当与相等时，直接写出t的值．
【答案】(1)2
(2)
(3) ，
(4)或

【分析】（1）利用勾股定理求出，可得结论；
（2）分两种情况：当时，当时，分别求解即可；
（3）分三种情况求出特殊位置的值，①当P在A上，在线段上时，如图1，延长交于点F，
根据，，得，，在以为圆心，为直径的圆上，证
，根据平行线分线段成比例求得，从而得解；②当P在上时，点在外部；③当P在上，在线段上时，如图2，DP交于点G，同①求得，从而得解
（4）由，推得A，，E三点共线，过D作，得点P在上或点P在上，分两种情况根据相似三角形的判定与性质求出 的值，从而可得答案．
【详解】（1）解：，，，
，
为中点，
．
故答案为：2．
（2）为的中点，
，
当时，；
当时，
综上所述，
（3）①当P在上，在线段上时，如图1，延长交于点F，
  
与关于对称，
，，
为的中点，
又，，
，，在以为圆心，为直径的圆上，
，即，
，
，
，

当 时，点在内部；
②当P在EB上时，点在外部；
③当P在AB上，在线段上时，如图2，交于点G，
  
与关于对称，
，，
为的中点，
又，，
，，在以为圆心，为直径的圆上，
，即，
，
，
，

当 时，点在内部；
综上所述，当 或时，点在内部．
（4）当时，
，
，
与关于对称，
A，，E三点共线，
过D作，点P在上或点P在上，
如图3，当点P在上时，
  

，
，

，
即
如图4，当点P在上时， DP交于H点，
  

，
，

，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想解决问题．
10．（2023·湖南衡阳·统考一模）如图，矩形中，，，为上一点，，动点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，连，，，过作的平行线交射线于点，设点的运动时间为，（不考虑，，在同一直线的情况）
  
(1)当时，试求出的长；
(2)当与相似时，求的值；
(3)当在线段上时，设面积为，周长为，
①求与的函数关系式；
②直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)或或
(3)①；②

【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质解决问题即可；
（2）由，推出  即推出，分三种情形当点在点的左边时，即时，，当时，当，当点在点的右边时，即时，，时，分别构建方程求解即可；
（3）利用三角形面积公式计算即可；
当周长为最小时最小，作点关于的对称点点，连接交于点，此时最小为，根据勾股定理求出长即可得出结论．
【详解】（1），，
，
，
，
，
又，
，
，
即：，
解得：；
当，此时；
（2），
，
又，
，
， 即，
，
当点在点的左边时，
即时，，
当时：，即，
解得：；
当时：有，即，
解得：；
当点在点的右边时，即时，，
当时：，
即，
解得：，（不合题意，舍去）；
综上，或或；
（3）连接，
  

的面积的面积，
即；
如图，
  
，
，根据勾股定理得，，是定值，
所以当周长为最小时最小，作点关于的对称点，
连接交于点，此时最小为，
在中，，，
根据勾股定理得，，
的最小值．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质、矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

压轴题型四 相似三角形中最值问题
1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，在中，， 点D，E分别是边上的动点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，作A关于的对称点，连接，交于F，过作于E，交于D，则，此时的值最小，就是的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．
【详解】解：作A关于的对称点，连接，交于F，过作于E，交于D，则，此时的值最小，就是的长，

在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是；
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称—最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．（2023春·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校联考阶段练习）如图，矩形中，点在边上，，，，点是矩形内一动点，满足，连接绕点逆时针旋转90°至，连接，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】取的中点O，再把绕点逆时针旋转至,连接，则有，即可求出，然后过点作于点G，连接，利用勾股定理可以得到再根据求出结果．
【详解】解：如图，取的中点O，再把绕点逆时针旋转至,连接，
∵，
∴，
根据旋转可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上移动，
  
过点作于点G，连接，
  
则是矩形，
∴，，
∴，
∴
∴，
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形，旋转的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形确定点点的运动路线是解题的关键．
3．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，若点是边上的一个动点．过点作且分别交对角线，直线于点O、F，则在点移动的过程中，的最小值为（   ）
  
A． B． C．17 D．18
【答案】B
【分析】过C作，取，连接，根据勾股定理得到，易得，即可得到，根据两点间线段最短得到当、、三点共线时最短即可得到答案；
【详解】解：如图过C作，取，
过点E作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵， ，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴当、、三点共线时最短，
∴，
∴，
故选B；
  
【点睛】本题考查轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是学会用转化的思想思考问题．
4．（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点B是线段上任意一点，在射线上取一点C，使，在射线上取一点D，使．所在直线的关系式为，点F、G分别为线段的中点，则的最小值是（    ）
  
A． B． C． D．4．8
【答案】A
【分析】如图所示，连接，设射线交射线于H，过点H作于M，连接，先根据三线合一定理得到，，进而证明四边形是矩形，得到，，故当点B与点M重合时，最小，即最小，最小值为，设，则，求出，证明，利用相似三角形的性质求出或（舍去），则的最小值为．
【详解】解：如图所示，连接，设射线交射线于H，过点H作于M，连接，
∵，，点F、G分别为线段的中点，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴当最小时，最小，
∴当点B与点M重合时，最小，即最小，最小值为，
∵点H在直线上，
∴可设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴的最小值为，
故选A．
  
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质与判定，三线合一定理，相似三角形的性质与判定等等，证明四边形是矩形是解题的关键．
5．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在中，，，点分别在边上，且，连接，相交于点，则面积最大值为 ．
  
【答案】
【分析】过点作，根据平行线分线段成比例定理可得则，根据已知，可得，在以为直径的圆上，设圆心为，当时，的面积最大为：，即可求出此时的最大面积．
【详解】解：，，
，
如图，过点作，
  
则，
，
，
，
，
，，
，
，
在以为直径的圆上，设圆心为，
当时，的面积最大为：，
此时的面积最大为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式的应用，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
6．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为 ．

【答案】10
【分析】过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，易知四边形、、为矩形，证明，由相似三角形的性质可得；设两点运动时间为，则，，易得，；作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，故当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，由勾股定理求得的值，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，

易知四边形、、为矩形，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设两点运动时间为，则，，
则有，即，
∵，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
作点关于直线的对称点，如图，
则，，
由轴对称的性质可得，
当三点共线时，的值最小，即取最小值，
此时，在中，，
∴的最小值为．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
7．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．
  
【答案】/
【分析】在上取一点G，使得连接．根据菱形的性质可知，则，结合，可得，利用相似三角形的性质证得根据可知的长即为的最小值，利用勾股定理求出便可解决问题．
【详解】解：如图，在上取一点G，使得，连接．
    
∵四边形为菱形，，
∴，，
∵，P是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴当点G、P、C在同一直线上时，取得最小值，
此时 ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握“胡不归”问题模型，正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理求解．
8．（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，在矩形中，，E，F分别为，边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最小值为 ．
  
【答案】
【分析】连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，易得四边形为矩形，，推出和的长，根据，得到当O，H，D共线时，最小，进行求解即可．
【详解】解：连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N．
  
则：，
∵矩形，，E，F分别为，边的中点，
∴，，，，
∴四边形为矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，由于M和B点都是定点，所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时最小，
∴DH的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线．解题的关键是条件辅助线，构造相似三角形和直角三角形，利用两点之间线段最短得到线段的最小值．
9．（2023·江苏泰州·校考三模）(一)感知：如图，是的中位线，，、分别是、的中点，则；用字母表示与间有怎样的相等关系：．
二探索：如图，在四边形中，，其中，，是的中点，交于点，则．用字母，表示
在上，在上，，且使四边形四边形，则用字母，表示
在上，在上，， 且平分四边形的面积，求的长用字母，表示
三猜想：、、间的大小关系：，用、的表达式表示并对与间的关系进行证明；
四应用：如图，在中，，，，点、分别在、上，平分的面积，求周长的最小值．

【答案】(一)；；(二)（1）；（2）；（3）；(三)，证明见解析；(四)
【分析】(一)由三角形的中位线定理可得出结论；连接交于点，分别在和，利用三角形中位线定理可得出结论；
(二)（1）由(一)中的结论可直接解答；
（2）利用相似图得出线段比例关系，进而可得出结论；
（3）延长交的延长线于点，过点作于点，交于点，交于点，设，，；由平行可得出，得出比例式用表示和，再根据平分四边形的面积列出等式，整理即可得出结论；
三利用作差法可得出结论；
四由的面积的面积的一半可得出的值，再根据三角形周长，结合不等式的性质可得出结论．
【详解】解：(一)是的中位线，
，，
，
；
、分别是、的中点，
：：，
，
，
如图，连接交于点，则是的中位线，是的中位线，

，
；
由上可得，，
整理得；
故答案为：；；
二（1）由一中的结论可得，
故答案为：．
（2）四边形四边形，
：：，

，
故答案为：；
（3）如图，延长交的延长线于点，过点作于点，交于点，交于点，

由题意可知，，
，
：：；：：，
设
则
，；
平分四边形的面积，
，即，
，
，
整理得，即；
三由上可知，，
，
，
，
，
，即，
故答案为：；
四平分的面积，

，即，
，
，
，
的周长．
【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理等相关知识，根据面积相等建立合适的等式是解题关键．
10．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______．
（2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；
（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．
  
【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）2；（4）
【分析】（1）通过证明全等，得到；
（2）通过证明得到，，延长相交于点H．可以证明；
（3）作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，证明，得出，求出，得出点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M，求出结果即可；
（4）作点D关于直线的对称点，连接交于G，根据两点之间线段最短，得出此时的值最小，最小值为，根据，得出，即，从而得出的最小值就是的最小值．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：．理由如下：
延长相交于点H．
  
∵矩形、矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，如图所示：
  
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴点G的运动路径长度为2，
故答案为：2．
（4）解：作点D关于直线的对称点，连接交于G，如图所示：
  
根据解析（3）可知，点G的运动轨迹是直线，
∵，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时的值最小，最小值为，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．

压轴题型五 相似三角形中的综合题型
1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在正方形中，对角线交于点O，E是边的中点，连接，分别交于点P，Q，过点P作交的延长线于点F．以下结论：①；②；③若四边形的面积为2，则正方形的面积为24；④．其中结论正确的序号有（    ）
  
A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】A
【分析】过点P作，根据条件证明即可证明①；设正方形边长为1，结合E是边的中点，即可证明②；连接，可得，根据条件证明和即可证明③；结合，即可证明④．
【详解】解：过点P作，如图
  
∴，
∵是正方形，
∴，，
∴是矩形，，
∴是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
设正方形边长为1，
∵E是边的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，故②正确；
连接，如图，
  
∵E是边的中点，
∴，
∵是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形的面积为2，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵是正方形，
∴，
∵，
∴，
由③得：，
∴，
∴，
∴，
由③得：
∴，
∴，即，故④正确，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活运用所学知识解决问题．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）
  
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确．
【详解】∵中，，，
∴，
由作图知，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，②正确；
设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，③错误；
当时，，
∵，
∴,
∴，④正确
∴正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．
3．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（    ）
  
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】如图1中，证明，，可得，可得，，可得①②正确，如图2中，当M与C重合时，设．则，证明，可得，即，可得，可得③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，可得④错误，如图1中，于H，，同理可得：，可得，结合，可得⑤正确．
【详解】解：如图1中，
  
∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由翻折可知：，，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故①②正确，
如图2中，当M与C重合时，设．则，
  
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，可得，
∴，
∴，故③正确，
如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，
  
如图1中，∵于H，，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴．故⑤正确，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2023·黑龙江佳木斯·抚远市第三中学校联考三模）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（    ）
  
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤
【答案】A
【分析】通过证明≌推出，即可判断①；再证明，即可判断②；利用角平分的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断③；证明∽，∽，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，，即可判断④；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断⑤．
【详解】解：四边形是正方形，
，．
∵，
≌，
，故①正确；
由①得，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
  
四边形是正方形，
，即是的角平分线，
点G到边与边的距离相等，
即中边的高与中边的高相等，
又，
，故③正确；
设正方形的边长为，
当E是的中点时，，，
由勾股定理得：，，
，，
∽，
，
．
，，
∽，
，
即，
，
，
，
，
，
当E是的中点时，，故④正确；
当时，，
，
，
∽，
，
中边的高与中边的高相等，，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，故⑤错误．
故选A．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形．
5．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在边长为4的正方形中，点E在边上运动，连接，在的左侧作等腰直角三角形，，连接．
  
（1）当的长为 时，的长为；
（2）当的长为 时，的长最短．
【答案】 3或1； 2
【分析】（1）作交的延长线于点G，证明，推出，，，在中，利用勾股定理列式计算求得的长即可；
（2）连接，即有，当且仅当F、A、C三点共线时取等号，可知当F、A、C三点共线时，线段最短，等腰直角三角形中，有，先证明，再证明，即有，据此求解即可．
【详解】解：（1）作交的延长线于点G，如图，
  
∵正方形中，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
在中，，，即，
整理得，
解得或1，
故答案为：3或1；
（2）连接，如图，
  
即有：，当且仅当F、A、C三点共线时取等号，
∴当F、A、C三点共线时，线段最短，且为：，
如图，
  
等腰直角三角形中，，，
∴，
在正方形中，可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即当，的长最短．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线，判断出当F、A、C三点共线时，线段最短，是解答本题的关键．
6．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片，其中，他们将纸片对折使、重合，展开后得折痕，又沿折叠使点C落在处，展开后又得到折痕，再沿折叠使点A落在上的处，大家发现了很多有趣的结论．就这个图形，请你探究的值为 ．
  
【答案】/
【分析】设交于点H，作于点L，易得四边形为矩形，根据折叠的性质，推出，设设，则：，勾股定理求出的长，折叠和角平分线的性质定理得到，等积法得到，进而得到，利用平行线分线段对应成比例以及三角形的中位线定理，得到，进而求出的长，即可得解．
【详解】解：如图，设交于点H，作于点L，由折叠得点A与点B关于直线对称，
  
∴垂直平分，
∴，
∵矩形纸片，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，平行线分线段对应成比例，三角形的中位线的定理．解题的关键是熟练掌握矩形和折叠的性质．
7．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在中，，，分别是，的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，的值为 ．
  
【答案】8
【分析】延长交射线于，根据三角形中位线定理可得，从而得到，由角平分线的性质可得，从而得到，即，得到，根据，求出，最后根据三角形相似的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，延长交射线于，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、角平分线的性质、三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理、角平分线的性质、三角形相似的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
8．（2023春·山西长治·八年级统考期末）如图所示，边长为8的正方形中，为边的中点，将正方形沿折叠，使得点与点重合，点与点重合，连接交于点交于点，则的长为 ．
  
【答案】
【分析】根据正方形的性质可得，再由折叠的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，在中，，从而得到，在中，，过点M作于点H，则，，再证明，可得，，从而得到，然后根据，可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵ 为边的中点，
∴，
∵将正方形沿折叠，使得点与点重合，点与点重合，
∴，，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
如图，过点M作于点H，则，，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质，勾股定理全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作BF⊥AC于点G，交直线于点F．
  
(1)当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．如图1，则线段与之间的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
(2)如图2，若点E在线段上，以点F为直角顶点在矩形的外部作直角三角形，且，连接．判断线段与之间的数量关系与位置关系，并证明；
(3)如图3，若点E在线段的延长线上，F在线段的延长线上，且，，M是中点，连接，，求的值．
【答案】(1)，
(2)，，理由见解析
(3)

【分析】（1）证明，从而得出，进而证得四边形是平行四边形，进一步得出结论；
（2）证明，从而，进而证明，四边形是平行四边形，进一步得出结论；
（3）取的中点N，作于T，证明，从而，从而得到，根据三角形中位线定理可得，进而证得，从而，可解得，进一步求得结果．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：，；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（3），
，
，
取的中点N，作于T，
四边形是矩形，
，
，，

，
，
，
，
，
，
，
M是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
  
【点睛】本题考查了正方形，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．
10．（2023·全国·九年级专题练习）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点M，N，连接，可得．
探究一：如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上．求证：；
探究二：在图②中，连接，分别交，于点E，F．求证：；
探究三：把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点E，F，连接交于点O，求的值．

【答案】探究一：见解析；探究二：见解析；探究三：
【分析】探究一：求出，证明即可；
探究二：根据正方形的性质证明，根据三角形内角和定理得出，等量代换求出，加上公共角，进而可证明；
探究三：先证明，得到，，然后将绕点C逆时针旋转得到，则点G在直线上，得出，根据全等三角形的性质得出，进而得到，可证明，根据相似三角形的性质得出．
【详解】探究一：
证明：∵把绕点C逆时针旋转得到，点H在直线上，
∴，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
探究二：
证明：如图，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
探究三：
解：∵，是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，，
如图，将绕点C逆时针旋转90°得到，则点G在直线上，

∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是相似三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．