第7章 微专题进阶课7　立体几何中的动态问题-2022届高三数学

这是一份第7章 微专题进阶课7　立体几何中的动态问题-2022届高三数学，共4页。试卷主要包含了设M，则eq \)＝等内容，欢迎下载使用。
立体几何中的动态问题立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹长度及动角的范围及涉及的知识点，多年来是复习的难点．　求动点的轨迹(长度)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM∥平面A1DE，则动点M的轨迹长度为(　　)A．  B．  C．2  D．πB　解析：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则＝(2,0,2)，＝(0,2,1)，则平面A1DE的一个法向量为n＝(2,1，－2)．设M(x,2，z)，则＝(x－2,2，z)．由·n＝0，得2(x－2)＋2－2z＝0⇒x－z＝1，故点M的轨迹为以BC，BB1的中点为端点的线段，长为＝.故选B.已知边长为1的正方形ABCD与CDEF所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE上的动点(包括端点)PQ＝.设线段PQ的中点的轨迹为s，则s的长度为(　　)A．  B．  C．  D．2A　解析：如图，以DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设P(m,1,0)(0≤m≤1)，Q(0,0，n)(0≤n≤1)，M(x，y，z)．由中点坐标公式易知x＝，y＝，z＝，即m＝2x，n＝2z.①因为|PQ|＝＝，所以m2＋n2＝1，②把①代入②得，4x2＋4z2＝1.即x2＋z2＝.因为0≤m≤1,0≤n≤1，所以0≤x≤，0≤z≤.所以PQ中点M的轨迹方程为轨迹s为在垂直于y轴的平面内，半径为的四分之一圆周．所以s的长度为×2π×＝.故选A．　求线段的范围问题在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体P-ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是(　　)A．[－1，＋1] B．[1,3]C．[－1,2] D．[1，＋1]A　解析：如图所示，若固定正四面体P-ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动．设AB的中点为M，则PM＝＝，所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径，所以－1≤|OP|≤＋1，即|OP|的取值范围是[－1，＋1]．故选A．设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在平面BCC1B1所在的平面内．若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P与点C1的最短距离是(　　)A．  B．  C．1  D．A　解析：设P在平面ABCD上的射影为P′，M在平面BB1C1C上的射影为M′，平面D1PM与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角分别为α，β，则cos α＝，cos β＝.因为cos α＝cos β，所以S△DP′M＝S设P到C1M′距离为d，则××d＝×1×2，d＝，即点P到C1的最短距离为.　求角的最值问题如图，平面ACD⊥α，B为AC的中点，|AC|＝2，∠CBD＝60°，P为α内的动点，且点P到直线BD的距离为，则∠APC的最大值为(　　)A．30°  B．60°  C．90°  D．120°B　解析：因为点P到直线BD的距离为，所以空间中到直线BD的距离为的点构成一个圆柱面，它和平面α相交得一椭圆，即点P在α内的轨迹为一个椭圆，B为椭圆的中心，b＝，a＝＝2，则c＝1，所以A，C为椭圆的焦点．因为椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值，所以∠APC的最大值为60°.故选B.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为(　　)A．  B．1  C．2  D．D　解析：因为当M在直线A1C1上时，都满足BM∥平面ACD1，所以tan∠DMD1＝＝＝是最大值．故选D．