吉林省长春市第一〇八学校2023-2024学年上学期第一次月考九年级数学试题

这是一份吉林省长春市第一〇八学校2023-2024学年上学期第一次月考九年级数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年吉林省长春108中九年级（上）第一次月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.二次根式有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 2.下列二次根式中与是同类二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 3.用配方法解方程下列配方正确的是(    )A.  B.  C.  D. 4.二道区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，年投入万元，预计年投入万元设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是(    )A.  B.
C.  D. 5.如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，若，，则的长为(    )
A.  B.  C.  D. 6.如图，点为的重心，过点作，分别交、于点、，则与的周长之比为(    )A. ：
B. ：
C. ：
D. ：7.西周时期，丞相周公且设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离即的长约为(    )
A.  B.  C.  D. 8.已知是反比例函数图象上一点，点的坐标为，是轴正半轴上一点，且，：：，那么点的纵坐标为(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：          ．10.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______ ．11.如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为______ ．
 12.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______ ．
 13.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，点，，在，则点坐标为______ ．
 14.如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.本小题分
解方程：．16.本小题分
计算：．17.本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
在图中的线段上找一点，连接，使．
在图中的线段上找一点，连接，使．
在图中的线段上找一点，连接，使．

 18.本小题分
长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图是大桥的实物图，图是大桥的示意图假设你站在桥上点处测得拉索与水平桥面的夹角是，点处距离大桥立柱底端的距离为米，已知大桥立柱上点距立柱顶端点的距离为米，求大桥立柱的高结果精确到米参考数据：，，

 19.本小题分
如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．
求证：∽．
计算点到直线的距离为______ ．
20.本小题分

小林同学从家出发，步行到离家米的劳动公园散步，速度为米分钟；分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速原路返回家中，哥哥返回家中时，小林刚好到达公园，两人离家的距离米与小林出发长的时间分钟的函数关系如图所示．
求哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式．
小林出发______ 分钟与哥哥第二次相遇．
21.本小题分
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：设，其中、、、均为整数，则有，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当、、、均为整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ______ ， ______ ．
利用所探索的结论，找一组正整数、、、，填空：______ ______ ______ ______ ．
若，且、、均为正整数，求的值．22.本小题分
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 猜想：如图，在中，点、分别是与的中点根据画出的图形，可以猜想：，且对此，我们可以用演绎推理给出证明．【定理证明】请根据教材内容，结合图，写出证明过程．
【定理应用】如图，在中，，平分交于点，点为的中点，连接，过点作交的延长线于点求证：四边形是平行四边形．
【拓展提升】如图，中，，于点，是的中点，，则 ______ ．

 23.本小题分

如图，在中，，，，点为边的中点动点从点出发，沿折线向终点运动，点在边上以每秒个单位长度的速度运动，在边上以每秒个单位长度的速度运动，在点运动的过程中，过点作的平行线，过点作的平行线，两条平行线相交于点点不与点、点重合，设点的运动时间为秒．
______ ．
用含的代数式直接表示的长．
当四边形是轴对称图形时，求出的值．
连接，如图，当将的面积分成：两部分时，直接写出的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
【解答】
解：由题意得，，
解得．
故选：．2.【答案】 【解析】解：、，与不是同类二次根式；
B、与不是同类二次根式；
C、与是同类二次根式，正确；
D、与不是同类二次根式；
故选：．
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数或因式的指数都小于根指数，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
在二次根式的被开方数中的每一个因式或因数，如果幂的指数大于或等于，也不是最简二次根式．3.【答案】 【解析】解：方程移项得：，
配方得：，即．
故选：．
方程移项，把二次项系数化为，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4.【答案】 【解析】解：设教育经费的年平均增长率为，
则的教育经费为：万元，
的教育经费为：万元，
那么可得方程：．
故选：．
增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为，根据“年投入万元，预计年投入万元”，可以分别用表示以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．5.【答案】 【解析】解：，
，
，，
，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．6.【答案】 【解析】解：连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，在的延长线上取一点，使，如图：

点为的中心，
，分别为的中线，
点为的中点，点为的中点，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
即，
又点为的中点，
为的中位线，
，
，
，
设，则，
，
，
，
∽，
：：：：，
，
∽，
相似比为：：：，
与的周长之比为：．
故选：．
连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，在的延长线上取一点，使，先证四边形为平行四边形，从而得，进而可证为的中位线，从而得，则，设，则，则，再证∽得：：：：，然后证∽得相似比为：：：，最后根据相似三角形的性质可得出答案．
此题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，相似三角形的判定及其性质，熟练掌握三角形的中位线定理，相似三角形的判定及其性质是解答此题的关键，难点是根据三角形得中线作出辅助线构造平行四边形．7.【答案】 【解析】解：由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为：，
故选：．
根据题意和图形，可以用含的式子表示出的长，从而可以解答本题．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．8.【答案】 【解析】解：作轴，轴．

则∽，
，
纵坐标比横坐标是：，设的横坐标是，则纵坐标是．
，
即：，
负根已经舍去，
的坐标是：，
，
，
，
，
的坐标是
故选：．
作轴，轴．则∽，即可得到纵坐标比横坐标是：，从而求得的坐标，可得结论．
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．9.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
先化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】
解：．
故答案为：．10.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．11.【答案】 【解析】解：迎水坡的坡比为，
，即，
解得，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．12.【答案】 【解析】解：如图，过点作于点，

则，由勾股定理得：
，
．
故答案为：．
过点作于点，则在中，先由勾股定理得出的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
本题属于解直角三角形基础知识的考查，明确勾股定理及正弦函数的定义是解题的关键．13.【答案】 【解析】解：等腰直角是等腰直角以原点为位似中心的位似图形，且位似比为：，
而点，，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先把点和点的横纵坐标都乘以得到，，则，接着证明，所以，然后把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了等腰直角三角形的性质．14.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，，
将矩形沿直线折叠，
，，
，
，
∽，
，
，
，
设，则，，
，
中，，
，
解得舍去根，
，
故答案为：．
证明∽，求得，设，用表示、，由勾股定理列出方程即可求解．
本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程和证明相似三角形是本题的关键．15.【答案】解：，
，
，
，
，
，． 【解析】配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．16.【答案】解：原式

． 【解析】利用二次根式的乘法法则，特殊锐角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．17.【答案】解：如图，点即为所求；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求；
 【解析】根据网格在图中的线段上找中点，连接，即可使；
结合在图中的线段上找一点，连接，：：，即可使；
在图中的线段上找一点，连接，根据网格可得：：：，所以：：，得到边的高：：，所以高，即可使．
本题考查作图应用与设计作图，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】解：在中，，米，
米，
米，
大桥立柱的高约为米． 【解析】由锐角三角函数的定义求出的长，然后再根据，进行计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．19.【答案】 【解析】证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
∽，
∽，
，
即，
．
故答案为：．
由四边形是矩形，得到，，，根据勾股定理得到，得出∽；
通过∽，得到，列方程即可得到结果．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证得∽是解题的关键．20.【答案】 【解析】解：由图象可得，小林家与公园之间的路程为：米，
哥哥从小林出发后到达公园的时间为：分钟，
设哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式是，
，在该函数图象上，把两点代入得：
，
解得：，
即哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式是；
哥哥的速度为：米分钟，
设小林出发分钟时，两人相遇，
第二次相遇时，，
解得；
即小林出发分钟与哥哥第二次相遇．
故答案为：．
根据图象可知：点，在哥哥返回家的过程中与之间的函数图象上，然后即可求得该函数的解析式；
设小林出发分钟时，两人相遇，依据第二次相遇时，可得方程，解方程即可得解．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.【答案】           【解析】解：若，则有，
，．
故答案为：；；
令，，
由可知，，，
故答案为：；；；答案不唯一；
，，
，
而、、均为正整数，
，或者，，
当，时，；
当，时，．
综上，或者．
根据小明的方法，将按照完全平方公式展开，得到，再和的系数进行对比，即可求出和的值；
任意找出一组和的值，预设，代入中探索的结论中即可求出和的值；
若要求、、的值，需要先求出、的值，根据题意可知，进而得出，再结合、均为正整数即可求出、的值，然后根据分类讨论即可求出的值．
本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的应用，分类讨论思想是本题的关键．22.【答案】 【解析】证明：点、分别是与的中点，
，
，
∽，
，，
，；
证明：，平分交于点，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形；
如图取中点，连接，．
在中，是斜边上的中点，

，
，
在中，、分别是，的中点．
，
．
又是的外角，
，
即，
又，
．
．
又，
，
故答案为：．
由三角形中位线定理可得，可证∽，由相似三角形的性质可得结论；
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质证明，根据三角形的中位线定理和平行线的性质证明，结合三角形的外角的性质和已知条件可得，从而发现．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键．23.【答案】 【解析】解：，，，
，
故答案为：；
当在上，即时，，
当在上，即时，；
；
当点在上时，

，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
，
四边形是轴对称图形，
此时平行四边形是菱形，
，
，
解得；
当点在边上，设交于，如图：

同理可证四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
综上所述，的值为或；
设交于点，
将的面积分成：两部分，
或，
点在边上，时，

则，
，
，
，
，，
∽，
，即，
解得；
点在边上，时，

则，
，
，
，
解得；
点在边上，时，

，
，
，
，
解得，
综上所述，的值为或或．
由勾股定理可得，
当在上，即时，，当在上，即时，；
当点在上时，可证四边形是平行四边形，由，为的中点，知，根据四边形是轴对称图形，知平行四边形是菱形，故C，，即得；当点在边上，设交于，同理可证四边形是菱形，求出，可得，，故，从而；
设交于点，根据将的面积分成：两部分，知或，分三种情况：点在边上，时，，可得，而∽，即知，即，得；点在边上，时，，，可得，有，；点在边上，时，，可求得，，从而．
本题考查四边形综合应用，涉及勾股定理及应用，平行四边形，菱形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．