【期中单元重点题型】（苏科版）2023-2024学年八年级数学上册 第2章 对称图形—圆（动圆相切、轨迹圆最值、阴影面积压轴题目）试卷

第二章 对称图形 圆（压轴题专练）

一、动圆相切问题

1、在平面直角坐标系中，直线经过点A(﹣3，0)、B(0，)，点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，将⊙P沿轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为P′）.当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（  ）

A、1 个             B、2个             C.、3个            D、4个

【答案】C

【解析】解析：如图所示

∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，

∴⊙P的半径是1，

若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（﹣3，0），点B（0，），

∴OA=3，OB=，

∴由勾股定理得AB=，∠DAM=30°.

设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′），

∴MD⊥AB，MD=1，

又∵∠DAM=30°，

∴AM=2，M点的坐标为（﹣1，0），即对应的P′点的坐标为（﹣1，0），

同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（﹣5，0），

∴当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是﹣2，﹣3，﹣4共三个．

2、如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了____s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．

【答案】

【解析】解析：当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF=1.5，
∵AC=2t，BD=t，
∴OC=8﹣2t，OD=6﹣t，
∵点E是OC的中点，
∴CE=OC=4﹣t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO
∴△EFC∽△DCO
∴
∴
由勾股定理可知：CE2=CF2﹢EF2，
∴，
解得：t=或t=，
∵0≤t≤4，
∴t=．

二、圆轨迹最值问题

3．如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为      ．

【答案】

【解析】解：如图1，连接，

四边形是矩形，

∴，，

∵是的中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图2：

当，，三点共线时，的值最小，

∴，

∴，

∴的最小值为．

故答案为：．

4．如图，为等腰直角三角形，，，点为所在平面内一点，，以、为边作平行四边形，则的最小值为    ．

【答案】/

【解析】如图，延长交于点，连接，

∵四边形是平行四边形，

∴，，，

∵，，，

∴，，，，

∴，，，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴点的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点所在圆的圆心为，连接，，，与交于点，

则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：即为的最小值，如图，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

在中，有勾股定理得：，

∴，

即的最小值为：，

故答案为：．

5．如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是      ．

【答案】①②④

【解析】解：在上截取，连接，，，如图所示：

四边形是正方形，，

，，

，

，

，，

点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，

当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确；

在和中，

，

≌，

，

当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，

，

故DE的最小值为，故④正确；

当点在上时，有最小值为，此时，

与不一定相等，故③不一定正确；

故答案为：①②④．

6．如图，在正方形中，，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，的长为      ．

【答案】

【解析】：过点A、M作与相切于点,记的中点为N,与交于点Q,连接,

则，

∵四边形是正方形，，

∴，，

∵M是的中点，

∴，

∵过点A、M作与相切于点，

∴，

∵的中点为N,

∴，，

∴，

∴四边形是矩形,

∴,

在中,

，

∴,

∴当点P运动到点时，最大，

此时，

故答案为：

三、阴影部分面积问题

7．如图，在扇形AOB中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点．点为弧的中点，连接．若，则阴影部分的面积为           ．

【答案】/

【解析】解：连接，，交于，如图所示：

由点为半径的中点可知，

由圆的性质可知，即，

点为弧的中点，即，

，

在等腰中，，，由等腰三角形“三线合一”可知，

，点为半径的中点，

，

在等腰中，，，

，

，则；

由圆的对称性可知，面积等于阴影部分，

，

，

故答案为：．

8．如图，平行四边形ABCD中，，．将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形，此时点恰好在BC边上，点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为      ．

【答案】

【解析】解：连接和，过作于，过作于，过作于，如图所示：

在平行四边形ABCD中，，，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形，此时点恰好在BC边上，

，

在中，，则，

在中，，则，

，

，

，，

，

在中，，则，

，

，

，

，

故答案为：．

9．如图，点C是半径为2的半圆上的点，．长度为2的线段DE在直径AB上，当△CDE的周长最短时，阴影部分的面积为      ．

【答案】

【解析】解：把半圆补全，在另一侧半圆上找一点F，使，作CG⊥AB于G，FH⊥AB于H，连接OC、OF，

∵，，

∴∠AOC=∠FOH=60°，

∵半径为2，

∴CG=FH=，，

∴GH=ED=2，

∴DG=EH，

∵∠CGD=∠FHE=90°，

∴△CDG≌△FEH，

∴CD=EF，

当C、E、F三点共线时，△CDE的周长最短时，此时，点E与圆心重合，点D与A重合，如图所示，

，，

阴影部分的面积为，

故答案为：．

10．如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，AB=4，∠BAD=60°，E为AD上一点，以点E为圆心，以ED的长为半径作弧与BC相切于点H，点F为线段AB中点，则阴影部分面积为       ．

【答案】

【解析】解：过点BG⊥AD于G，连接EH、BD，如图

∵在直角△ABG中，AB=4，∠BAD=60°，

∴，，

∵点H为切点，

∴EH⊥BC，

∴四边形BGEH是矩形，

∴ED=EH=BG，

∴，

∵，，

∴△ABD是直角三角形，即AB⊥BD，

∴，

∵点F为线段AB中点，

∴；

∵，

∴

；

故答案为：．