【期中单元复习提升】（北师大版）2023-2024学年七年级数学上册 第三章 有整式及其加减（压轴题专练）

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第三章 有整式及其加减（压轴题专练）
1．（2022秋•惠阳区校级月考）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（　　）

A．4，2，1 B．2，1，4 C．1，4，2 D．2，4，1
【答案】D
【解答】解：A、把x＝4代入得：＝2，
把x＝2代入得：＝1，
本选项不合题意；
B、把x＝2代入得：＝1，
把x＝1代入得：3+1＝4，
把x＝4代入得：＝2，
本选项不合题意；
C、把x＝1代入得：3+1＝4，
把x＝4代入得：＝2，
把x＝2代入得：＝1，
本选项不合题意；
D、把x＝2代入得：＝1，
把x＝1代入得：3+1＝4，
把x＝4代入得：＝2，
本选项符合题意，
故选：D．
2．（2022秋•浦江县校级月考）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于﹣的结果再乘，
则第8行第3个数（从左往右数）为（﹣）×＝；
故选：B．
3．（2021秋•达州期末）如图，某广场地面的图案是用大小相同的黑、白正方形地砖镶嵌而成，图中第1个黑色L形由3个正方形组成，第2个黑色L形由7个正方形组成，…那么第n个黑色L形的正方形个数是（　　）

A．n2+1 B．n2+2 C．4n+1 D．4n﹣1
【答案】D
【解答】解：第1个黑色“”形由3个正方形组成，
第2个黑色“”形由3+4＝7个正方形组成，
第3个黑色“”形由3+2×4＝11个正方形组成，
…，
那么组成第n个黑色“”形的正方形个数是3+（n﹣1）×4＝4n﹣1．
故选：D．
4．（2022秋•玉田县期末）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第6个图形小圆的个数为（　　）

A．42个 B．44个 C．46个 D．48个
【答案】C
【解答】解：由分析知：第6个图形圆的个数为6×7+4＝46个．
故选：C．
5．（2022秋•碧江区 期末）已知整式的值为6，则2x2﹣5x+6的值为（　　）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【解答】解：∵＝6
∴2x2﹣5x+6＝2（）+6
＝2×6+6＝18，故选：C．
6．（2022秋•港北区期中）若|a﹣b|＝b﹣a，且|a|＝3，|b|＝2，则（a+b）3的值为（　　）
A．1或125 B．﹣1 C．﹣125 D．﹣1或﹣125
【答案】D
【解答】解：∵|a﹣b|＝b﹣a，
∴a＜b，
∴a＝﹣3，b＝±2．
（1）a＝﹣3，b＝﹣2时，（a+b）3＝﹣125；
（2）a＝﹣3，b＝2时，（a+b）3＝﹣1．
故选：D．
7．（2022秋•随县期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）

A．4mcm B．4ncm C．2（m+n） cm D．4（m﹣n） cm
【答案】B
【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，
∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a），
L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b），
∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b），
又∵a+2b＝m，
∴4m+4n﹣4（a+2b），
＝4n．
故选：B．
8．（2022秋•丛台区月考）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（　　）

A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：根据题意可知连续3次变换是一循环．所以10÷3＝3…1．所以是第1次变换后的图形．
故选：B．
9．（2022秋•齐河县校级月考）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（　　）

A．38 B．52 C．66 D．74
【答案】D
【解答】解：8×10﹣6＝74，
故选：D．
10．（2022秋•常州期中）如图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2），（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（　　）个．

A．25 B．66 C．91 D．120
【答案】C
【解答】解：根据题意可得知：
图（1）中有1×1＝1个小正方体；
图（2）中有1×2+4×1＝6个小正方体；
图（3）中有1×3+4×2+4×1＝15个小正方体；
以此类推第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是91个．
故选：C．
11．（2023•永川区一模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（　　）

A．34 B．40 C．49 D．59
【答案】C
【解答】解：当n＝1时，第1个图案的圆点的个数是y1＝5+2＝7个．
当n＝2时，第2个图案的圆点的个数是y2＝y1+3＝5+2+3＝10个．
当n＝3时，第3个图案的圆点的个数是y3＝y2+4＝5+2+3+4＝14个．
当n＝4时，第4个图案的圆点的个数是y4＝y3+5＝5+2+3+4+5＝19．
..．
以此类推，第n个图案的圆点的个数是yn＝5+2+3+4+...+（n+1）
＝个．
∴当n＝8时，第8个图案的圆点的个数是个．
故选：C．
12．（2022秋•新抚区期末）古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为数正方形数．“三角形数”和“正方形数”之间存在如图所示的关系：
即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是（　　）

A．6+15＝21 B．36+45＝81 C．9+16＝25 D．30+34＝64
【答案】B
【解答】解：A、6+15＝21，15﹣6＝9≠，所以A是错误的；
B、36+45＝81，45﹣36＝9＝，所以B是正确的；
C、9+16＝25，16﹣9＝7≠，所以C是错误的；
D、30+34＝64，34﹣30＝4≠，所以D是错误的．
故选：B．
13．（2022秋•邗江区期末）观察下列各式：
，
，
，
…
计算：3×（1×2+2×3+3×4+…+99×100）＝（　　）
A．97×98×99 B．98×99×100
C．99×100×101 D．100×101×102
【答案】C
【解答】解：根据题意可知
3×（1×2+2×3+3×4+…+99×100）
＝3×[×（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（99×100×101﹣98×99×100）]
＝1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+99×100×101﹣98×99×100
＝99×100×101．
故选：C．
14．（2022秋•仙游县校级期末）将正偶数按图排成5列：

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行

2
4
6
8
第2行
16
14
12
10

第3行

18
20
22
24
第4行
32
30
28
26

…

…



根据上面的排列规律，则2008应在（　　）
A．第250行，第1列 B．第250行，第5列
C．第251行，第1列 D．第251行，第5列
【答案】D
【解答】解：∵2008÷8＝251
∴2008在第251行
如图：一列二列三列四列五列
251行2002 2004 2006 2008
∴2008在第251行第5列．
故选：D．
15．（2023•五华县校级开学）观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（　　）

A．3n﹣2 B．3n﹣1 C．4n+1 D．4n﹣3
【答案】D
【解答】解：第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．故选D．
16．（2022秋•南谯区期末）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有　2n（n+1）　根火柴棒．（用含n的代数式表示）

【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意得：n＝1，根数为：4＝2×1×（1+1）；
n＝2，根数为：12＝2×2×（2+1）；
n＝3，根数为：24＝2×3×（3+1）；
…
n＝n时，根数为：2n（n+1）．
故答案为：2n（n+1）．
17．（2022秋•昆山市校级月考）按下面的程序计算，若开始输入的值10，最后输出的结果为 　335　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：若输入的值为10，代入得：3x+5＝3×10+5＝30+5＝35＜300；
此时输入的值为35，代入得：3x+5＝3×35+5＝105+5＝110＜300；
此时输入的值为110，代入得：3x+5＝3×110+5＝335＞300，
则输出的结果为335．
故答案为：335
18．（2022秋•惠阳区校级月考）观察下面的单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是　﹣128a8　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：第八项为﹣27a8＝﹣128a8．
19．（2022春•哈巴河县期中）已知


…
依据上述规律
计算的结果为　　（写成一个分数的形式）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵


…
∴
＝×[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
＝×（1﹣）
＝．
20．（2022•杏花岭区校级模拟）当n等于1，2，3…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于　n2+4n　．（用n表示，n是正整数）

【答案】见试题解答内容
【解答】解：第1个图形：白色正方形1个，黑色正方形4×1＝4个，共有1+4＝5个；
第2个图形：白色正方形22＝4个，黑色正方形4×2＝8个，共有4+8＝12个；
第3个图形：白色正方形32＝9个，黑色正方形4×3＝12个，共有9+12＝21个；
…，
第n个图形：白色正方形n2个，黑色正方形4n个，共有n2+4n个．
故答案为：n2+4n．
21．（2022秋•新洲区期中）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是　900　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据下面一行数字变化规律为：
1×4＝4，
4×9＝36，
9×16＝144，
16×25＝400，
25×36＝a＝900，
故答案为：900．
22．（2022秋•东城区校级月考）定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）＝　8　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：12⊗（﹣1）
＝×12﹣4×（﹣1）
＝8
故答案为：8．
23．（2022春•莱芜区期中）已知：，，，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算＝　210　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
；
；
；
…；
＝＝210．
24．（2022春•通许县期末）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则an＝　3n+1　．（用含n的代数式表示）
所剪次数
1
2
3
4
…
n
正三角形个数
4
7
10
13
…
an

【答案】见试题解答内容
【解答】解：故剪n次时，共有4+3（n﹣1）＝3n+1．
25．（2022秋•雨花区校级月考）若实数a满足a2﹣2a＝3，则3a2﹣6a﹣8的值为　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a2﹣2a＝3，∴3a2﹣6a﹣8＝3（a2﹣2a）﹣8＝3×3﹣8＝1，∴3a2﹣6a﹣8的值为1．
26．（2022春•攸县期末）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕．（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得7条折痕，那么对折四次可以得到　15　条折痕，如果对折n次，可以得到　 　条折痕．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：我们不难发现：
第一次对折：1＝2﹣1；
第二次对折：3＝22﹣1；
第三次对折：7＝23﹣1；
第四次对折：15＝24﹣1；
…．
依此类推，第n次对折，可以得到（2n﹣1）条．
27．（2023•五华县校级开学）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；…；若63也按照此规律来进行“分裂”，
则63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 　 　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：由23＝3+5，分裂中的第一个数是：3＝2×1+1，
33＝7+9+11，分裂中的第一个数是：7＝3×2+1，
43＝13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13＝4×3+1，
53＝21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21＝5×4+1，
63＝31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31＝6×5+1，
所以63“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2×（6﹣1）＝41．
故答案为：41．
28．（2022秋•鹤壁期末）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是 　 　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵n＝1时，有5枚，即3×1+2枚；
n＝2时，有8枚，即3×2+2枚；
n＝3时，有11枚，即3×3+2枚；
…；
∴n＝n时，有3n+2枚．
29．（2023•西吉县一模）找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有　 　个．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，…，
∵1＝1×2﹣1，3＝2×2﹣1，5＝3×2﹣1，
∴故第n幅图中共有（2n﹣1）个．
故答案为：（2n﹣1）．
30．（2022秋•罗定市期末）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
根据前面各式的规律可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝　 　（其中n为正整数）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…x+1）＝xn+1﹣1．
故答案为：xn+1﹣1．
31．（2022秋•泸县期末）按下面程序计算，输入x＝﹣3，则输出的答案是　 　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：输入x＝﹣3
∴x2＝（﹣3）2＝9
∴9+（﹣3）＝6，6÷2＝3
∴最后输出3．
32．（2023春•南关区校级月考）张大伯从报社以每份0.4元的价格购进了a份报纸，以每份0.5元的价格售出了b份报纸，剩余的以每份0.2元的价格退回报社，则张大伯卖报收入　（0.3b﹣0.2a）　元．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意得，张大伯卖报收入为：0.5b+0.2（a﹣b）﹣0.4a＝0.3b﹣0.2a．
三．解答题（共7小题）
33．（2022春•长丰县期末）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．



……
（1）计算＝　　；
（2）探究＝　　；（用含有n的式子表示）
（3）若的值为，求n的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝1﹣﹣+﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；

（2）原式＝1﹣﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；

（3）
＝+…+
＝＝
由＝，解得n＝17，
经检验n＝17是方程的根，
∴n＝17．
34．（2022秋•武城县期末）已知多项式3x2+my﹣8与多项式﹣nx2+2y+7的差中，不含有x、y，求nm+mn的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（3x2+my﹣8）﹣（﹣nx2+2y+7）
＝3x2+my﹣8+nx2﹣2y﹣7
＝（3+n）x2+（m﹣2）y﹣15，
因为不含有x、y，所以3+n＝0，m﹣2＝0，
解得n＝﹣3，m＝2，
把n＝﹣3，m＝2代入nm+mn＝（﹣3）2+2×（﹣3）＝9﹣6＝3．
答：nm+mn的值是3．
35．（2022秋•宛城区校级期末）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于　m﹣n　；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法①　（m+n）2﹣4mn　．方法②　（m﹣n）2　；
（3）观察图②，你能写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系吗？
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝6，ab＝4，则求（a﹣b）2的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）m﹣n；

（2）（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2；

（3）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；

（4）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∵a+b＝6，ab＝4，
∴（a﹣b）2＝36﹣16＝20．
36．（2022秋•兴化市校级期末）某商场购进一批西服，进价为每套250元，原定每套以290元的价格销售，这样每天可销售200套．如果每套比原销售价降低10元销售，则每天可多销售100套．该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润＝每套西服的销售价﹣每套西服的进价）．
（1）按原销售价销售，每天可获利润　8000　元；
（2）若每套降低10元销售，每天可获利润　9000　元；
（3）如果每套销售价降低10元，每天就多销售100套，每套销售价降低20元，每天就多销售200套，按这种方式，若每套降低10x元（0≤x≤4，x为正整数）请列出每天所获利润的代数式　（40﹣10x）（200+100x）　；
（4）计算x＝2和x＝3时，该商场每天获利润多少元？
（5）根据以上的测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：
∵依据利润＝每件的获利×件数，
∴（1）（290﹣250）×200＝8000（元），

（2）（280﹣250）×（200+100）＝9000（元），

（3）（40﹣10x）（200+100x），

（4）当x＝2时，利润为（40﹣10×2）（200+100×2）＝8000（元），
当x＝3时，利润为（40﹣10×3）（200+100×3）＝5000（元），

（5）由题意可知0≤x≤4，x为正整数，
当x＝0时，上式＝（40﹣10×0）（200+100×0）＝8000（元），
当x＝1时，上式＝（40﹣10×1）（200+100×1）＝9000（元），
当x＝4时，上式＝（40﹣10×4）（200+100×4）＝0（元），
所以每套降低10元销售时获利最多，作为商场的经理应以每套280元的价格销售．
37．（2022秋•和平区校级期末）已知A＝﹣x2+x+1，B＝2x2﹣x．
（1）当x＝﹣2时，求A+2B的值；
（2）若2A与B互为相反数，求x的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵A＝﹣x2+x+1，B＝2x2﹣x，
∴A+2B＝﹣x2+x+1+4x2﹣2x＝3x2﹣x+1，
当x＝﹣2时，原式＝3×（﹣2）2﹣（﹣2）+1＝15；
（2）2A+B＝0，即：﹣2x2+2x+2+2x2﹣x＝0，
解得：x＝﹣2．
38．（2023秋•姜堰市校级期末）根据如图的数值转换器，当输入的x，y满足时，请列式并求出输出的结果．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵|x+1|+（y﹣）2＝0，
∴x+1＝0，y﹣＝0，即x＝﹣1，y＝，
根据数值转换机得：[（x﹣5）2﹣2y]＝×（36﹣1）＝．
39．（2022秋•榆树市校级期末）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
①买一套西装送一条领带；
②西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）．
（1）若该客户按方案①购买，需付款　（40x+3200）　元（用含x的代数式表示）；
若该客户按方案②购买，需付款　（3600+36x）　元（用含x的代数式表示）；
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）方案①需付费为：200×20+（x﹣20）×40＝（40x+3200）元；
方案②需付费为：（200×20+40x）×0.9＝（3600+36x）元；
（2）当x＝30元时，
方案①需付款为：40x+3200＝40×30+3200＝4400元，
方案②需付款为：3600+36x＝3600+36×30＝4680元，
∵4400＜4680，
∴选择方案①购买较为合算．