【期中单元复习提升】（人教版）2023-2024学年七年级数学上册 第一章 有理数（4类易错 过关训练）

第一章 有理数单元复习提升（四大易错）

易错点1  利用数轴上两点距离，求另一点表示的数之多解题漏解产生易错

例题：已知、均为数轴上的点，到原点的距离为，点到点的距离为个单位长度，且在的左边，则点表示的数为     ．

【答案】或

【分析】根据题意得到点所表示的数是，根据两点间的距离，求得点所表示的数．

【详解】∵点到原点的距离等于，

∴点所表示的数是，

∵点到点的距离是，且在的左边，

∴点表示的数是：或，

综上所述，点表示的数是或，

故答案为：或．

【点睛】此题考查数轴，解题的关键是数形结合思想，进行分类讨论．

易错变式训练

1．在数轴上，到原点距离等于2的数有        ．

【答案】

【分析】数轴上两点之间的距离右边的数左边的数，分情况讨论即可得到答案．

【详解】解：当这个数在原点左侧时，，

当这个数在原点右侧时，，

即到原点距离等于2的数有，

故答案为：．

【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离．解题关键是掌握在数轴上，到一个定点的距离为若干个单位长度的点通常有两个，在定点左边一个，右边一个．

2．如图，数轴上从左到右依次有点、、、，其中点为原点，、所对应的数分别为、1，、两点间的距离是3．

(1)在图中标出点，的位置，并写出点对应的数；

(2)若在数轴上另取一点，且、两点间的距离是7，求点所对应的数．

【答案】(1)；

(2)5或．

【分析】（1）根据、所对应的数，为原点，确定；结合、两点间的距离是3，且在左侧，确定，依据数轴写出点对应的数即可；

（2）利用两点间的距离公式，分点在点的右侧时或点在点的左侧，两种情况讨论．

【详解】（1）解：（1）如图：

点对应的数是．

（2）因为、两点间的距离是7，

当点在点的右侧时，

表示的数为：

当点在点的左侧时，

表示的数为：

，

即表示的数是5或．

【点睛】本题考查了是数轴上点及两点间的距离公式；解题的关键是掌握距离等于两个数的差的绝对值或直接用右边的数减去左边的数．

3．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，AB=14，点A对应的数为a，点B对应的数为b.

(1) 若b＝－4，则a的值为__________.

(2) 若OA＝3OB，求a的值.

(3) 点C为数轴上一点，对应的数为c．若O为AC的中点，OB＝3BC，直接写出所有满足条件的c的值.

【答案】(1)10；(2)；(3)

【分析】(1)根据题意画出数轴，由已知条件得出AB=14,OB=4,则OA=10,得出a的值为10.

(2)分两种情况,点A在原点的右侧时,设OB=m,列一元一次方程求解,进一步得出OA的长度,从而得出a的值.同理可求出当点A在原点的左侧时,a的值.

(3)画数轴,结合数轴分四种情况讨论计算即可.

【详解】(1)解：若b＝－4，则a的值为 10   

(2)解：当A在原点O的右侧时（如图）：

设OB=m,列方程得：m+3m=14，

解这个方程得，，

所以，OA=，点A在原点O的右侧，a的值为.

当A在原点的左侧时（如图)，

a=－

综上，a的值为±.                       

 (3)解：当点A在原点的右侧，点B在点C的左侧时（如图),  c=－.

当点A在原点的右侧，点B在点C的右侧时（如图),  c=－8.

当点A在原点的左侧，点B在点C的右侧时，图略，c=.  

当点A在原点的左侧，点B在点C的左侧时,图略，c=8.

综上，点c的值为：±8，±.

【点睛】本题考查的知识点是通过画数轴,找出数轴上各线段间的数量关系并用一元一次方程来求解,需要注意的是分情况讨论时要考虑全面,此题充分锻炼了学生动手操作能力以及利用数行结合解决问题的能力.

易错点2  根据点在数轴的位置，利用加减乘法运算判断式子的正负产生易错

例题：如图，点、均在数轴上，且点所对应的实数分别为、，若，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，可知可能同号，也可能异号，而恒成立，即可求解．

【详解】∵，

∴，即在数轴上，在的左侧，

∴或，

∴可能同号，也可能异号，而恒成立，

∴一定正确，

故选：B．

【点睛】本题考查了数轴上点的位置及其大小关系，熟练掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解题的关键．

易错变式训练

1．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由数轴可得：，进而解决此题．

【详解】由数轴可得：．

∴，，，

∴D符合题意．

故选：D．

【点睛】本题主要考查数轴上的点表示的数以及绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的数以及绝对值是解决本题的关键．

2．有理数m、n在数轴上的位置如图，则下列关系式正确的个数有（    ）

①；②；③；④；⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】根据数轴判断m与n与0的大小关系，进而逐一判断即可．

【详解】解：根据数轴可得且，

∴，，即①正确，②错误；

∵，

∴，

∴，即③正确；

∵且，

∴

∴，即④正确；

∵

∴，即⑤正确；

∴①③④⑤正确，正确的个数为4个，

故选：D．

【点睛】本题考查了数轴的应用，解决本题的关键是将m与n与0的大小关系判断出来．

易错点3  含乘方与绝对值的混合运算产生易错

例题：计算：．

【答案】

【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可．

【详解】原式．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．

易错变式训练

1．计算：

(1)；              (2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据去括号法则将括号去掉，再把绝对值化简，最后进行计算即可；

（2）先将乘方和绝对值化简，再记性计算即可．

【详解】（1）解：原式；

（2）解：原式．

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．

2．（1）计算：；    

（2）计算：．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先算乘方和括号，再按照顺序依次计算；

（2）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减．

【详解】解：（1）；

（2）．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．

易错点4  分类讨论化简绝对值求值漏解产生易错

例题：已知、、均为不等式0的有理数，则的值为      ．

【答案】3，-3，1，−1．

【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．

【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；

(2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3；

(3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1；

同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．

(4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1；

同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1．

故答案为：3，-3，1，−1．

【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．

易错变式训练

1．若|x|=5，|y|=2且x<0，y>0，则x=    ，y=    ．

【答案】          2

【分析】由绝对值的定义，得x=±5，y=±2，再根据x＜0，y＞0，即可确定x、y的具体对应值．

【详解】解：∵|x|=5，|y|=2，

∴x=±5，y=±2，

∵x＜0，y＞0，

∴x=，y=2，

故答案为：①；②2．

【点睛】题目主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．

2．已知x、y、z都是不为0的有理数，且满足

(1)判断：x、y、z中有___________个正数；

(2)的值．

【答案】(1)1

(2)0

【分析】（1）根据有理数的乘法法则和加法法则可判断x、y、z中正数的个数；

（2）先化简绝对值，再算加减即可．

【详解】（1）∵，

∴x、y、z中有1个正数，2个负数．

故答案为：1；

（2）∵x、y、z中有1个正数，2个负数，

∴可设，

∴

【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，有理数的加法法则，化简绝对值，判断出x、y、z中有1个正数，2个负数是解答本题的关键．

一、单选题

1．在数轴上一个点移动了个单位长度后到达了表示数的位置，则这个点原来所表示的数是（  ）

A．0 B．或 C．4或 D．2或

【答案】D

【分析】设这个点原来所表示的数为，根据题意可得：，然后进行计算即可解答．

【详解】解：设这个点原来所表示的数为，

由题意得：

，

，

，

或，

或，

这个点原来所表示的数是2或，

故选：D．

【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．

2．两个有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由数轴上点的位置关系，得，，依次进行计算判断即可得．

【详解】解：由数轴上点的位置关系，得，，

A．，选项说法正确，不符合题意，

B．，选项说法正确，不符合题意，

C．，选项说法正确，不符合题意，

D．，选项说法错误，符合题意，

故选：D．

【点睛】本题考查了数轴上的点，有理数的大小比较，解题的关键是利用数轴确定a，b的大小，和的大小．

3．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值是（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】B

【分析】先根据数轴上点的位置得到，再化简绝对值即可得到答案．

【详解】解：由题意得，，

∴，

∴，

故选B．

【点睛】本题主要考查了化简绝对值，有理数与数轴，有理数的除法计算，正确得到是解题的关键．

二、填空题

4．点A在数轴上距离原点3个单位长度，将点A沿着数轴向右移动2个单位长度得到点B，则点B表示的数是          ．

【答案】5或

【分析】由于点A与原点0的距离为3，那么A应有两个点，分别位于原点两侧，且到原点的距离为3，这两个点对应的数分别是和3．A向右移动2个单位长度，通过数轴上“右加左减”的规律，即可求得平移后点B表示的数．

【详解】解：点A在数轴上距离原点3个单位长度，

当点A在原点左边时，点A表示的数是，将A向右移动3个单位长度，则点B表示的数是；

当点A在原点右边时，点A表示的数是3，将A向右移动2个单位，得．

故答案为：或5．

【点睛】此题考查数轴问题，根据正负数在数轴上的意义来解答：在数轴上，向右为正，向左为负．

5．若，则的值为         ．

【答案】或

【分析】根据可得同号，进而分情况讨论即可求解．

【详解】解：∵

∴或，

当时，，

当时，，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了有理数的乘法、绝对值的意义，根据题意分类讨论是解题的关键．

6．已知，，，如果，则         ．

【答案】0或2/2或0

【分析】首先根据绝对值确定，，的可能数值，然后根据，即可确定，，的值，从而求解．

【详解】解：由，，，知，，，

又因为，故，，则

①当时，；

②当时，．

故答案为0或2．

【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，若，则或．解题的关键是正确确定，，的值．

三、解答题

7．计算：

【答案】

【分析】根据有理数混合运算法则进行计算即可．

【详解】解：原式．

【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算．

8．计算：．

【答案】

【分析】先计算括号内的，并要先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．

【详解】解：原式．

【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．

9．计算：

(1)             (2)．

【答案】(1)10

(2)4

【分析】（1）根据乘法的分配律进行计算即可；

（2）先算乘方，绝对值，再算乘除，最后计算加减法．

【详解】（1）解：；

（2）

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，注意运算顺序，是基础知识要熟练掌握．

10．请解答下列问题．

(1)请数轴上用点表示数的相反数；

(2)如果该数轴上点与点之间的距离是，那么点B表示的数是 ．

【答案】(1)见解析

(2)或

【分析】（1）先写出的相反数，再在数轴上表示出来即可；

（2）根据题意，进行分类讨论：当点B在点A左边时，当点B在点A右边时．

【详解】（1）解：的相反数是，

如图所示，点A即为所求；

（2）解：当点B在点A左边时，点B表示的数为：；

当点B在点A右边时，点B表示的数为：；

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示数，解题的关键是掌握用数轴上点表示数的方法，以及数轴上两点之间的距离计算方法．

11．如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值．

【答案】或

【分析】根据绝对值的性质和有理数的除法法则分情况讨论即可．

【详解】解：根据题意，

当时，

；

当时，

；

当时，

；

当时，

；

当时，

；

当时，

；

当时，

；

当时，

；

综上所述，式子的所有可能的值为或．

【点睛】本题考查了有理数的乘法和绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质以及有理数的除法法则是解题的关键．

12．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为 ，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度 ，点C对齐刻度．

(1)在图1的数轴上，＝     个长度单位；在图2中，＝      ；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的      ；

(2)在数轴上点B所对应的数b是     ；

(3)若点Q是数轴上一点，且满足．通过计算，求点Q所表示的数在图2刻度尺中对应的刻度是多少．

【答案】(1)，，

(2)

(3)0或

【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式即可求解；

（2）根据刻度尺上的刻度与数轴上的长度确定单位长度即可求解．

【详解】（1）解：由图1可得 ，

由图2可得，

∴ 数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为：，

故答案为：

（2）解：由图2得：，

∴在数轴上的距离为个单位长度，

∴在数轴上点B所对应的数；

故答案为：

（3）解：在数轴上，∵ ，且 ，

∴ ，

∴点Q在图2刻度尺上对应的刻度是或 .

∴点Q在数轴上表示的数，对应图2刻度尺上的刻度为0或．

【点睛】本题考查了数轴，解题关键是结合刻度尺刻度算出单位长度．

13．（1）若，　　；若，　　；

（2）若，则＝　 　；

（3）若，则　 　．

【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．

【分析】（1）根据的取值，去绝对值符号，然后化简即可；

（2）由（1）可知，结合可知即，化简即可；

（3）结合可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合（1），化简即可．

【详解】解：（1）∵，

∴，

∴；

∵，

∴，

∴，

故答案为：1，；

（2）∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：1；

（3）∵，

∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，

当a、b、c中有一个负数、两个正数时，

，

当a、b、c中有三个负数时，

，

故答案为：1或．

【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．