【期中单元复习提升】（苏科版）2023-2024学年七年级数学上册 第二章 有理数（与数轴有关的压轴题专练）测试卷

第二章 有理数（压轴题专练）

一、数轴与绝对值的综合应用

1．阅读下列材料：

经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：

(1)表示数轴上________与________所对应的两点之间的距离．

(2)表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离．

(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有________．

(4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________．

(5)利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________．

【答案】(1)4，1

(2)5，

(3)，，0，1，2，3，4，5

(4)5

(5)5

【分析】（1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；

（2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；

（3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到5的距离的和为7，继而求解；

（4）（5）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断．

【详解】（1）解：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离；

（2）表示数轴上有理数所对应的点到5所对应的点之间的距离；

，

则表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离；

（3）表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到5的距离的和为7，

∴这样的整数点有，，0，1，2，3，4，5，共8个；

（4）表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到2的距离的和，

则当时，的最小，且为5；

（5）表示数轴上有理数所对应的点到1和以及3的距离的和，

∴当时，的最小，且为5．

2．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：，根据以上信息，回答下列问题：

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______；

(2)点A、B在数轴上分别表示实数x和．

①用代数式表示A、B两点之间的距离；

②如果，求x的值；

(3)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围．

【答案】(1)3，3

(2)①；②或

(3)5，

【分析】（1）根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；数轴上表示和的两点之间的距离是：．

（2）①根据点、在数轴上分别表示实数和，可得表示、两点之间的距离是．②如果，则，据此求出的值是多少即可．

（3）根据题意，可得代数式表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，所以当时，代数式的最小值是表示4的点与表示的点之间的距离，即代数式的最小值是5．

【详解】（1）解：根据分析，可得

数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；

数轴上表示和的两点之间的距离是：

．

（2）①．

②如果，

则，

或，

解得或．

（3）代数式表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，

当时，代数式的最小值是：，

即代数式的最小值是5，的取值范围是．

3．数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作．

回答下列问题：

(1)数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和3的两点之间的距离是_____________；

(2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________；

(3)①找出所有使得的整数x；

②求的最小值．

【答案】(1)5，5

(2)3，

(3)①，0，1，2．  ②4

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可；

（2）根据数轴上两点间的距离公式直接代入可得之间的距离为；当时，即时，可求得x的值；

（3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2）就有，可得这样的整数是；

②对x进行讨论，可得的最小值．

【详解】（1）表示和2的两点之间的距离是，

表示和3的两点之间的距离是；

故答案为：5，5；

（2）由题意可得，，

∴或，

∴或；

故答案为：3，．

（3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2），

就有，因此这样的整数是；

②对x进行讨论：

当时，，恒成立；

当时，；

当时，；

综上，的最小值为4．

4．如图，请回答问题：

(1)点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　．

(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　　重合．

(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．

①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　　．

②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　　．

③当x＝　　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．

④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？

【答案】(1)﹣2，6

(2)9

(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值为

【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可；

（2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合；

（3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小；②当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；③找到2， 2， 3， 3， 4， 4， 4，4， 4的中间数即为所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当x＝时，式子有最小值．

【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6，

故答案为：﹣2，6；

（2）解：∵折叠后点B和点C重合，

∴BC的中点为折痕点，

∴折痕点对应的数是2，

∴点A与数字9重合，

故答案为：9；

（3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和，

∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，

∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3，

故答案为：3；

②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和，

∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，

∵|x﹣4|+|x+3|＝7，

∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，

∴，

∴满足条件的所有整数x的和是4，

故答案为：4；

③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和，

∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4，

∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；

故答案为：4；

④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，

表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和，

∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，

∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为．

二、数轴动点问题

5．数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．

(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；

(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；

(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．

【答案】(1)12

(2)，，

(3)或；8或

【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为；

（2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案；

（3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案．

【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，

∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为，

故答案为：12；

（2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，

∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，

∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离，

∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，

∴，

解得，

故答案为：，，；

（3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，

∴，即，

∴或，

解得或，

由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C，

∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，

当，即M在从点O运动到点C时，

，即，

∴或，

解得或，

当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，

故答案为：或；8或．

6．如图，在数轴上有三点，分别表示有理数，，，且，，满足式子；如图：动点从点出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点运动5秒后，长度为6个单位的线段（为线段左端点且与点重合，为线段右端点）从点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点到达点后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点到达点后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点运动时间为秒．

(1)求，，的值；

(2)当______秒时，点与点重合，并求出此时线段上点所表示的数；

(3)记线段的中点为，在运动过程中，当点与点的距离为1个单位时，求的值．

【答案】(1)，，

(2)22秒，11

(3)或15

【分析】（1）根据绝对值的非负的性质求解即可；

（2）结合（1）确定之间的距离，然后根据点运动的速度可计算当秒时，点与点重合；当秒时，线段的运动时间为秒，即可确定线段从运动到所用时间为秒，结合数轴上点起始位置所表示数为，即可确定线段运动17秒后，点所表示数为；

（3）由点为线段的中点，首先确定点的起始位置所表示数为，然后结合在运动过程中点所表示数为，分，，三个阶段逐一分析计算即可获得答案．

【详解】（1）解：，

，，，

，，，

，，；

（2）所表示数为，所表示数为14，

，

点从运动到所用时间为秒，

即当秒时，点与点重合；

线段的运动时间为秒，

线段从运动到所用时间为秒，

数轴上点起始位置所表示数为，

线段运动17秒后，点所表示数为；

（3）点的起始位置所表示数为：；

在运动过程中，点所表示数为：，

①当时，点所表示数为：，

，（舍），（舍）；

②当时，点所表示数为：，

，，；

③当时，点所表示数为：，

，，．

综上所述，或15．

7．观察、理解与应用．

题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在处，B点在2处，C点在原点处．

(1) ，表示的意义是 ；

(2)，，即用字母表示线段长，，猜想： ，设P、Q在数轴上分别表示的数为和220，则线段 ；

(3)归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为，，则线 ；

(4)应用：若动点P，Q分别从点和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问：

①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答）

②t为 秒时P，Q两点之间的距离为2？

【答案】(1)3，数轴上表示的点到原点的距离

(2)5，320

(3)

(4)①3；②3或7

【分析】（1）根据绝对值的几何意义进行解答即可得出答案；

（2）根据题目所给的例题，根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；

（3）根据（2）中的结论进行解答即可得出答案；

（4）①根据题意先计算出为2秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据（3）结论进行计算即可得出答案；②设经过秒，点表示的数为，点表示的数为，根据（3）中的结论可得，化简得，根据绝对值的性质可得或，计算即可得出答案．

【详解】（1）解：，表示的意义是数轴上表示的点到原点的距离；

故答案为：3，数轴上表示的点到原点的距离；

（2），；

故答案为：5，320；

（3）根据题意可得：；

故答案为：；

（4）①根据题意可得，

为2秒时，点表示的数为，点表示的数为，

；

②设经过秒，点表示的数为，点表示的数为，

则，

化简得，

可得或，

解得：或．

故答案为：3或7．

8．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．

(1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______；

(2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，

直接回答：，则 ：有最小值是______；

(3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。

【答案】(1)4；1

(2)或4；4

(3)存在；或2

【分析】（1）数轴上点表示的数为，点表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段的中点公式直接求出线段的长度为4，线段中点表示的数为1；

（2）按或或化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按或或分类讨论，求出在每种情况下的值或取值范围，再进行比较，得出结果；

（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按或或分类讨论，根据列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．

【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为3，

∴，，

∴线段的长度为4，线段中点表示的数为1；

故答案为：4；1．

（2）解：当时，，

解得：；

当时，，

∴当时，不存在x的值使；

当时，，

解得：；

∴时，或；

当时，，

当时，，

当时，，

∴的最小值为4；

故答案为：或4；4．

（3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m，

解，

∴，

解得：，

∴点S表示的数为6，

当时，由得：

，

解得：；

当时，由得：

，

解得：；

当时，由得：

或，

解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去），

综上所述：“幸运点”P对应的数是或2．