北师大版七年级数学上册专题01 丰富的图形世界 重难点题型

这是一份北师大版七年级数学上册专题01 丰富的图形世界 重难点题型，共23页。
专题01 丰富的图形世界 重难点题型（北师大版）

题型1. 几何体的识别
【解题技巧】认识常见的立体图形（柱体、锥体、球体、台体），掌握各类几何体的特征．
1．（2021·湖南永州市·七年级期末）下列物体是，形状是圆柱的是（ ）
A．B．C． D．
2．（2021·广西河池市·七年级期末）下列几何体中，属于棱锥的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川成都市·七年级期末）下列几何体中，是棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京九年级一模）下列几何体中，是长方体的为（ ）
A．B． C． D．
5.（2021·广西玉林市·七年级期末）下列图形属于立体图形的是（ ）
A．正方形 B．三角形 C．球 D．梯形
6．（2021·吉林长春市·七年级月考）将下列几何体与它的名称连起来


题型2. 几何体的特征与性质
【解题技巧】熟练掌握各类几何体的特征和性质，并能根据各自的特征和性质判定即可．
1．（2022·河北省初一期末）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是(　　)
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥
2．（2021·西安市铁一中学七年级月考）下列说法不正确的是（　　）
A．长方体是四棱柱 B．八棱柱有8个面
C．六棱柱有12个顶点 D．经过棱柱的每个顶点有3条棱
3．（2022·成都市初一月考）关于棱柱，下列说法正确的是（ ）
A．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 B．棱柱的每条棱长都相等
C．棱柱的上、下底面的形状相同 D．棱柱的棱数等于侧面数的2倍
4．（2021·江苏连云港市·七年级期末）有一个几何体模型，甲同学：它的侧面是曲面；乙同学：它只有一个底面，且是圆形.则该模型对应的立体图形可能是（　　）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱
5．（2021·江苏连云港市·七年级期末）如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得（　　）

A．2 B．-2 C．0 D．4
6．（2022·山东省奚仲中学初一期中）几个同学在公园玩，发现一个漂亮的“古董”. 甲：它有10个面；乙：它有24条棱；丙：它有8个面是正方形，2个面是多边形；丁：如果把它的侧面展开，是一个长方形，这个长方形有八种颜色，挺好看. 通过这四个同学的对话，从几何体的名称来看，这个“古董“的形状是_______.

题型3 欧拉公式的运用
解题技巧：熟练记忆欧拉公式。 欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2
1．（2022·渠县文崇中学七年级月考）一个棱柱的面数为14，棱数是36，则其顶点数为________．
2．（2021·桥柱中学七年级期末）如图所示，截去正方体的一角变成一个多面体，这个多面体有____条棱，有____个顶点．

3．（2021·四川成都市·七年级期末）十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2，这就是著名的欧拉定理．而正多面体，是指多面体的各个面都是形状大小完全相同的的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可是正多面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”：

（1）如图1，正四面体共有______个顶点，_______条棱．
（2）如图2，正六面体共有______个顶点，_______条棱．
（3）如图3是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有_______个顶点，_______条棱．
（4）当我们没有正12面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：我们设正12面体每个面都是正n（n≥3）边形，每个顶点处有m（m≥3）条棱，则共有12n÷2＝6n条梭，有12n÷m＝个顶点．欧拉定理得到方程：+12﹣6n＝2，且m，n均为正整数，
去掉分母后：12n+12m﹣6nm＝2m，
将n看作常数移项：12m﹣6nm﹣2m＝﹣12n，
合并同类项：（10﹣6n）m＝﹣12n，
化系数为1：m＝，
变形：＝＝＝＝．
分析：m（m≥3），n（n≥3）均为正整数，所以是正整数，所以n＝5，m＝3，即6n＝30，．
因此正12面体每个面都是正五边形，共有30条棱，20个顶点．
请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正20面体共有_____条棱；_______个顶点．

4．（2022·全国七年级）对于如图①、②、③、④所示的四个平面图

我们规定：如图③，它的顶点为A、B、C、D、E共5个，区域为AED、ABE、BEC、CED共4个，边为AE、EC、DE、EB、AB、BC、CD、DA共8条．
（1）按此规定将图①、②、④的顶点①数、边数、区域数填入下列表格：
图
顶点数
边数
区域数
①



②



③
5
8
4
④



（2）观察上表，请你归纳上述平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系．
（3）若有一个平面图满足（2）中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且每一个顶点出发都有3条边，则这个平面图共有多少条边？

5．（2022·渠县第四中学七年级月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
　 　
长方体
8
6
12
正八面体
　 　
8
12
正十二面体
20
12
30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　 　．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．




6．（2020·山东枣庄市·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形




顶点数V
4
6
8

棱数E
6

12

面数F
4
5

8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．


题型4 点线面之间的关系与旋转体问题
【解题技巧】点：在几何体中，线与线相交的地方是点．它是组成图形最基本的元素，一切图形都是由点组成的，如天上的星星、世界地图上的城市等等都给我们以点的形象．
线：面与面相交的地方形成线．点动成线，线分为直线和曲线两种．如长方体的6个面相交成的12条棱是直线，圆柱的侧面与底面相交得到的圆是曲线．
面：包围着体的是面．面有平的面和曲的面之分，如长方体由6个平面组成，圆柱（锥）的侧面是曲面．要得到一个与几何体有关的平面，常采用展开的方法或从不同的方向看，即视图．
体：几何体简称体．由面围成的，也可以看成由平面平移而成或看成由平面绕某一条直线旋转而成．我们学过的长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体．
旋转平面图形，可以看成由平面平移而成或看成由平面绕某一条直线旋转而成．
1．（2021·湖北咸宁市·）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（ ）
A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转
2．（2021·河北七年级期末）“天空中的流星”，用数学知识解释为：_____________．
3．（2022·山西七年级期末）汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（ ）

A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都正确
4．（2022·山东菏泽市·七年级月考）铅笔在纸上划过会留下痕迹，这种现象说明点动成线；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，看上去像形成了一个球，这体现的数学知识是______．
5．（2021·四川成都市·七年级期末）下列图形绕虚线旋转一周，便能形成圆锥体的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·广西钦州市·七年级期末）长方形绕旋转一周，得到的几何体是（ ）

A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．长方体

题型5 简单几何体的展开折叠问题
【解题技巧】（1）展开图全是长方形或正方形时，应考虑长方体或正方体．
（2）展开图中含有三角形时，应考虑棱锥或棱柱．当展开图中只含有2个三角形和3个长方形时，必是三棱柱．若展开图全是三角形（4个）时，一定是三棱锥．
（3）展开图中含有圆和长方形时，一般考虑圆柱．
（4）展开图中含有扇形时，考虑圆锥．
（5）不是所有的立体图形都有平面展开图，如球体就不能展开．
1．（2021·北京九年级二模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）

A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥
2．（2021·浙江杭州市·九年级一模）如图，下列图形中经过折叠不能围成一个直四棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·扬州市梅岭中学九年级一模）一个几何体的展开图如图所示，则这个几何体是（ ）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．长方体 D．圆锥
4．（2021·江西南昌市·九年级二模）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·太原市育英中学校七年级期中）图，点，是正方体的两个顶点，将正方体按如下方式展开，则在展开图中点，的位置标注正确的是（ ）

A． B． C． D．
6．（2022·全国七年级专题练习）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①、②、③、④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是___．


题型6 展开折叠中的对面问题和推理问题
解题技巧：①对于比较简单的展开与折叠,可以进行推理；②记住一些常见几何体的展开图(比如长方体、正方体)；③如果是比较复杂的几何体,动手操作最好.
1．（2021·河南洛阳市·九年级一模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“神”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A．发 B．扬 C．三 D．牛
2．（2021·山东省初一期中）如图是正方体的一种展开图，其中每个面上都有一个数字，在原正方体中，与数字1相对面上的数字是___。

3．（2022·重庆七年级月考）如图所示是正方体的平面展开图，且相对面上两个数之和为6，则_________

4．（2022·滕州七年级月考）有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位置（如图）,请你根据图形判断涂成绿色一面的对面涂的颜色是( )

A．白 B．红 C．黄 D．黑
5．（2021·河北九年级一模）有三个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置请你判断数字4对面的数字是（　　）


A．6 B．3 C．2 D．1
6．（2022·成都市七年级期中）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是________，最小是________．


题型7 展开折叠中的特殊标志问题
1．（2022·成都七中七年级月考）如图中四个图形折叠后所得正方体与所给正方体的各个面上颜色一致的是（　　）

A． B．C． D．
2．（2022·山西吕梁·七年级期末）有一种正方体如图所示，下列图形是该正方体的展开图的是（ ）

A． B． C． D．
3．（2021·江苏扬州市·七年级期末）如图，已知一个正方体的三个面上分别标有字母a、b、m，则它的展开图可能是下面四个展开图中的（　　）

A． B． C． D．
4．（2022·吉林白城市·七年级期末）下图是一个三棱柱纸盒的示意图，则这个纸盒的平面展开图是（ ）

A． B． C． D．
5．（2021·湖北随州市·七年级期末）下边几何体的展开图可能是（ ）

A． B． C． D．
6．（2021·江苏南京市·七年级期末）下列四个正方体的展开图中，能折叠成如图所示的正方体的是（ ）

A． B． C． D．
7．（2021·河北邢台市·九年级零模）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（ ）

A． B． C． D．

题型8 展开折叠中的计算问题
1．（2021·河北沧州市·九年级一模）如图，是某几何体的展开图，，则（ ）

A． B． C． D．
2．（2021·饶平县第五中学七年级期末）一个直六棱柱所有棱长都是，这个六棱柱的侧面积是______．
3．（2022·苏州高新区七年级月考）如图，一个长方体的表面展开图中四边形ABCD是正方形，则根据图中数据可得原长方体的体积是__cm．

4．（2021·四川成都市·七年级期末）一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为_____cm3．
5．（2021·山东青岛市·七年级期末）如图：把一张边长为15cm的正方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），当剪去的正方形边长从4cm变为6cm后，长方体纸盒容积变______（填大或小）了________．

6．（2022·全国七年级）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：

（1）小明总共剪开了　条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．



题型9 截面相关问题
【解题技巧】截一个几何体，关键明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对
于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．
1．（2021·江西吉安市·七年级期末）用一个平面去截一个几何体，截面形状为圆，则这个几何体可能为__________（填序号）．
①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱
2．（2021·山西晋中市·七年级期末）用一个平面去截一个几何体，截面形状为长方形，则这个几何体可能为：①正方体；②三棱锥；③圆柱；④圆锥 __________（写出所有正确结果的序号）．
3．（2021·四川成都市·七年级期末）用一平面截一个正方体，不能得到的截面形状是（　　）
A．等边三角形 B．长方形 C．六边形 D．七边形
4．（2021·陕西西安市·九年级零模）用一个平面分别截下列几何体，不能得到三角形截面的几何体是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国七年级专题练习）下面几何体截面图形的形状是长方形的是_____________．（只填序号）

6．（2021·兰州市第三十六中学七年级期末）用一个平面去截圆柱，则它的截面图不可能是（ ）
A．长方形 B．圆形 C．正方形 D．三角形
7.（2022•泾源县期中）下列语句中错误的是（　　）
A．正方体的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形
B．正方体的截面可能是长方形，长方体的截面不可能是正方形
C．正方体的截面不可能出现七边形
D．正方体的截面可能是梯形

题型10 几何体的三视图
1．（2021·天津九年级一模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．
2．（2021·辽宁抚顺市·九年级二模）如图，下列图形从正面看是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川成都市·七年级期中）如图摆放的四个几何体中，从上面看和从正面看看到的图形一定相同的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·云南红河·七年级期末）如图所示是由七个相同的小正方体堆成的物体，从正面看这个物体的平面图是（ ）

A． B． C． D．
5．（2021·山西七年级期末）如图是3级台阶的示意图，则从正面看到的平面图形是（ ）

A． B． C． D．
6．（2021·江苏苏州市·九年级专题练习）由6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它从正面看到的视图是（ ）

A． B． C． D．

题型11 三视图中的最值问题
解题技巧：这类题目的解题思路有两种：（1）由从三个不同的方向看到的形状，可以在俯视图上，标出相应的摆放的最多数量，进而求出答案，做出选择．（2）由两个视图求小立方体个数的最多或最少问题,最多=主视图和俯视图对应列的乘积之和，最少=主视图全部个数+俯视图除去最多一行余下的个数.
1．（2021·山西运城市·七年级期末）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，从正面和左面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是___________．

2．（2022·广东省初一期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图所示的分别是从它的正面、左面看到的图形，则搭成该几何体最多需要__个小立方块.

3．（2021·山东省初一期中）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要________个小立方块．

4．（2022·崇仁县第一中学初一期中）用小立方体搭一个几何体，从左面和上面看如图所示，这样的几何体它最少需要_______.块小立方体，最多需要_______.块小立方体.

5．（2022·成都市初一期末）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的从正面看，从上边看到的图形，若组成的这个几何体的小正方体的块数为，则的所有可能的值之和为____________．

6．（2022·内蒙古包头市·七年级月考）如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，设小正方体的个数为．
（1）请你写出一个符合上述视图的的值______，并画出它对应的左视图；（2）写出的所有可能值．


题型12 三视图相关的计算问题
1（2021·全国初一课时练习）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为________cm2．

2．（2022·全国）如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的一边所在直线为轴，将其旋转一周，形成圆柱，其体积为_____．（结果保留）

3．（2022·无锡市七年级月考）把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形式．

（1）该几何体的体积是______，表面积是______；（2）在格纸中画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
4．（2022·河南平顶山市·七年级期中）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图.
（1）写出这个几何体的名称；（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积.

5．（2022·会宁县七年级月考）如图是由7个相同的小立方体组成的几何体，
（1）请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．
（2）现量得小立方体的棱长为2cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．

6．（2021·广西钦州市·七年级期末）如图所示的几何体是由三个大小完全相同的小正方体组成．
（1）在指定区域内画出从不同的方向看这个几何体得到的平面图形；
（2）已知小正方体的棱长是，求这个几何体的体积和表面积．

题型13 三视图的画法
1．（2021·成都市棕北中学）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．请画出这个几何体的三视图；

2．（2021·广东茂名市·七年级期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体．请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．

3．（2021·吉林长春市·长春外国语学校七年级开学考试）由几个相同的棱长的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，在网格中画出这个几何体的主视图和左视图（注：网格中小正方形的边长等于小正方体的棱长）

4．（2021·江西赣州市·七年级期末）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，请你按下列要求画出平面图形．


5．（2021·陕西宝鸡市·七年级期末）如图所示的是从上面看由几个相同的小立方块堆放而成的几何体得到的形状图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，请画出这个几何体从正面看得到的平面图形．

6．（2021·河南洛阳市·七年级期末）在水平的桌面上，由若干个完全相同棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．（1）请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；（2）若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，在这个几何体上最多可以添加多少个小正方体？（3）若给该几何体露在外面的面喷上红漆（不含几何体的底面），则需要喷漆的面积是多少cm2？

7．（2021·江苏盐城市·七年级期末）在平整的地面上，有若干个完全相同棱长为1的小正方体堆成一个几何图所示．（1）请画出这个几何体的三视图．（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体．（3）如果需要给原来这个几何体表面喷上红漆，则喷漆面积是多少？