山东省泰安第一中学2023-2024学年高二上学期十月份学情诊断数学试题

泰安一中2022级高二上学期十月份学情诊断

数学试题

一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

2．已知两条直线和，若，则实数的值为（    ）

A．或1 B． C．1 D．

3．如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ）

A．    B．

C．    D．

4．在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （    ）

A．1 B．2 C． D．

5．过点作直线l与两坐标轴的正半轴相交，所围成的三角形面积为2，则这样的直线l有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．0条

6．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

7．已知直线l经过，且在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．

8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题:共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．在下列四个命题中，正确的是（    ）

A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0

B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为

C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大

10．在同一平面直角坐标系中，表示直线与的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

11．下列说法错误的是（    ）

A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

B．直线的倾斜角的取值范围是

C．过两点的所有直线，其方程均可写为

D．己知，若直线与线段有公共点，则

12．已知正三棱柱的所有棱长均相等，D，E分别是的中点，点P满足，下列选项正确的是（    ）

A．当时，为锐角                  B．当时，

C．当时，有且仅有一个点P，使得   D．当时，∥平面

第II卷（非选择题）

三、填空题: 共4小题，每小题5分，共20分.

13．设，向量，，，且，，则      .

14．如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是           .

15．已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是                 .

四、解答题:共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知的三个顶点坐标分别为，，．求：

(1)AB边中线所在的直线方程；

(2)BC边的垂直平分线所在的直线方程．

18．（12分）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.

19.（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点，且BM⊥PD.求平面BAM与平面AMC夹角的余弦值.

20．（12分）设直线l的方程为，若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.

21．（12分）如图，正三角形 与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．

 (1)求点 到平面 的距离；

(2)已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出的值．

22.（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点，.

(1)证明：；

(2)当为何值时，平面与平面夹角的正弦值最小?

10月月考参考答案：

1----8．DBAB    5．A

6．C【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，

因为，，所以，，

因此，，

于是得

，

则当时，，此时点Q，

所以当取得最小值时，点Q的坐标为.

故选：C

7．A【详解】由直线l在x轴上的截距的取值范围为可知直线过的斜率为，过点的斜率，且过点的斜率不存在；

故线l的斜率或.

故选:A

8．A【详解】解：∵平面的方程为．∴平面的一个法向量为，同理，可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．设平面与平面的交线的方向向量为，则，取，则，设直线与平面所成的角为，则．

故选：A．

9．AB     10．AC

11．AC【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立；

若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立；

“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误；

对于B，由直线得：，

直线的斜率，即，

又，，B正确；

对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误；

对于D，由得：，直线恒过定点；

，，

结合图象可知：，，D正确.

故选：AC.

12．BD【详解】如图，设该三棱柱棱长为2，易得AD⊥BC，，以D为坐标原点，分别为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系.于是，，则.

对A，若，则，所以，正负不定，不一定为锐角，故错误；

对B，若，，则，故正确；

对C，若，，，若，则，而，则或，则点P不唯一，故错误；

对D，，设平面ADE的法向量为，则，取b=1，则，，所以，由可知，，则，而平面，所以∥平面.故正确.

故选：BD.

13．     14．.       15．

【详解】因为，

所以，，

因为向量与的夹角为锐角，

所以，解得，

而当时，，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

16．

17．(1)

(2)

【详解】（1）中点坐标为，所以边中线所在直线方程为，

即.

（2）中点坐标为，，

所以边的垂直平分线的斜率为，

所以边的垂直平分线所在直线方程为，

即.

18．或

【详解】设直线在轴上的截距分别为，

当时，直线经过原点，则直线斜率，

直线方程为，即；

当时，可设直线方程为，则，

直线方程为；

综上所述：直线方程为或.

19．

【详解】∵PA⊥平面ABCD，，平面ABCD

∴，

∵底面ABCD是矩形

∴AB⊥AD

∴如图所示，选点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

∵PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点

∴，，，，，

∴，

∵BM⊥PD.

∴，即，解得：

∴

∵AB⊥平面PAD，PD平面PAD

∴AB⊥PD

∵BM⊥PD，

∴PD⊥平面ABM

∴平面ABM的法向量为

设平面ACM的法向量为

则，即，令得：，，所以

则

设二面角的大小为，由题意知，为锐角

则

20．由题意知，令，解得，解得；

令，解得，解得或.综上有.

∴

，

当且仅当，即时取等号.∴（为坐标原点）面积的最小值是6，此时直线方程，即.

21．(1)

(2)

【详解】（1）∵，是AB的中点，∴，

∵平面平面，平面平面，平面ABE，

∴平面ABCD，平面ABCD，

∴.

平面ABCD，平面ABCD，

∴，菱形ABCD中，，所以是正三角形，

∴．

∴ 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M-xyz．

则，，，，，，，，设是平面ACE的一个法向量，

则，

令，得，设点B到平面EAC的距离为d，则

，

∴点B到平面EAC的距离为

（2）因为轴垂直平面,所以设平面的法向量为

，，

设，，

则，

∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，

，

由，解得，

∴．

22．【答案】(1)见解析；(2)

解析：因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以

因为，，所以，

又，所以平面．

所以两两垂直．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

所以，．

由题设()．

(1)因为，

所以，所以．

(2)设平面的法向量为，

因为，

所以，即．

令，则

因为平面的法向量为，

设平面与平面的二面角的平面角为，

则．

当时，取最小值为，

此时取最大值为．

所以，

此时．