第十三章 轴对称 章末检测卷-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版）

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第十三章 轴对称 章末检测卷（人教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·重庆八中七年级期末）下列各城市地铁标志中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．
【详解】、不是轴对称图形，不合题意；、是轴对称图形，符合题意；
、不是轴对称图形，不合题意；、不是轴对称图形，不合题意；故选：．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2021·河南省实验中学八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适，故选：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，理解基本性质是解题关键．
3．（2021·内蒙古中考真题）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B 在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；选项B，只有AE=EB时，才符合题意．故选B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
4．（2021·青海西宁市·八年级期末）如图，与关于直线对称，点为上任一点，下列结论中错误的是（ ）

A．是等腰三角形 B．垂直平分
C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在上
【答案】D
【分析】据对称轴的定义，△ABC与关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．
【详解】解：∵△ABC与关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△AP是等腰三角形，MN垂直平分A，C，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，
直线AB，关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质与运用，掌握对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键．
5．（2021·河北中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）

A．0 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
【详解】解：连接，如图，

∵是P关于直线l的对称点，∴直线l是的垂直平分线，∴
∵是P关于直线m的对称点，∴直线m是的垂直平分线，∴
当不在同一条直线上时，即
当在同一条直线上时，故选：B
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键
6．（2021·福建九年级二模）如图，正五边形中，F为边中点，连接，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接AC，AD，正五边形ABCDE中，得到AB=AE=BC=DE，∠B=∠E，证得△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠CAF=∠DAF，即可得到结论．
【详解】解：连接AC，AD，

五边形ABCDE是正五边形，，，
在△ABC和△AED中△ABC≌△AED，
．故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．（2021·广东八年级期末）如图，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，则下列结论正确的有（　　）
①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，可得出∠ABC＝∠ACB，再利用等角对等边可得出AB＝AC，可判断①；由∠A＝∠A，AB＝AC及∠ABE＝∠ACD，可证出△ABE≌△ACD（ASA），再利用全等三角形的性质可得出AD＝AE，CD＝BE，可判断②④；由AB＝AC，AD＝AE，可得出BD＝CE可判断③即可．
【详解】解：∵∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，∴∠ABE+∠EBC＝∠ACD+∠DCB，
∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，结论①正确；
在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD＝AE，CD＝BE，结论②④正确；∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE，结论③正确．∴正确的结论有4个．故选择：D．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（2020·浙江诸暨初二期末）如图，直角梯形纸片对边，是直角，将纸片沿着EF折叠，DF的对应边交AB于点G，FH平分交AC于点H．则结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由平行线的性质可得∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，由折叠的性质可得∠GFE=∠EFD，可得∠AGF=2∠GFE，∠GEF=∠GFE=∠EFD，可判断①和②，由角平分线的性质和平角的性质可得∠GFE+∠D'FH=90°，由余角的性质可得∠CHF=∠GFE，可判断③，由折叠的性质可求∠BEF的值，可求∠GFE=∠GEF=55°，可判断④，即可求解．
【解析】解：∵AB∥CD，∴∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，
∵将纸片沿着EF折叠，DF的对应边D'F交AB于点G，∴∠GFE=∠EFD，∴∠AGF=2∠GFE，故①正确；
∵∠GEF=∠GFE=∠EFD，∴GE=GF，
∵无法证明△GEF是等边三角形，∴GE≠EF，∴∠EGF≠∠GFE；故②错误；
∵FH平分∠CFD'，∴∠CFH=∠D'FH，∵∠D'FC+∠D'FD=180°，∴∠GFE+∠D'FH=90°，
又∵∠CHF+∠HFC=90°，∴∠CHF=∠GFE，故③正确；
∵将纸片沿着EF折叠，DF的对应边D'F交AB于点G，∴∠BEF=∠B'EF，
∴，∴∠GEF=55°=∠GFE，故④正确，故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
9．（2021·江苏·初二月考）如图，已知 ……，若∠A＝70°，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边对等角可得∠AA1B=∠A=70°，然后根据三角形外角的性质和等边对等角可得∠A1A2B1=∠AA1B==35°，同理可得：∠A2A3B2=∠A1A2B1==，∠A3A4B3=∠A2A3B2==，找出规律即可得出结论．
【解析】∵，∴∠AA1B=∠A=70° ∵∴∠A1A2B1=∠A1 B1A2
∵∠AA1B=∠A1A2B1＋∠A1 B1A2∴∠A1A2B1=∠AA1B==35°
同理可得：∠A2A3B2=∠A1A2B1== ∠A3A4B3=∠A2A3B2==
∴= 故选C．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握等边对等角和三角形外角的性质是解决此题的关键．
10．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，中，，，，于点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD=PB+PD的最小值，即可得到结论．
【详解】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，∴点A，B关于直线EF对称，∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11．（2021·江西八年级期末）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】由条件可得点A是点C冠以ED的对称点，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在点P运动的过程中，P与E重合时有最小值．
【详解】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴PC+PB=PA+PB，
∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值，∴PB+PC的最小值=AB=5．故选：A
【点睛】本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键．
12．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．
【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD =∠BCE，
∴△ACD≌△BCE， ∴①的说法是正确的；
∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC =∠QEC，
∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，
∴PC=QC，∴△CPQ是等边三角形；∴②的说法是正确的；
∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，，

过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，
∴，∴CG=CH，∴平分，∴③的说法是正确的；
无法证明△BPO≌△EDO．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2021·河南驻马店市·八年级期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________．

【答案】对应点到对称轴的距离相等
【分析】由已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案．
【详解】解：两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点到对称轴的距离相等．
故答案为：对应点到对称轴的距离相等．
【点睛】本题主要考查了轴对称及平移的性质，正确把握对应点之间关系是解题的关键．
14．（2021·山西绛县·初二期末）如图所示．在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=6cm，∠B=15°，则AC等于 cm

【答案】3
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分性质求出BE=AE=6cm，求出∠EAB=∠B=15°，即可求出∠EAC，根据含30°角的直角三角形性质求出即可．
【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°∴∠BAC=90°-15°=75°
∵DE垂直平分AB，BE=6cm∴BE=AE=6cm，∴∠EAB=∠B=15°∴∠EAC=75°-15°=60°
∵∠C=90°∴∠AEC=30°∴AC=AE=×6cm=3cm
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．
15．（2021·辽宁九年级二模）如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．

【答案】56
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ＋∠BAG＝90°，∴∠AGQ＝90°−∠BAG＝90°−34°＝56°，故答案为：56．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键．
16．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，在中，，分别作，两边的垂直平分线、，垂足分别是点、．以下说法正确的是______（填序号）．
①；②；③；④点到点和点的距离相等．

【答案】①②④
【分析】根据垂直的定义、四边形内角和等于360°计算，判断①；根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA，FB=FA，进而得到∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，经过计算判断②；根据等腰三角形的性质判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④．
【详解】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA=∠PNA=90°，∠BAC=120°∴∠P=360°-90°-90°-120°=60°，①说法正确；
∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°-120°=60°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴EC=EA，FB=FA，
∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B， ∴∠EAF=∠BAC-∠EAC-∠FAB=∠BAC-（∠B+∠C）=120°-60°=60°，
∴ ∠EAF=∠B+∠C，②说法正确；△ABC不一定是等腰三角形，
∴PE与PF的大小无法确定，③说法错误；连接PC、PA、PB，

∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴PC=PA，PB=PA，
∴PB=PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法正确，故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
17．（2021·重庆八中八年级期末）如图，在中，，M、N为边AB、BC上的两个动点，将沿MN翻折，翻折后点B的对应点D落在直线BC上方，连接CD，，且，则当是等腰三角形时，_____________度．

【答案】40
【分析】连接BD，根据折叠的性质可得，得 ，再分DN=DC，DN=NC，NC=DC三种情况讨论可得结果．
【详解】解：连接BD，如图，

由折叠可得，MB=MD，BN=DN，∴，
∵ ∴
∴
∵ ∴
∵是等腰三角形，∴分三种情况讨论：
①当NC=DC时，
又 ∴
整理得， 故此种情况不存在；
②当DN=DC时， ∴
解得，∴；∵∠AMD＞20°，∴此种情况须舍去；
③当DN=NC时，
∵∴
解得， ∴ 综上，的度数为 故答案为：
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，灵活掌握分类讨论思想是解答此题的关键．
18．（2021·和平区·天津一中八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=__________（度）．

【答案】50
【分析】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，可知此时最小，此时，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，
∴，
∵，∴，
∵，，∴ ，
∴ ．故答案为：50．

【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．
三、解答题（本大题共8小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·辽宁抚顺市·八年级期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度所得到的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）画出△DEF关于x轴对称后所得到的△D1E1F1，并写出点E1，F1的坐标；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴．

【答案】（1）图见解析，A1（3，2），B1（4，1）；（2）图见解析，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）见解析
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出点D1，E1，F1的坐标，然后描点即可；
（3）直线C1F1和C1F1的垂直平分线都是△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形的对称轴．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（3，2），B1（4，1）；
（2）如图，△D1E1F1为所作，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）如图，直线l和直线l′为所作．

【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．
20．（2021·山东八年级期末）某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示（点M，N表示大学，OA，OB表示公路）现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．

【答案】作图见解析．
【分析】根据题意，分别作的平分线和MN的垂直平分线即可求得
【详解】解：分别作的平分线和MN的垂直平分线；作图步骤如下：
①以为圆心，任意长度为半径作弧，交于两点，分别以为圆心，以大于为半径在角的内部分别作弧，交于一点，作射线；
②分别以为圆心，以大于为半径在的两侧分别作弧，交于,作直线；
与的交点即为所求

如图所示，P在的平分线和MN的垂直平分线的交点上，点P就是仓库应该修建的位置．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，以及角平分线和垂直平分线的作图，熟练作图步骤是解题的关键．
21．（2021·石家庄市第四十中学九年级二模）如图，在中，D为BC中点，交的平分线AE于E，于F，交AC的延长线于G．

（1）求证：；（2）若，，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）连接BE、EC，证明即可；
（2）证明，则，继而求得的长
【详解】（1）证明：如图，连接BE、EC，

∵，D为BC中点，∴，
∵，，且AE平分，∴，
在和中，，（HL）∴．
（2）解：在和中，，
∴（HL），∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的证明，全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22.（2021•西湖区校级月考）如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．

【分析】先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，即可得出答案．
【答案】解：如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．

理由：由作图过程可知，四边形ACDA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
【点睛】本题考查的是作图﹣平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
23．（2021·山东枣庄市·八年级期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与点，重合），连接，作，交线段于点．

（1）当时，______，当点从点向点运动时，逐渐变______（填“大或“小”）．
（2）当等于多少时，？请说明理由．
【答案】（1），小；（2）当时，．
【分析】（1）根据三角形内角和定理计算，得到答案；（2）当时，利用，，得到，根据，证明．
【详解】（1），，，
由图形可知，逐渐变小；故答案为：，小；
（2）当时，，
理由：，，
，，，
在和中，，．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
24．（2021·浙江八年级月考）台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和技能的较量．

问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判断．
问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？
请用尺规作图在图（2）中作出这一点．
问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3．母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了 次；若AB=100，BC=99，母球P还终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了 次．
【答案】问题1 BC∥PA；问题2见解析；问题3比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+99﹣2=197次．
【详解】（1）类似于光线的反射问题，可通过计算同旁内角互补，得出平行的结论；
（2）入射角等于反射角，找出E点关于AB的对称点E1，连接E1F交AB于H根据对称图形的特点及对顶角相等得出∠BHF=∠E1HA=∠EHA，求出E1N及NF的长运用勾股定理求出E1F的长，因对应边EH=E1H，E1H即为所求；
（3）根据当AB=4，AD=3时的例图及弹子的运行规律：每一条运行轨迹都是一个正方形的对角线，画出图形，即可得出结论．
解：（1）如图，

∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°﹣∠PAD﹣∠BAE，
∴∠PAB=180°﹣2∠BAE．
同理，∠ABC=180°﹣2∠ABE．
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠PAB+∠ABC=360°﹣2（∠BAE+∠ABE）=180°．
∴BC∥PA．
（2）可作点E关于直线AB的对称点E1，连接E1F，E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EH→HF，
过点F作AB的平行线交E1E的延长线于点N，
；
（3）如图，母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入B（填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了5次；
设由DC边反弹，弹子撞击BC边的位置距离C点为K格，从BC边反弹后，弹子撞击AB边的位置距离B点为（99﹣k）格，距离A点为（k+1）格经过AB边反弹后，弹子撞击AD边的位置距离A点为（k+1）格，距离D点为[99﹣（K+1）]格，经AD反弹，弹子撞击DC边的位置距离D点为[99﹣（k+1）]格，距离C点为100﹣[99﹣（K+1）]=K+2格再撞击BC边的位置距离C点为k+2格，即比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+99﹣2=197次．
25．（2021·山东济南市·八年级期末）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）不改变，
【分析】（1）证△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP=OC=1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON（AAS），得出OM=ON．得出HO平分∠CHA，即可得出结论；
（3）连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，则∠OAD=45°，证出∠DAN=∠MOD．证△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM=S△ADN，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵BO⊥AC，AH⊥BC，∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，，
∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：

在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，，∴△COM≌△PON（AAS），∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，∴HO平分∠CHA，∴∠OHP=∠AHC＝45°；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于．理由如下：
连接OD，如图2所示：

∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，∴∠DAN＝135°＝∠DOM．
∵MD⊥ND，即∠MDN＝90°，∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM和△ADN中，，∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD=S△AOB=×AO•BO=××3×3=．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
26．（2021·南师附中树人学校九年级月考）如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．
（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接 　 　．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或等边三角形 D．直角三角形
（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．
我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由：　 　是等边三角形．
②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．
③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）B；（2）见解析；（3）①有一个角是60°的等腰三角形；②见解析；③见解析
【分析】（1）通过已知条件判断三角形全等即可；（2）过三点作对边的垂线即可；
（3）①运用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一定理即可；
②通过证明三角形全等得到BE＝F′F和EC＝FF″，即可证明FF'+FF″＝BC；
③运用②的结论，确定等边三角形一个点F，再通过截取确定点E，即可作出所求三角形．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵AD＝BE＝CF，∴AB﹣AD＝BC﹣BE＝AC﹣CF，∴BD＝CE＝AF，
在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝ED，
在△ADF和△CFE中，，∴△ADF≌△CFE（SAS），
∴DF＝EF，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形，故答案为：B；
（2）如图所示，△ABC的边长最小的内接等边△DEF即为所求；

（3）①∵DE＝DF，∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
故答案为：有一个角是60°的等腰三角形；
②连接FF′和FF″，∵△DBF′、△DEF、△DCF″都是等边三角形，
∴DB＝DF′，DE＝DF，DC＝DF″，∠BDF′＝∠EDF＝∠CDF″＝60°，
∴∠BDE＝∠F′DF，∠EDC＝∠FDF″，
在△DBE和△DF′F中，，∴△DBE≌△DF′F（SAS），∴BE＝F′F，
在△DEC和△DFF″中，，∴△DEC≌△DFF″（SAS），∴EC＝FF″，
∴BC＝BE+EC＝F′F+FF″，即FF'+FF″＝BC；

③以BD为边作等边△BDF′，以CD为边作等边△CDF″，连接F′F″交AC于点F，连接DF，
在BC上截取BE＝F′F，连接DE，DF，△DEF即为所求．

【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及尺规作图，构造全等三角形是解题的关键．