考点01 分式的性质与运算-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版）

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考点01 分式的性质与运算
知识框架

基础知识点
知识点1-1 分式的定义
分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
分式中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分母，则整式B0. ③只要最终能转化为形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.
1．（2021·湖南宁乡·）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的定义逐项分析即可．
【详解】A. ，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；B. ，是分式，故该选项符合题意；
C. ，是整式，不是分式，故该选项不符合题意；D. ，是整式，不是分式，故该选项不符合题意．
故选B
【点睛】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
2．（2021·山东平阴·八年级期末）在，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：在，，，，，中，
分式有，，，所以分式的个数是3个．故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以像不是分式，是整式．
3．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）若，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，的“友好数”是，已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”，……，依此类推，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题目中的数据，可以写出前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出 的值．
【详解】，则称为a的“友好数”，，
该数列每4个数为一个循环周期，
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数据．
4．（2021·山西太原·）今年5月1日，历时8年修复的太原古县城正式开城迎客．统计结果显示，太原古县城第一时段天内共接待游客万人次，第二时段天内共接待游客万人次，则这两个时段内平均每天接待游客________万人次．
【答案】
【分析】根据平均数的定义，列出分式，即可．
【详解】解：由题意得：（m+3m）÷（a+b）=，故答案是：．
【点睛】本题主要考查根据题意列分式，掌握平均数的定义和分式的概念，是解题的关键．

知识点1-2 分式的相关概念
1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB2
【分析】根据除法运算的符号法则：同号得正，异号得负，由分子为正，则分母也为正，可得关于x得不等式，解不等式即可.
【详解】∵，且2>0∴∴答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分式的值，除法的符号法则等知识，根据除法的符号法则得到关于x的不等式是解题的关键．
5．（2020·晋州市第三中学月考）已知分式（m，n为常数）满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是（ ）
x的取值
﹣1
1
p
q
分式的值
无意义
1
0
﹣1
A．m＝1 B．n＝8 C．p＝ D．q＝﹣1
【答案】D
【分析】将表格中的数据依次代入已知分式中进行计算即可．
【解析】由表格中数据可知：A、当x＝﹣1时，分式无意义，∴﹣1+m＝0，∴m＝1．故A不符合题意；
B、当x＝1时，分式的值为1，∴，∴n＝8，故B不符合题意；
C、当x＝p时，分式的值为0，∴，∴p＝，故C不符合题意；
D、当x＝q时，分式的值为﹣1，∴，∴q＝，故D错误，从而D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查分式无意义的条件，分式的值，可利用直接代入法进行求解．
6．（2021·安徽九年级专题练习）若分式的值为正整数，则整数a的值有(　　)
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【分析】分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数，据此即可求出a的值．
【详解】解：分式的值为正整数，且a为整数，
所以a+1=1或2或3或6．则a=0或1或2或5．故选B．
【点睛】本题考查了分式的值．理解分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数是关键．

知识点1-3 分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.
2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.
1．（2021·河北景县·八年级期末）在括号内填上适当的整式：．
【答案】
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】解：分式的分子分母都乘以10，得．所以，括号内应填入．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题时注意：分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．
2．（2021·广西岑溪·七年级期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把，的值同时扩大2倍后，运用分式的基本性质进行化简，即可得出结论．
【详解】解：A选项，把，的值同时扩大2倍后得：，值发生了变化，故该选项不符合题意；
B选项，把，的值同时扩大2倍后得：，值缩小了一半，故该选项不符合题意；
C选项，把，的值同时扩大2倍后得：，值不变，故该选项符合题意；
D选项，把，的值同时扩大2倍后得：，值变成了原来的2倍，故该选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
3．（2021·北京市昌平区第二中学）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：=______．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质本分子分母都乘以10即可．
【详解】解：原式．故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的数，分式的值不变．
4．（2021·陕西碑林·西北工业大学附属中学）已知，则a的取值范围是 ___．
【答案】a＜3
【分析】根据绝对值的意义作答，可得答案．
【详解】解：∵，∴a-3＜0．解得a＜3．故答案为：a＜3．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．
5．（2021·四川武侯·）下列分式变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质作答．
【详解】解：A、分子分母开平方，等式不成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分子分母都除以2，符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分子分母都除以2时，分子有一项没有除以2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；D、分子分母都减去2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
6．（2021·全国）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4 即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则
根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
【答案】（1）5；（2）；（3）
【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；
（3）本题介绍两种解法：解法一：（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），化简得：①，②，③，相加变形可得x、y、z的代入＝中，可得k的值，从而得结论；解法二：取倒数得：＝＝，拆项得，从而得x＝，z＝，代入已知可得结论．
【详解】解：（1）∵＝，∴＝4，∴x﹣1+＝4，∴x+＝5；
（2）∵设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝＝；
（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），
∴①，②，③，
①+②+③得：2（）＝3k，＝k④，
④﹣①得：＝k，④﹣②得：，④﹣③得：k，
∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得：
＝，，k＝4，
∴x＝，y＝，z＝，∴xyz＝＝＝；
解法二：∵，∴，
∴，∴，∴，
将其代入中得： ＝ ＝，y＝，
∴x＝，z＝＝，∴xyz＝＝．
【点睛】本题考查了以新运算的方式求一个式子的值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子.
7．（2021·江苏·八年级期中）“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象.
（分数运算）怎样理解？

从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即.
（尝试推广）
（1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）；
②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释.
（2）①观察下图，填空：____________；

②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释.
【答案】（1）① ②见解析 （2）① ②见解析
【分析】（1）长方形先被平均分成份，取其中的份；再将涂色部分平均分成份，取其中的份，这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即；
（2）长方形先被横向平均分成份，取其中1份，该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份，这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，所以占原来长方形的，即；
【详解】解：（1）①；故答案为；
②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即.

（2）①（）
②长方形先被横向平均分成（）份，取其中的1份（涂部分）；
该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份（涂部分）.
这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份，
所以占原长方形的，
即.

【点睛】本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键．
8．（2021·山东泗水·）阅读下面材料，并解答问题．
材料:将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解析：由分母为，可设
则
对应任意x，上述等式均成立，，，．
．
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和．
解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）当时，直接写出________，的最小值为________．
【答案】（1）分式被拆分成了一个整式与一个分式的和；（2）0；8．
【分析】（1）参照例题材料，设，然后求出m、n的值，从而即可得出答案；（2）先根据得出，再根据不等式的运算即可得．
【详解】（1）由分母为，可设

对应任意x，上述等式均成立，解得

这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和；
（2）由（1）得
当时，
，且当时，等号成立
则当时，取得最小值，最小值为8故答案为：0；8．
【点睛】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键．

知识点1-4 分式的约分与通分
1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
1．（2021·陕西榆林·八年级期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意；
B、，分子和分母有公因式，不是最简分式，不符合题意；
C、，分子和分母有公因式，不是最简分式，不符合题意；
D、，分子和分母有公因式，不是最简分式，不符合题意；故选A．
【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键在于能够熟记定义．
2．（2021·海南海口·八年级期末）约分的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据约分法则进行约分即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握约分法则是解本题的关键．
3．（2021·广西江州·七年级期末）化简，结果得（ ）
A．x-2 B．x+2 C． D．
【答案】B
【分析】先将分子因式分解，再根据分式的基本性质约分即可．
【详解】解：．故选B.
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质和分式约分，解决本题的关键是要熟练掌握分式的基本性质和分式约分的步骤．
4．（2021·黑龙江道外·八年级期末）分式与的最简公分母是_________．
【答案】2a2b2c
【分析】根据最简公分母的定义求解．
【详解】解：分式与的最简公分母是2a2b2c．故答案为2a2b2c．
【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
5．（2020·贵州铜仁伟才学校八年级月考）对分式通分后，的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把a2-b2因式分解，得出的最简公分母，根据分式的基本性质即可得答案．
【详解】∵a2-b2=(a+b)(a-b)，∴分式的最简公分母是，
∴通分后，=．故选：B．
【点睛】本题考查分式的通分，正确得出最简公分母是解题关键．
6．（2020·四川自贡·成都实外八年级期中）已知（过中A、B均为常数），则________，________．
【答案】
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
【详解】解：，，解得．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分．

知识点1 -5分式的混合运算
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
1．（2021·河南新野·八年级期中）若△÷，则“△”可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
【详解】解：．故选D．
【点睛】考查了分式的乘除运算，正确分解因式再化简是解题关键．
2．（2021·西安益新中学八年级月考）的计算结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据分式的除法运算法则判断即可．
【详解】解：，故选：B．
【点睛】本题考查了分式的乘除，掌握其运算法则是解决此题关键．
3．（2020·河北初三其他）已知，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据整式的概念，将各选项依次代入判断即可．
【解析】A、= 不是整式，此选项符合题意；
B、=是整式，此选项不符合题意；
C、=是整式，此选项不符合题意；
D、=是整式，此选项不符合题意，故选：A．
【点睛】本题考查了分式的运算、平方差公式、整式的判断，熟练掌握分式的除法运算法则及平方差公式是解答的关键．
4．（2021·全国）化简：________．
【答案】
【分析】把异分母化成同分母，根据同分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：．故答案为：．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法运算，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题的关键．
5．（2021·全国八年级课时练习）阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
【答案】
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原式利用倒数法由已知条件得到然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：原式，
∵，∴，
∴原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
6．（2021·河南郑州外国语中学九年级）下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题．

= 第一步
= 第二步
= 第三步
= 第四步
= 第五步
= 第六步
（1）填空：
a．以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是
b．第 步开始出现错误，这一步错误的原因是① ，② ．
（2）请直接写出该分式化简后的正确结果 ．（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】（1）a．三，分式的基本性质；b．四，①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二项没有变号，②去括号时，括号里面的第二项没有与括号前的系数相乘；（2）；（3）分式的混合运算，要注意运算顺序.
【分析】（1）a．第三步是通分，把第二项分子分母都乘以2，分式的值不变，这是分式的基本性质；
b．第四步开始出现错误，去括号出现错误和乘法分配律出现错误；（2）去括号化简即可；（3）分式的混合运算，要注意运算顺序等．
【详解】（1）a．第三步是通分，把第二项分子分母都乘以2，分式的值不变，这是分式的基本性质；
故答案为：三，分式的基本性质；
b．第四步开始出现错误，去括号出现错误和乘法分配律出现错误；
故答案为：四，①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二项没有变号，②去括号时，括号里面的第二项没有与括号前的系数相乘；
（2）=== ==．
故答案为：；
（3）分式的混合运算，要注意运算顺序(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题时注意运算顺序，最后结果要化到最简．
7．（2021·江苏涟水·八年级期中）阅读下列材料：
分式和分数有着很多的相似点，例如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则．我们知道，分子比分母小的叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．
类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式，例如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），例如．
解决下列问题：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式_____形式；
（3）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
（4）若分式的值为，则的取值范围是______（直接写出答案）．
【答案】（1）真分式；（2）；（3）4，2，5，1；（4）．
【分析】（1）根据“真分式”的定义可得；（2）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式；
（3）先将分式化为带分式，再根据分式部分为整数求得的值；
（4）将分式化为带分式，再判断的取值范围即可．
【详解】（1）的分母次数大于分子次数，故分式是真分式；故答案为：真分式；
（2）故答案为：；
（3）分式的值为整数，，
即是整数，则；解得或或或；的值为：4，2，5，1；
（4）
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，不等式的应用，掌握计算法则，理解题意是解题的关键．

知识点1-6 整数指数幂（幂的运算的扩大）
1）前面已学习：
①am∙an=am+n，（m，n是正整数）； ②（am）n=amn，（m，n是正整数）
③（ab）m=ambm，（m是正整数）； ④am÷an=am-n，（a≠0，m、n是正整数，m>n）
⑤（ab）n=anbn，（n是正整数）； ⑥&当a≠0时，a0=1（规定）&当a=0时，00无意义
若按照④运算，当m