考点01 幂的相关运算-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版）

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考点01幂的相关运算
知识框架

知识点1-1 同底数幂的乘法
同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）
注：①底数一定要一样。如：（-a）与a，底数不同，需先化成相同底数，再进行计算； ②是乘法运算，切不可与加法运算混淆
拓展：① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数;②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）.
同底数幂的乘法技巧
①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；
②逆用法则： am+n =am×an
1．（2021·重庆实验外国语学校）计算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖南新邵·）下列各式中，正确的是（　　）
A．a4•a3＝a12 B．a4•a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4•a3＝a
3．（2021·山东日照·）在等式中，括号内的代数式为______．
4．（2021·广西合浦·）已知，，则等于（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
5．（2021·广东南山实验教育麒麟中学七年级期中）若，用，表示c可以表示为c＝_____．
6．（2021·福建省宁化县教师进修学校）我们定义一个新运算：，如，那么为（ ）
A． B． C． D．32
7．（2021·南靖县城关中学）已知，则m的值是_________________．
8．（2021·河南太康·八年级期中）规定两正数a，b之同的一种运算，记作：E(a，b)，如果ac＝b，那么E(a，b)＝c．例如23＝8，所以E(2，8)＝3（1）填空：E(3，27)＝　 　，E＝　 　
（2）小明在研究这和运算时发现一个现象：E(3n，4n)＝E(3，4)小明给出了如下的证明：设E(3n，4n)＝x，即(3n)x＝4n，即(3n，4n)＝4n，所以3x＝4，E(3，4)＝x，所以E(3n，4n)＝E(3，4)，请你尝试运用这种方法说明下面这个等式成立：E(3，4)+E(3，5)＝E(3，20)



知识点1-2 幂的乘方运算法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.
1．（2021·山东中区·七年级期中）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广西富川·七年级期末）计算 ________．
3．（2021·无锡市侨谊实验中学七年级期中）若，则m的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2021·贵州）（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．（2）已知2a＝3，4b＝5，8c＝5，求8a＋c－2b的值．


5．（2021·山西左权·）若，m、n为正整数，则__________．（用含a、b的代数式表示）
6．（2021·四川成都·七年级期末）已知：m+2n﹣2＝0，则3m•9n的值为______．
7．（2021·重庆一中）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
8．（2021·首都师范大学附属育新学校八年级月考）阅读探究题：．
（阅读材料）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，
解：，∵，∴
[类比解答]比较，的大小．
[拓展拔高]比较，，的大小．




知识点1-3积的乘方运算法则
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。
拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1）
1．（2021·湖南天元·）(2x4)2的值____．
2．（2021·陕西金台·九年级）计算（﹣x2y2z）2的结果正确的是（　　）
A．﹣x4y4z B．x4y4z2 C．﹣x4y4z D．x4y4z2
3．（2021·清涧县教学研究室七年级期末）若，则的值是___________．
4．（2021·湖北武汉·八年级期末）若an＝3，bn＝4，则 (ab)2n＝___________．
5．（2021·佛山市南海区里水镇里水初级中学七年级月考）计算等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国八年级课时练习）计算：
（1）； （2）；


（3） （4）；


（5） （6）．


7．（2021·广西德保·七年级期中）如图是嘉淇完成的一道作业题，请你参考嘉淇的方法解答下
面的问题：

（1）计算：； （2）若，求的值．


8．（2021·天津南开·七年级期末）已知，那么的值为（ ）．
A．5 B．1 C．10 D．2

重难点题型
题型1 同底数幂的乘法及其逆用
1．（2021·江苏鼓楼·）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·福建三元·）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·厦门市湖里中学）若，则的值为（ ）
A．243 B．245 C．729 D．2187
4．（2021·漳州市普通教育教学研究室）若，，则___．（用含的式子表示）
5．（2021·苏州市工业园区第一中学七年级月考）已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，
102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝　 　，10m×10n＝　 　．（m，n均为正整数）
（2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）；②（﹣6.4×103）×（2×106）．



6．（2021·全国七年级课时练习）在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤：

（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为_______；（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），此图形的周长为_________；
（3）重复上述的作法，图（1）经过第_________次分形后得到图（3）的图形；
（4）观察探究：上述分形过程中，经过n次分形得到的图形周长是____，面积是____．


7．（2021·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级月考）若约定，如，则等于___________．
8．（2021·全国）计算：（1）；（2）；（3）．




题型2 幂的乘方及其逆用
1．（2021·河北长安·九年级）若，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2021·武汉一初慧泉中学）计算： ___________；
3．（2021·贵州铜仁·七年级期末）已知2m＝a，16n＝b，则23m+8n＝_______（用含a、b的式子表示）．
4．（2021·江苏阜宁·）有一道计算题：，李老师发现全班有以下四种解法，
①；
②；
③；
④；
你认为其中完全正确的是（填序号）_____．
5．（2021·天津育贤中学八年级期中）已知x2n＝3，求（x3n）2﹣3（x2）2n的结果（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
6．（2021·辽宁和平·七年级期末）若2x=8，4y=16，则2x+2y的值为（　　）
A． B．﹣2 C．64 D．128
7．（2021·安徽合肥·）已知，，则的值等于_____．
8．（2021·江苏江都·）已知，（1）求的值；（2）求的值．



题型3 积的乘方及其逆运算
1．（2021·兰州市第五十五中学七年级月考）计算：（－2xy）2＝（ ）
A．4xy B．－2x2y2 C．4x2y2 D．－4x2y2
2．（2021·通道侗族自治县教育科学研究室七年级期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·无锡市天一实验学校七年级期中）若，则________．
4．（2021·隆昌市知行中学八年级月考）计算的结果是（　　）
A．8 B．0.125 C． D．
5．（2021·佛山市南海区里水镇里水初级中学七年级月考）若一个正方体的棱长为米，则这个正方体的体积为（ ）
A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米
6．（2021·苏州市平江中学校七年级期中）计算：



7．（2021·江苏江宁·七年级月考）（1）积的乘方公式：（ab）n＝　 　（n是正整数），请写出这一公式的推理过程．（2）计算．



8．（2021·苏州市相城区蠡口中学七年级月考）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若，求m的值；（2）已知求的值；
（3）若n为正整数，且，求的值




题型4幂的混合运算
解题技巧：根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；利用幂的相关法则，转化为指数之间的关系。
1．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖南荷塘·七年级期末）下列各式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东济宁学院附属中学）下列运算正确的是（　　）
A．（a3）4＝a12 B．a3•a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2
5．（2021·江苏南京钟英中学）常见的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方．在“”的运算过程中，依次运用了上述幂的运算中的________．
6．（2021·佛山市南海区里水镇里水初级中学七年级月考）计算：．



7．（2021·广西岑溪·七年级期中）计算：



8．（2021·长春市第五十二中学）计算：



题型5 幂的运算法则与方程思想
1．（2021·德惠市第三中学八年级月考）如果，则_______．
2.（2020·浙江上虞·初一期末）若，则__________．
3．（2021·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）若3•9n•27n＝321，则n＝___．
4．（2021·浙江杭州·七年级期中）若，则的值是（ ）
A． B．16 C．20 D．24
5．（2021·辽宁法库·七年级期中）已知：，求值



6．（2021·苏州市吴江区金家坝学校七年级月考）（1）已知，求的值．
（2）已知，求m的值．




7．（2021·河南八年级月考）规定，求：
（1）求；（2）若，求x的值．



题型6 利用幂运算比较大小.
1．（2021·苏州新草桥中学七年级月考）已知，把a，b，c从小到大排列__________________．（用“＜”连接）
2．（2021·山东中区·初一期末）已知则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川省内江市第六中学八年级开学考试）比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·杭州绿城育华学校七年级月考）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则下列关系中正确的是（ ）
A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．a＜b＜c
5．（2021·河北衡水市·八年级期末）已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·福建南靖·八年级期中）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题．
（1）比较大小：__________（填写>、<或=）．
（2）比较与的大小（写出比较的具体过程）．
（3）计算．




7．（2021·苏州市吴江区七都中学七年级月考）比较下列各题中幂的大小：
（1）已知，比较a、b、c的大小关系；
（2）比较这4个数的大小关系；
（3）已知，比较P，Q的大小关系；






题型7 利用幂运算进行代数式表示
1．（2021·山东寒亭·七年级期中）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·江苏高港实验学校初一期中）若3x+1=27，2x=4y﹣1，则x﹣y=___________________．
3．（2021·福建省宁化县教师进修学校）已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·海口市第十四中学八年级月考）已知，，，现给出3个实数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·全国八年级专题练习）若，其中为整数，则与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·汉中市杨河学校初一月考）按题目要求计算：
（1）已知，求的值；（2）已知、，用含有、的式子表示．




7．（2021·浙江七年级期中）（1）若，．请用含x的代数式表示y；如果，求此时y的值（2）已知，判断和的大小．




题型8 与幂运算有关的新定义
1．（2021·仪征市第三中学）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　　，（4，16）＝　　，（2，16）＝　　．
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．




2．（2021·镇江实验学校）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，则，
故，
则，即．
（1）根据上述规定，填空：______；______；．
（2）计算_________，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立．



3．（2021·河南金水·）如果那么我们规定．例如；因为所以．
（1）根据上述规定填空：__ ，__ ，__ ；
（2）若．判断之间的数量关系，并说明理由．



4．（2021·河南郑州外国语中学）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an=am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）•h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（　　）
A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1011 D．2022k

5．（2021·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级期中）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．
（1）计算以下各对数的值：　　，　　，　　．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式?（3）猜想一般性的结论：　　且，，．





6．（2021·江都区浦头中学七年级月考）规定数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）请根据上述规定填空：（3，81）＝　 　，（5，1）＝　 　，（2，0.25）＝　 　．
（2）小华在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，
所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用这种方法，证明这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）．