考点02 整式乘法与乘法公式-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版）

这是一份考点02 整式乘法与乘法公式-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版），文件包含考点02整式乘法与乘法公式原卷版docx、考点02整式乘法与乘法公式解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。
考点02 整式乘法与乘法公式
知识框架

基础知识点
知识点1-1整式乘法
1、单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。
2、单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。
3、多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
1．（2021·河源市第二中学七年级期中）.
【答案】
【分析】先根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了整式的运算，根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
2．（2021·哈尔滨市第四十七中学八年级开学考试）计算：______．
【答案】
【分析】根据单项式与多项式的乘法以及同底数幂相乘的运算法则求解即可．
【详解】解：故答案为．
【点睛】此题考查了单项式与多项式的乘法以及同底数幂相乘的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．（2021·仪征市第三中学七年级月考）若（x+3）（x+n）=x2+mx-21，则m的值为_______．
【答案】-4
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．
【详解】∵，∴3+n=m，3n=-21，解得：m=-4，n=-7，答案：-4．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘法是解题的关键．
4．（2021·武汉一初慧泉中学八年级月考）（+m）与（+3）的乘积中不含的一次项，则m的值为（ ）
A．-3 B．3 C．0 D．1
【答案】A
【分析】先根据多项式乘多项式法则化简，再找出所有含x的一次项，合并系数，令含x的一次项的系数等于0，即可求m的值．
【详解】解：（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m，
∵乘积中不含x的一次项，∴m+3＝0，∴m＝﹣3．选：A．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不含某一项就是说含此项的系数等于0．
5．（2021·利辛县第四中学七年级期中）先化简，再求值．，其中．
【答案】，．
【分析】先根据整式的混合运算计算法则化简，然后代值计算即可.
【详解】解：，
当时，原式.
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握整式的混合运算计算法则.
6．（2021·东平县实验中学月考） 先化简，再求值． 其中．
【答案】，20．
【分析】根据多项式乘法的计算法则化简原式后再把x的值代入计算即可．
【详解】解：
∴当时，原式=．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，根据多项式乘法的计算法则对原式进行化简是解题关键．
7．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部期中）已知，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．0
【答案】B
【分析】将代入，计算即可得到结果．
【解析】将代入得：
，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，应用特殊值代入求解是解题的关键．
8．（2020·江苏无锡市·七年级期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（ ）
A．﹣62 B．﹣38 C．﹣40 D．﹣20
【答案】B
【分析】利用题中的新定义计算即可得到m的值．
【详解】根据题意得，
∵
∴n=5,即= x2＋x−6＋x2＋x−12＋x2＋x−20== 则m＝−38．故选：B．
【点睛】此题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2020·江苏南京市·七年级期末）根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（ ）
①；②；③；④

A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④
【答案】A
【分析】因为正方形的边长为x，一边截去宽5的一条，另一边截去宽6的一条，所以阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5与x﹣6．然后根据长方形面积计算公式进行计算．
【详解】解：①由题意得：阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5、x﹣6，
则阴影的面积＝（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30．故该项正确；②如图所示：

阴影部分的面积＝x2﹣5x﹣6（x﹣5），故该项正确；
④如图所示：阴影部分的面积＝x2﹣6x﹣5（x﹣6），故该项正确；③由④知本项错误．故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算﹣多项式乘多项式．实际上也是去括号、合并同类项，理解好图形面积的多种表达形式是解题关键．

知识点1 -2平方差公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。
1．（2021·四川省成都市七中育才学校）计算（x﹣y）（x+y）的结果是（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y2 D．y2﹣x2
【答案】C
【分析】根据平方差公式求出答案即可．
【详解】解：，故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键，注意：．
2．（2021·兰州市第五十五中学七年级月考）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a＋b）（a－2b） B．（a－2b）（a－2b） C．（a＋2b）（－2b＋a） D．（2a－b）（－2a＋b）
【答案】C
【分析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2对各选项分别进行判断．
【详解】解：A、不是两数之和与两数差的积，所以选项不符合；
B、不是两数之和与两数差的积，所以选项不符合；
C、是两数之和与两数差的积，能使用平方差公式，所以选项符合；
D、不是两数之和与两数差的积，所以选项不符合；故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2．也考查了完全平方公式．
3．（2021·汕头市龙湖实验中学八年级期末）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据平方差公式计算即可得到答案
【详解】解：∵，∴，∴．故选B．
【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用是解题的关键．
4．（2021·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．则a2﹣4b2＝_____．
【答案】10
【分析】从结论入手，用平方差公式进行因式分解，再对第一个条件进行变形即可求出答案．
【详解】解：∵2b﹣a＝﹣2，∴a﹣2b＝2，∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝5×2＝10．故答案为：10．
【点睛】此题考查了平法差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
5．（2021·成都嘉祥外国语学校七年级开学考试）若a+b＝2，a2﹣b2＝6，则a﹣b＝_____．
【答案】3
【分析】根据平方差公式，可得答案．
【详解】解：∵，又，∴，故答案为3．
【点睛】本题考查了平方差公式，利用平方差公式是解题关键．
6．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）的值为_______．
【答案】
【分析】设，利用平方差公式求出的值，由此即可得．
【详解】设，
则，
，
所以，故答案为：．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算求值，熟练掌握平方差公式是解题关键．
7．（2020·南通市新桥中学）如图，在边长为 a 的正方形中减去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用代数式表示出两个图形阴影部分的面积，即可得出等式．
【详解】解：左图的阴影部分的面积为a2-b2，右图的阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2=（a+b）（a-b），故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是得出等式的前提．
8．（2021·兰州市第五十五中学七年级月考）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： ， ；
（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？
（3）试利用这个公式计算：．

【答案】（1）：a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）a2-b2=（a+b）（a-b）；（3）264
【分析】（1）求出大正方形及小正方形的面积，作差即可得出阴影部分的面积，图（2）所示的长方形的长和宽分别为（a+b）、（a-b），由此可计算出面积；（2）根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式；
（3）利用原式补项（2-1），进而利用平方差公式求出答案．
【详解】解：（1）∵大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，
故图（1）阴影部分的面积值为：a2-b2，图（2）阴影部分的面积值为：（a+b）（a-b）．
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
（2）以上结果可以验证乘法公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（3）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=（216-1）（216+1）（232+1）+1=（232-1）（232+1）+1=264-1+1=264．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式进行计算，因此，本题熟练掌握平方差公式是关键．
9．（2021·陕西八年级期末）探究下面的问题：
（1）如图①，在边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成如图②的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是______（用式子表示）；
（2）运用你所得到的公式计算：①；②．

【答案】（1）a2−b2＝（a＋b）（a−b）；（2）①99.96；②x2−6xz＋9z2−4y2
【分析】（1）分别根据面积公式进行计算，根据图甲的面积＝图乙的面积，列式即可；
（2）利用平方差公式进行计算，即可得到计算结果．
【详解】解：（1）图甲阴影面积＝a2−b2，图乙阴影面积＝（a＋b）（a−b），
∴得到的等式为：a2−b2＝（a＋b）（a−b），故答案为：a2−b2＝（a＋b）（a−b）；
（2）①10.2×9.8＝（10＋0.2）×（10−0.2）＝102−0.22＝100−0.04＝99.96；
②＝（x−3z＋2y）（x−3z−2y）＝（x−3z）2−（2y）2＝x2−6xz＋9z2−4y2．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式进行计算，本题熟练掌握平方差公式是关键．

知识点1-3 完全平方公式
完全平方和（差）公式：
完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积
注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式
拓展：利用可推导除一些变式
①
②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
1．（2020·福建省石狮市自然门学校月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式即可计算判断.
【解析】A. ，故错误； B. ，故错误；
C. 故错误； D. ，正确，故选D.
【点睛】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式的运用.
2．（2021·重庆实验外国语学校七年级期中）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，则xy＝________．
【答案】1
【分析】利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入，即可求出xy的值．
【详解】解：∵（x+y）2=5，（x-y）2=1，∴（x+y）2-（x-y）2=4xy，即5-1=4xy，则xy=1，故答案为：1．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
3．（2021·陕西省西咸新区秦汉中学八年级开学考试）若，则的值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【详解】解：（x-y）2+4xy-1=x2-2xy+y2+4xy-1=x2+2xy+y2-1=（x+y）2-1，
当x+y=3时，原式=32-1=8．故选：C．
【点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
4．（2021·西安市铁一中学八年级开学考试）4a2＋ka＋9是一个完全平方式，则常数k等于____．
【答案】±12
【分析】根据完全平方式的结构特征，直接求解即可．
【详解】解：∵4a2＋ka＋9是一个完全平方式，∴4a2＋ka＋9=（2a±3）2，∴k=±12．故答案：±12．
【点睛】本题主要考查完全平方式的定义，掌握完全平方式的形式：a2±2ab＋b2是解题的关键．
5．（2021·沭阳县修远中学）先化简，再求值：（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y），其中x＝2，y＝1
【答案】，
【分析】根据完全平方和平方差公式进行计算，再进行整式的加减运算，最后将字母的值代入求解即可
【详解】（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y）
当x＝2，y＝1时原式
【点睛】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，掌握整式的运算是解题的关键．
6．（2021·广东东莞市·湖景中学八年级月考）已知，则______．
【答案】3
【分析】根据完全平方公式求得的值，然后再来求的值．
【详解】解：，又，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟记公式的几个变形公式．
7．（2021·杭州市十三中教育集团七年级期中）先化简，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．
【答案】﹣26m2+16n2，－12
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知整体代入得出答案．
【详解】解：原式＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣3（9m2﹣4n2）
＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣27m2+12n2＝﹣26m2+16n2，
∵13m2﹣8n2﹣6＝0，∴13m2﹣8n2＝6，∴原式＝﹣2（13m2﹣8n2）＝﹣2×6＝﹣12．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
8．（2021·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）阅读材料：
例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．
解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，
∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，
∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，
∴a＝1，b＝．
参照上面材料，解决下列问题：
（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；
（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．
【答案】（1）x＝﹣4，y＝6；（2）
【分析】（1）先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解；
（2）先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解.
【详解】解：（1）∵x2+y2+8x﹣12y+52＝0，∴（x2+8x+16）+（y2﹣12y+36）＝0，
∴（x+4）2+（y﹣6）2＝0，∴x+4＝0，y﹣6＝0，
解得，x＝﹣4，y＝6，故答案为：x＝﹣4，y＝6；
（2）2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，（x2+4y2+4xy）+（x2﹣2x+1）＝0，（x+2y）2+（x﹣1）2＝0，
则 ，解得x+y＝1﹣＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形以及完全平方数的非负性的应用，掌握完全平方数的非负性是解题的关键.
9．（2021·四川省成都市七中育才学校七年级期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．

（1）观察图②，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是　 　；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值．
【答案】（1）；（2）①3；②
【分析】（1）正方形的总面积等于各部分面积和，就可得出答案；
（2）①由，可知，再代入（1）中的结论，即可求得的值；
②用换元法，令，则，，代入原式化简计算即可．
【详解】解：（1）由正方形的总面积等于各部分面积和，得到：；
（2）①∵∴
又∵，且 ∴∴
②令，则，
∴ ∴
【点睛】本题考查完全平方式的应用，平分根的运算，根据相关知识点解题是关键．

知识点1-4 公式的拓展
1） ==+2（a+b）c+=+2ab+2ac+2bc
2）同样，a、b、c可以通过换元。如，令c=－c，得=+2ab-2ac-2bc
3）立方差公式：；立方和与立方差：=
1．（2020·四川射洪中学月考）已知，求代数式的值．
【答案】12
【分析】将原式乘2，即可分成3个完全平方式，代入已知数据可求解．
【解析】原式==
=
原式
【点睛】本题考查求代数式的值，利用整体代入思想，把某代数式看作一个“整体”，即当成一个新的字母，再求关于这个新字母的代数式的值，运用整体思想的关键是找准被看作整体的代数式．
2．（2020·湖南岳阳·初一期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用如图1可以得到，那么利用如图2所得到的数学等式是（ ）.
A． B．
C． D．

【答案】B
【分析】由图2可知，正方形的面积有两种求法,分别求解，即可得到等式.
【解析】图2的正方形面积第一种求法为；第二种求法是把它分割成9个图形的面积之和，为 故选B.
【点睛】此题主要考查乘法公式的几何验证，解题的关键是根据图形的面积求解.
3．（2020·江苏建湖·初一期中）学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图1，是由边长为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1可得等式：　 　；
（2）知识迁移：①如图2，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，可得等式：　 　；
②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代数式a3＋b3的值．

【答案】（1）（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2；（2）①（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；②91．
【分析】（1）用两种不同的方法表示大长方形的面积，可以得到一个等式，
（2）①用两种不同的方法表示大正方体的体积，可以得到一个等式，②利用等式变形，可求出答案．
【解析】解：（1）如图1，整体上长方形的面积为（a＋b）（2a＋b），组成大长方形的六部分的面积和为a2＋a2＋ab＋ab＋ab＋b2＝2a2＋3ab＋b2，
因此有（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，故答案为：（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2；
（2）①整体上大正方体的体积为（a＋b）3，组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
因此有，（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，故答案为：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3．
②由（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3得，
a3＋b3＝（a＋b）3﹣3a2b﹣3ab2＝73﹣3×48﹣3×36＝91．
【点睛】本题考查几何体的体积、图形的面积的计算方法，用两种不同的方法表示同一个图形的面积或同一个几何体的体积，是得到等式的关键．
4．（2020·全国初一课时练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：

（1）写出图中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？
【答案】（1）；（2）50；（3）143.
【分析】（1）直接求得正方形的面积，再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可.
（2）将，代入（1）中得到的式子，然后计算即可；
（3）长方形的面积，然后运算多项式乘多项式，从而求得x、y、z的值，代入即可求解.
【解析】解：（1）
（2）由（1）可知：
（3）根据题意得，
所以，，所以答：小明总共需要张纸。
【点睛】本题主要考查整式的运算，难度较大，熟练掌握整式的运算以及代数式求值是解题关键.
5．（2021·福建省安溪恒兴中学）我们知道:有些代数恒等式可以利用平面图形的面积来表示，如：
就可以用如图所示的面积关系来说明．
(1)请根据如图写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算：
(2)若求的值；
(3)现有如图中的彩色卡片:A型、B型、C型，把这些卡片不重叠不留缝隙地贴在棱长为的100个立方体表面进行装饰，A型、B型、C型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张，共需多少费用?

【答案】（1）； （2） （3）1260元
【分析】(1)根据正方形的面积等于正方形里各个图形的面积之和即可解答；找到与求出的代数恒等式的对应字母：a=2x ，b= -y，c= -3，代入求出的代数恒等式即可.(2)根据（1）中求出的代数恒等式，先求出，再把整体代入即可求值.(3)先确定立方体的一个面需要A型、B型、C型卡片各几张，需多少费用，再求1个，100个的费用.
【解析】 (1)

(2)
∵∴
(3)故立方体一面需A型卡片1张、B型卡片2张、C型卡片1张，需：
0.7+0.5×2+0.4=2.1元 100个小立方体需：2.1×6×100=1260元.
【点睛】本题考查的是多项式乘法的几何意义，将多项式的乘法用几何图形的面积进行说明，能用不同方法表示图形的面积是关键.
6．（2020·江苏江阴初一期中）（知识生成）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为　 　；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为　 　、　 　
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是　 　（等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为　 　
（知识迁移）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为__________________　 　
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．

【答案】（1）（b﹣a）；（2）c2﹣2ab、（b﹣a）2；（3）a2+b2＝c2；（4）13；（5）（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（6）a3+b3＝40．
【分析】（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；（2）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；
（3）根据（1）的结果，即可得出答案；（4）代入求出即可；（5）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；（6）代入（5）中的等式求出即可．
【解析】解：（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），故答案为：（b﹣a）；
（2）图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；
（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，即a2＋b2＝c2，故答案为：a2＋b2＝c2；
（4）∵a2＋b2＝c2，a＝5，b＝12，∴c＝13，故答案为：13；
（5）图形的体积为（a＋b）3或a3＋b3＋a2b＋a2b＋a2b＋ab2＋ab2＋ab2，即（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，
故答案为：（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2；
（6）∵a＋b＝4，ab＝2，（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，＝a3＋b3＋3ab（a＋b）
∴43＝a3＋b3＋3×2×4，解得：a3＋b3＝40．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键．
7．（2020·四川郫都·初一期末）（知识生成）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式：　 　；
（知识迁移）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：　 　；（成果运用）利用上面所得的结论解答：
（1）已知x+y＝6，xy＝，求x﹣y的值；（2）已知|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，求a3+b3的值．

【答案】知识生成：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；知识迁移：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（1）x﹣y＝±5；（2）a3+b3＝90．
【分析】【知识生成】由题意利用面积相等推导公式（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
【知识迁移】由题意利用体积相等推导（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
（1）根据题意应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；
（2）由题意先根据非负数的性质得：a+b＝6，ab＝7，由知识迁移的等式可得结论．
【解析】解：【知识生成】如图1，方法一：已知边长直接求面积为（a﹣b）2；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，∴面积为（a+b）2﹣4ab，
∴由阴影部分面积相等可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
【知识迁移】方法一：正方体棱长为a+b，∴体积为（a+b）3，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即a3+b3+3a2b+3ab2，∴（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
（1）由（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，可得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∵x+y＝6，xy＝，∴（x﹣y）2＝62﹣4×，∴（x﹣y）2＝25，∴x﹣y＝±5；
（2）∵|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，∴a+b＝6，ab＝7，∵（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝63﹣3ab（a+b）＝216﹣3×7×6＝90．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．



















重难点题型
题型1 整式乘法基本运算
解题技巧： p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
1．（2021·广东揭阳市·七年级期末）计算：__________________
【答案】
【分析】根据单项式乘以单项式运算法则，系数与系数相乘，相同字母的指数相加即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】题目主要考查单项式乘以单项式的运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．（2021·江苏七年级期中）化简：（﹣3x2）•（4x﹣3）＝___．
【答案】﹣12x3+9x2
【分析】直接利用单项式乘以多项式的计算法则求解即可.
【详解】解：，故答案为：.
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，解题的关键在于能够熟练掌握单项式乘以多项式的计算法则.
3．（2021·东平县实验中学月考）若，则=_____________，=____________．
【答案】-3，-10
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
【详解】解：已知等式整理得：，则，，故答案为：-3，-10．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2020·辽宁昌图·期末）已知一个长方形的面积是，且它的一条边长为2a，则与这条边相邻的边的长度为______
【答案】
【分析】直接利用长方形面积等于长乘以宽，列式计算得出答案．
【解析】∵已知一个长方形的面积是，且它的一条边长为2a
∴与这条边相邻的边的长=故答案为：
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2021·杭州市公益中学七年级开学考试）如果（x+a）（x+b）的结果中不含x的一次项，那么a、b满足（　　）
A．a＝b B．a＝0 C．a＝﹣b D．b＝0
【答案】C
【分析】根据题意，将（x+a）（x+b）展开，令一次项系数为0，进而确定的关系．
【详解】（x+a）（x+b）中不含x的一次项，，即．故选C．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，多项式的系数，掌握整式的乘法运算是解题的关键．
6．（2021·四川省成都市七中育才学校）已知（x+2）（x﹣3）＝x2+mx+n，则m与n的值分别是（　　）
A．m＝1，n＝﹣6 B．m＝1，n＝6 C．m＝﹣1，n＝﹣6 D．m＝﹣1，n＝6
【答案】C
【分析】首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的左边，再根据系数相等可得答案．
【详解】解：，，．故选：C．
【点睛】此题考查的是多项式乘多项式，掌握其运算法则是解决此题关键．
7．（2021·上海市长宁中学初一月考）如果规定＝mq﹣np．
（1）求的值；（2）当　的值为8时，求x的值．
【答案】（1）44；（2）x＝．
【分析】（1）原式利用题中的新定义化简即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解析】解：（1）根据题中的新定义得：＝50﹣6＝44；
（2）根据题中的新定义化简得： =（6x+1）（6x﹣1）﹣4x（9x﹣3）＝8，
整理得：36x2﹣1﹣36x2+12x＝8，解得：x＝．
【点睛】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2021·上海市浦东新区进才实验中学初一月考）（1）已知：则的值是_____（2）如果记那么_____（3）若则x=_____
（4）若则_____
【答案】（1）2001 （2） （3） （4）﹣120
【分析】（1）根据题意，得到；再将原式进行变形即可得出答案
（2）先设原式等于m，利用2m－m求出原式的值，最后将a代入即可
（3）根据幂的乘方运算公式对原式进行变形，然后进而的出答案 （4）采用赋值法进行计算
【解析】（1）由题意得：；
∴======2001
（2）设，则；
∴，即 ∴原式=
（3）=∙==192
∴ ∴ ∴
（4）当x=1时，1= ……①
当x=﹣1时，= ……②
当x=0时，1= ①＋②==
即= ∴=＋1=﹣120
【点睛】本题主要考查了代数式的变形求值，掌握各类代数式求值的特点是解题关键

题型2平方差与完全平方公式的基本运用
解题技巧：套用公式公式的前提是式子满足公式形式。当题目中的形式比较复杂，不能直接套用公式时，我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或者对式子进行一定的变形。
完全平方公式：用
平方差公式为：，常见变化如下：
位置变化：（a+b）（－b+a）=；符号变化：（－a－b）（a－b）=－（）
系数变化：（3a+2b）（3a－2b）=
指数变化：
项数变化：（a+b－c）（a－b+c）=
连用变化：（a+b）（a－b）（）=（）（）=
1．（2021·西安市铁一中学八年级开学考试）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（4x﹣3y）（﹣3y﹣4x） B．（2x2﹣y2）（2x2＋y2）
C．（a＋b﹣c）（﹣c﹣b＋a） D．（﹣x＋y）（x﹣y）
【答案】D
【分析】根据平方差公式的定义进行分析解答即可，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．
【详解】解：A、原式＝（−3y＋4x）（−3y−4x），可以运用平方差公式，故本选项错误；
B、符合两个数的和与这两个数差的积的形式，可以运用平方差公式，故本选项错误；
C、可以把−c＋a看做一个整体，故原式＝（−c＋a＋b）（−c＋a−b），可以运用平方差公式，故本选项错误；
D、不能整理为两个数的和与这两个数差的积的形式，所以不可以运用平方差公式，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方差公式的定义，关键在于逐项分析，找到不符合平方差公式定义的选项．
2．（2021·浙江杭州市·翠苑中学九年级二模）若，，则（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】根据平方差公式解答即可．
【详解】解：∵a+b=3，a-b=-1，∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×(-1)=-3．故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记平方差公式是解答本题的关键．
3．（2021·佛山市华英学校七年级期中）若，则表示的式子为______．
【答案】
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可求出M．
【详解】解：∵，∴M表示的式子为．故答案是：．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
4．（2021·浮梁县第一中学七年级期中）已知m2＋2km＋16是完全平方式，则k＝_____．
【答案】±4
【分析】m2＋2km＋16是完全平方式，则16不会是某数加某数获得，而一定是某数的平方获得，因此16开平方得到±4，进而确定k =±4
【详解】∵m2＋2km＋16是完全平方式 又16=(±4)²∴k=±4故答案为：±4
【点睛】本题考查构成完全平方式的条件，能构成完全平方说明16一定是某个数的平方而不会是通过加减产生，突破这一点此题即可迎刃而解．
5．（2020·隆昌市知行中学月考）下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（ ）
A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b) C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中两项完全相同．
【解析】解：A、B、C、符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
D，后边提取负号得：-（a+b）（a+b），故能运用完全平方公式进行运算．故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的结构，解题的关键是注意两个二项式中两项完全相．
6．（2021·佛山市华英学校七年级期中）已知，，则的值为（ ）
A．28 B．30 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根据完全平方公式的变形形式：=，直接代入求值即可．
【详解】解：∵=，∴=36-2×3=30，故选B．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式及其变形，是解题的关键．
7．（2021·湖南师大附中博才实验中学八年级期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】先根据乘积二倍项确定出两个数，再根据完全平方公式的平方项列式求解即可．
【详解】解：∵-8x=-2×4•x，∴m=42=16，解得m=16．故选：B．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
8．（2021·嵊州市初级中学七年级期中）化简
（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求的值．
【答案】（1），；（2）16．
【分析】（1）利用平方差公式及完全平方公式化简得出最简结果，再代入计算即可得答案；
（2）利用完全平方公式变形，再代入计算即可得答案．
【详解】解：（1）=，
当时，原式．
（2）．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键．

题型3 构造平方差公式及公式逆用
1．（2020·湖南茶陵·初一期末）已知实数，满足，则代数式的值为_____.
【答案】3.
【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案.
【解析】∵，，∴.故答案为3.
【点睛】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答.
2．（2020·绍兴市文澜中学期中）若，且，则_____
【答案】2.5
【分析】根据平方差公式的逆运算即可求解.
【解析】∵，，∴()÷()= 2.5
【点睛】此题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式的逆用.
3．（2020·全国初一课时练习）计算：____________.
【答案】2019.
【分析】原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．
【解析】解：∵
∴=故答案是：2019.
【点睛】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．
4．（2020·揭西县第三华侨中学初一月考）计算： _______________.
【答案】1
【解析】试题分析：根据平方差公式，直接可得==20022-（20022-1）=1.故答案为：1.
点睛：此题主要考查了平方差公式，解题关键是利用数字的关系可变化为平方差公式的形式，然后用公式直接计算即可.此题直接计算运算量大，不好计算，用公式可简便计算.
5．（2020·福建省惠安科山中学月考）若，则数的末位数字是_______．
【答案】6
【分析】将原式转化成，再结合平方差公式解题即可．
【解析】

的个位数是6
的个位数是6．故答案为：6．
【点睛】本题考查平方差公式、尾数特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．（2020·四川省营山中学校初一期中）的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
【答案】D
【分析】先将2变形为，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
【解析】解：

，，，，，，，，
的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
，故与的个位数字相同即为1，∴的个位数字为0，
∴的个位数字是0．故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．
7．（2020·全国初一课时练习）若……，则A的值是
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】把变成然后利用平方差公式计算即可
【解析】……
……
……
故选D
【点睛】能够灵活运用平方差公式解题是本题关键
8．（2020·石家庄外国语教育集团初一期中）（探究）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①　　　　图②　　　　；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　(用字母a、b表示)；

（应用）请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为　　　　；
②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．
（拓展）计算的结果为　　　　．
【答案】探究：（1），；（2）；应用：①12；②；拓展：．
【分析】探究：（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积；（2）根据图①与图②的面积相等即可得；
应用：①根据上述得到的乘法公式（平方差公式）即可得；②利用两次平方差公式即可得；
拓展：将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得．
【解析】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，
图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为，
故答案为：，；
（2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：，
故答案为：；
应用：①，故答案为：12；
②原式，，；
拓展：原式，
，，
，，．
【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形、以及应用，熟练掌握平方差公式是解题关键．

题型4 完全平方式的应用（含参问题）
解题技巧：完全平方式的定义:对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式a22ab +b2 =(ab)2。 注意:(1)对于a2=x(x0)，a有正负两种结果。(2)区分缺首尾项和缺中间项.
1．（2021·嵊州市初级中学七年级期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（ ）．
A． B．15 C． D．3
【答案】C
【分析】由题意可知首末两项是3x和5的平方，那么中间项为加上或减去3x和5的乘积的2倍即可求解．
【详解】解：∵9x2−kx+25是一个完全平方式，∴-kx=（±2）×3x×5，则k=±30．故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握并根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．
2．（2021·重庆一中八年级开学考试）若多项式x2+kx+25是完全平方式，则k＝___．
【答案】
【分析】根据题意直接利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
【详解】解：∵，∴.故答案为：.
【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式．
3．（2021·四川省成都市七中育才学校）若x2+8x+m是完全平方式则m的值为_____．
【答案】16
【分析】先根据完全平方公式的乘积二倍项，再根据两平方项确定出这两个数即可确定的值．
【详解】解：是完全平方式，，故答案为：16．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和．
4．（2020·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【解析】2n是乘积二倍项时，2n+218+1=218+2•29+1=（29+1）2，此时n=9+1=10，
218是乘积二倍项时，2n+218+1=2n+2•217+1=（217+1）2，此时n=2×17=34，
1是乘积二倍项时，2n+218+1=（29）2+2•29•2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，此时n=-20，
综上所述，n可以取到的数是10、34、-20，不能取到的数是36．故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
5．（2020·山东威海初二期中）将多项式加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( )
A． B．±4x C． D．
【答案】D
【分析】分x2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.
【解析】解：①当x2是平方项时，4士4x+x²=（2士x）2，则可添加的项是4x或一4x；
②当x2是乘积二倍项时，4+ x2+ =（2+）2，则可添加的项是；
③若为单项式，则可加上-4.故选：D.
【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.
6．（2020·浙江桐乡初二月考）若代数式x2＋ax＋64是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A．－16 B．16 C．8 D．±16
【答案】D
【解析】试题分析：根据完全平方式的意义，首平方，尾平方，中间加减积的2倍，可知a=±2×8=16.
故选：D
点睛：此题主要考查了完全平方式的意义，解题关键是明确公式的特点，即：完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方。算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央。
7．（2020·长春市第五十二中学月考）若是完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】有完全平方式的特征，列式进行计算，即可得到答案．
【解析】解：∵是完全平方式，∴，∴，
解得：或；故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，解题的关键是掌握完全平方式的特征进行解题．

题型5完全平方式的应用（知二求二）
解题技巧：用可推导除一些变式
①
②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
1．（2020·全国初二课时练习）若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用完全平方公式把展开，再把展开，然后两式相减，就可以得到的值．
【解析】，即．
又．故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键在于对完全平方公式的熟练运用．
2．（2020·重庆南开中学期末）若，，则__________．
【答案】12
【分析】用完全平方公式进行恒等变形，求出的值再代入求解即可．
【解析】解：由完全平方公式：，代入数据：得到：，
∴，∴，故答案为：12．
【点睛】本题考查了完全平方公式及其恒等变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
3．（2020·山东历下·初一期中）已知，则_____________.
【答案】14
【分析】设，则，，于是原式可变形为关于a2的等式，求出a2即为所求的式子的值．
【解析】解：设，则，，
因为，所以，
整理，得：，所以，即14．故答案为：14．
【点睛】本题考查了整式乘法的完全平方公式及其变形，设、灵活利用整体代入的数学思想是解题的关键．
4．（2020·湖北宜城.初二期末）若，，则______．
【答案】12
【分析】根据完全平方公式的两个关系式间的关键解答即可.
【解析】∵，，∴，
∴19=5+4xy，∴xy=，∴，故答案为：12.
【点睛】此题考查完全平方公式，熟记公式并掌握两个公式的等量关系是解题的关键.
5．（2020·湖南邵阳·期末）已知，，则的值为______．
【答案】53
【分析】根据题意直接利用完全平方公式将原式变形，进而计算即可得出答案．
【解析】解：∵（x-y）2=25，∴x2-2xy+y2=25，∵xy=14，∴x2+y2=25+2xy=25+28=53．故答案为：53．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握并正确记忆完全平方公式是解题的关键．
6．（2020·射阳县第二初级中学初一期中）若则________________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式：可求得结果
【解析】 故答案为：46
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，在完全平方公式中，我们要注意有3个模块：(a±b)、ab、，已知其中的任意2个模块，通过公式变形，都可求得第三个模块.
7．（2020·江苏省邗江实验学校期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．
【答案】（1）12；（2）56；（3）±2
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（3）先求出（x﹣y）2的值，再根据完全平方公式求出即可．
【解析】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8+2×2＝12；
（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝82﹣2×22＝64﹣8＝56；
（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，∴x﹣y＝±2．
【点睛】本题考查完全平方公式，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键．
8．（2020·隆昌市知行中学月考）求值．
若，，求①，②的值．
【答案】①25，②
【分析】①将两边平方，利用完全平方公式展开，把的值代入即可求出的值；
②计算，利用完全平方公式展开，把与的值代入计算，开方即可求出值．
【解析】①将两边平方得：，
把代入得：，即；
②∵，则．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

题型6 完全平方公式应用（）
1．（2020·全国初二课时练习）若x﹣=3，则=（　　）
A．11 B．7 C． D．
【答案】C
【分析】先由x﹣=3两边同时平方变形为，进而变形为，从而得解．
【解析】解：∵x﹣=3，∴，
∴，∴，∴，故选：C．
【点睛】此题要运用完全平方公式进行变形.根据a2+b2=(a+b)2-2ab把原式变为，再通分，最后再取倒数.易错点是忘记加上两数积的2倍．
2．（2020·四川锦江·初二学业考试）已知，则____________．
【答案】47
【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．
【解析】∵，∴（x＋）2＝49，即＋2＝49，
则47，故答案为：47．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值以及完全平方公式，正确运用公式是解题关键．
3．（2020·长春市第四十七中学月考）回答下列问题：
（1）填空：（2）若，求的值．
【答案】（1）2，2；（2）23
【分析】（1）利用完全平方公式变形即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值；
【解析】解：（1）故答案为：2；2；
（2）∵∴原式=（）2 - 2=25-2=23．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题关键在于熟练掌握完全平方公式．’
4．（2021·江门市第二中学初二月考）若，则 ________________.
【答案】8
【分析】先把可化为 ，再将化为，然后代入即可解答。
【解析】解：∵可化为，化为
∴原式==32-1=8
【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键在于对等式的变形和完全平方公式的灵活运用。
5．（2020·四川南充·一模）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由计算出x2+=7，再由，按完全平方公式展开，代入数值即可．
【解析】解：由∴x2++2=9，∴x2+=7，
则= x2+-2=7-2=5．故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题关键是熟记公式的几个变形公式．
6．（2020·上海市久隆模范中学初一期中）已知求_________________。
【答案】47
【分析】根据已知等式两边同时除以x，得到的值，然后利用完全平方公式求出的值，最后再利用完全平方公式求的值即可.
【解析】∵，，∴两边同时除以x得：，即，
∴，即，∴，∴.
【点睛】本题考查已知式子的值求代数式的值，熟练应用等式的基本性质及完全平方公式是解题的关键.
7．（2020·四川省金堂县隆盛镇初级中学初一月考）已知，那么+的值是______________.
【答案】3
【分析】把化为，再由+=即可求解.
【解析】∵，∴，∴，
∴+=故答案为：3.
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，根据题目的特点，正确利用完全平方公式的变形是解决问题的关键.
8．（2020·重庆北碚·初三其他）已知，则等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解．
【解析】∵，∴，即，∴．故选A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键在于乘积二倍项不含字母．
9．（2020·四川雁江·初二期末）已知，求，的值．
【答案】2，2
【分析】将已知的等式左右两边分别平方，再展开求得．
【解析】解：∵，∴，∴，
∴． ∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键是把所求代数式整理为与所给等式相关的形式或与得到结果相关的形式．

题型7 配方法的应用
解题技巧：运用一个式子求解多个未知数，考虑平方的非负性，初中阶段目前所学具有非负性的有（n为正整数).
1．（2020·广西兴业·月考）代数式的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．
【解析】代数式
∵∴即代数式故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．
2．（2020·江苏宝应.初一期中）已知，，，则代数式的值为______．
【答案】3
【分析】把已知的式子化成的形式，然后代入求解．
【解析】解：，，，
，，，
则原式

，故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式的求值，正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键．
3．（2020·吉林长春外国语学校初二期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：
a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　；
（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；
（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．
【答案】（1）4；（2）M的最小值为﹣3；（3）a+b+c=.
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）先提取，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案；
（3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解．
【解析】（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2故答案为：4；
（2）M＝+2a+1＝（a2+8a+16）﹣3＝（a+4）2﹣3∴M的最小值为﹣3
（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0∴a＝b＝1， ，∴a+b+c=.．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
4．（2020·吉林长春.初二期中）阅读下列解题过程，再解答后面的题目.
例题：已知，求的值.
解：由已知得即
∵，
∴有，解得∴.
题目：已知，求的值.
【答案】-
【分析】先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求出xy的值．
【解析】将，化简得，即．
∵，，且它们的和为0，∴ ， ，∴.
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．
5．（2020·福建同安?初二月考）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．
例如：求代数式的最小值．
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．
（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．
（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
【答案】（1）代数式有最小值为1；（2）代数式有最小值为3．（3）当，时，多项式有最大值为17．
【分析】（1）根据完全平方公式将写成，然后利用非负数的性质进行解答；
（2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答.
【解析】（1）原式 当时，代数式有最小值为1；
（2）原式
代数式有最小值为3．
（3）原式

当，时，多项式有最大值为17．
【点睛】本题考查了配方法和完全平方公式的应用，以及偶次方非负性的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
6．（2020·福建宁化?初一期中）“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决.
（1）根据平方数是非负数这一性质，我们知道，可以得到.如果，求、的值.
（2）已知，试问：多项式 的值是否与变量的取值有关?若有关请说明理由；若无关请求出多项式的值.
【答案】（1）a=﹣1，b=2；（2）值与x无关，值为3．
【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到a、b的值；（2）先计算a﹣b，a﹣c，c﹣b的值，然后根据a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，代入求值即可．
【解析】（1）由a2+b2+2a﹣4b+5=0，得到：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）=0，（a+1）2+（b﹣2）2=0，所以有a+1=0，b﹣2=0，解得：a=﹣1，b=2；
（2）多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值与变量x的取值无关．理由如下：
∵ax+2017，bx+2015，cx+2016，∴a﹣b=2，a﹣c=1，c﹣b=1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=（ab）+（ac）+（cb）=3，∴多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值与变量x的取值无关，且a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是3．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、非负数的性质﹣偶次方，解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式．
7．（2020·福建泉州初三一模）已知：，且则 ．
【答案】14
【解析】因为，所以，所以，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又，所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以2+4+8=14．
考点：1．配方法2．非负数的性质．
8．（2020·湖南江永初一期中）已知a—4a+9b+6b+5=0,则a+b=_________。
【答案】
【解析】—4a+9+6b+5=0,
9．（2020·深圳市高级中学初二期中）若，则ab的值是（ ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】将利用完全平方公式变形，求出a、b，问题得解．
【解析】解：变形得，，
即，∴，∴a=-3，b=2，∴．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式变形求解，熟知完全平方公式是解题关键．

题型8乘法公式的几何背景
解题技巧：两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。
1．（2020·长春市第四十七中学月考）从下图的变形中验证了我们学习的公式（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积可得．
【解析】解：左边正方形中有颜色部分的面积为a2-b2，右边长方形的面积为（a+b）（a-b），
根据正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积可得a2-b2=（a+b）（a-b），故选：D．
【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，解题的关键是根据题意得出正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积，并表示出两部分的面积．
2．（2020·广东揭阳·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） C、a2+ab=a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．

【答案】（1）B；（2）①3；②．
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；（2）①把x2﹣4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求解；②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．
【解析】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案是B；
（2）①∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），∴12=4（x﹣2y）得：x﹣2y=3；
②原式=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
=×=．
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
3．（2020·四川射洪中学月考）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（　　）

A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】C
【分析】根据图形及等面积法可直接求解．
【解析】解：由图可知：几何图形的面积为：，也可以表示为：；
所以可得；故选C．
【点睛】本题主要考查整式，关键是根据题目所给的图形得到几何面积的表示，然后利用等积法即可求解．
4．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学月考）我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，对几何图形做出代数解释和用几何图形的面积表示代数恒等式是互逆的．课本上由拼图用几何图形的面积来验证了乘法公式，一些代数恒等式也能用这种形式表示，例如(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用图①或图②等图形的面积表示．

(1)填一填：请写出图③所表示的代数恒等式：______________________________；
(2)画一画：试画出一个几何图形，使它的面积能表示：(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2.
【答案】（1）2a2＋5ab＋2b2；（2）详见解析.
【分析】（1）由题意，等号的左边表示的是长方形的面积，等号的右边表示的是长方形里面的小图形的面积和；故问题可求．（2）由（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2可知，图形的两个边长为a+b和a+3b；里边的小图形有八个，一个面积为a2，4个面积为ab，3个面积为b2．
【解析】 (1)由题意,可得：
整理,得： 故答案为
(2)由.可知,图形的两个边长为a+b和a+3b;里边的小图形有八个,一个面积为a2,4个面积为ab,3个面积为b2.画图如下(答案不唯一)．

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，本题的解答须注意观察图形和等式的关系,规律:大长方形的面积=小图形的面积和.
5．（2020·四川成都实外）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：

（1）图2所表示的数学等式为_____________________；
（2）利用（1）得到的结论，解决问题: 若，求的值；
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接,若两正方形的边长满足求阴影部分面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，另一种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的乘法公式，进行变形得出答案即可；（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形EGF的面积-三角形AED的面积求解．
【解析】（1）由图可得，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）由（1）可得：ab+bc+ac＝[(a+b+c)2−(a2+b2+c2)]= [122−60]=42；
（3）S阴影＝a2+b2− (a−b)a−b2
=a2+b2−a2+ab−b2= (a2+b2+ab)= [(a+b)2−ab]= [152−35]=95．
【点睛】此题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
6．（2020·北京市顺义区第三中学初一期中）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．
（1）在整式乘法公式的学习中，小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，先画了边长为a，b的大小两个正方形，再延长小正方形的两边，把大正方形分割为四部分，并分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后补出图形Ⅴ．显然图形Ⅴ与图形Ⅳ的面积相等，所以图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面积和与图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积和相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ；

（2）计算：（x+a）（x+b）= ；请画图说明这个等式．
【答案】（1）；（2）；画图说明见解析．
【分析】（1）根据各部分的面积以及两种方式的面积相等的关系即可解答；
（2）将（x+a）（x+b）展开即可；画一个长为x+b，宽x+a的长方形即可．
【解析】解：（1），故答案为；
（2），故答案为：，画图如下：









【点睛】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，掌握用代数计算和图形面积表示平方差公式是解答本题的关键．
7．（2020·国开教育集团初一期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．
【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解．
【解析】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）∵a+b=10，ab=20，
∴S阴影=a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50﹣30=20．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积.
8．（2020·甘肃·初一期末）（阅读理解）“若满足，求的值”．
解：设，，则，，．

（解决问题）（1）若满足，则的值为________；
（2）若满足，则的值为___________；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
【答案】（1）140；（2）；（3）1056；见详解．
【分析】（1）根据题目所给的方法进行计算即可；（2）运用题目所给的方法进行计算即可；
（3）根据题意易得DG、ED的长，然后结合图形及运用题目所给的方法求解即可．
【解析】（1）解：设，，则，
，
，故答案为：140；
（2）解：设，，则，，
．
（3）解：矩形的面积，设，，
则；
∴阴影部分的面积．答：阴影部分的面积为1056．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键．

题型9 整式乘法的归纳猜想问题
1．（2020·青神县实验初级中学校初一期中）阅读下文，回答问题：
已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;
（1）计算上式并填空；（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=     ；
（3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）.
【答案】（1）;;（2）；（3）.
【分析】(1)根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可；(2)观察式子特点可得规律（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；(3)根据（2）中的规律先计算(1-3)(399+398+397…+32+3+1)的值，即可求得结果.
【解析】解：（1）（1-x）（1+x+x2）=1+x+x2- x-x2- x3=;（1-x）（1+x+x2+x3）=;
（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；
（3）∵(1-3)(399+398+397…+32+3+1)= ∴399+398+397…+32+3+1=
【点睛】本题考查了有特定规律的整式乘法，按法则进行计算并观察得到规律是解题的关键.
2．（2020·湖北阳新初二期末）好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．(1)计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为_____．
(2)( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为_______．
(3)若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
(4)若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=_____．
【答案】（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
【解析】（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．
（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：．
（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0∴a=-3．
（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
故答案为：（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，观察题干，得出规律是关键．
3．（2021·安徽埇桥初二期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是_____．
【答案】2693
【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2-n2=（m+n）（m-n），因为m，n是正整数，因而m+n和m-n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．
【解析】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2-k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．
对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2-（k-1）2（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．
对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2-y2=（x+y）（x-y），其中x，y为正整数，
当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；
当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x-y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．
所以不存在自然数x，y使得x2-y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．
因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．
因为2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2693是第2018个“智慧数”，故答案为：2693．
【点睛】本题考查平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．
4．（2020·石家庄市第二十八中学初一期中）（1），________；________．
（2）猜想：________（其中为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计：________．
【答案】
【分析】（1）直接利用多项乘以多项式的运算法则，即可求出答案；（2）利用（1）中的关系，找出规律，即可得到答案.（3）利用（2）的结论，然后进行化简计算，即可得到答案.
【解析】解：（1）==；
==；
故答案为：，；
（2）∵，，
，∴；
故答案为：；
（3）由（2）可知，∵，
∴，
∴
∴
∴；故答案为：.
【点睛】本题考查了整式的数字变化规律，乘方的运算法则，以及平方差公式的知识，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简，从而正确的得到式子的规律.
5．（2020·北京平谷.初一期末） 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．
有如下四个结论：①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
②当a=-2，b=1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；
③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a=-1，b=1；
④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n．上述结论中，正确的有______（写出序号即可）．

【答案】①②
【分析】根据题中举例说明，明确杨辉三角的与的展开式的系数间的对应关系，据此逐项分析．
【解析】∵在杨辉三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，
∴在杨辉三角形中第行的个数，对应展开式中各项的系数，
①∵展开式中各项的系数，为杨辉三角形中第6行的6个数，
∴；
②∵各项系数对应杨辉三角中的第4行的4个数，∴，
当时，代数式=；
③∵各项系数对应杨辉三角中的第5行的5个数，
∴，当代数式时，，不一定是；
④∵当时，展开式各项之和便是系数之和，
∴的展开式中的各项系数之和为，故答案为：①②．
【点睛】本题考查了合情推理，由具体举例推广到一般情况下杨辉三角与展开式的系数之间的对应规律，是解题的关键．
6．（2020·四川成都.初一期末）已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.
①；②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
【答案】④
【分析】根据新定义进行推理论证便可判断正误．
【解析】解：①，，故①正确；
②，，，、为整数），
由两式相加可得：，为整数），，故②正确；
③，，，、为整数），
，，由两式相乘可得：，
，为整数，， 故③正确；
④，，，，，，
两式相除得，，，
不一定是整数，不一定正确，故④错误．答案为④．
【点睛】本题是一个新定义题，关键是根据新定义进行推理计算，主要考查了学生的推理能力和自学能力．
7．（2020·山东滨州初二期末）观察下列各式：
； ；；
；⋯⋯⋯，则______
【答案】
【分析】根据题意，总结式子的变化规律，然后得到，然后把代数式化简，通过拆项合并的方法进行计算，即可求出答案．
【解析】解：∵；；；；……∴；
∴
；故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，以及数字的变化规律，解题的关键是熟练掌握正确掌握题意，找到题目的规律，从而运用拆项法进行解题．
8．（2020·甘肃天水中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．
【解析】解：由题意得：这组数据的和为：

∵，∴原式=,故选：A．
【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．