精品解析：2022年广东省深圳市东湖中学中考二模数学试卷

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2022年广东省深圳市东湖中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数即可解答．
【详解】解：∵，
∴的倒数是．
故选：B．
【点睛】本题考查倒数的概念，掌握乘积是1的两个数互为倒数是解题关键．
2. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘，积的乘方，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意；
B．，故本选项错误，不符合题意；
C．，故本选项正确，符合题意；
D．，故本选项错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3. 如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是( )

A. ∠BAC=∠BAM B. ∠BAM=∠CAM
C. ∠BAM=2∠CAM D. 2∠CAM=∠BAC
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线定义即可求解.
【详解】解：∵AM为∠BAC的平分线，
∴∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC．
故选C.
【点睛】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键.
4. 关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
详解】解：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，
∵，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：，
5. 游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）．

A. 每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B. 每段直路要短
C. 每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D. 每段直路要长
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问题．
【详解】根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图形是正五边形，
∵正五边形的每个内角的度数为：
∴它的邻补角的度数为：180°-108°=72°，
因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了求正多边形内角的度数，掌握并能运用多边形内角和公式是解题的关键．
6. 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形的判定方法依次判断即可得出结果．
【详解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意；
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形矩形，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键．
7. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8. 某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：
成绩
60
70
80
90
100
人数
3
9
13
16
9
则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（ ）
A. 90，80 B. 16，85 C. 16，24.5 D. 90，85
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【详解】解：90分的有16人，人数最多，故众数为90分；
处于中间位置的数为第25、26两个数，为80和90，
∴中位数为=85分．
故选：D．
【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
9. 如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（　　）

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】B
【解析】
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD=BC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，
∴▱ABCD的周长=2×6=12，
故选B．
10. 如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（ ）

A. B. 1+ C. 2 D. 2+
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，

∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴
∴△ABC的面积．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：2a2﹣8=_____．
【答案】2（a+2）（a－2）．
【解析】
【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）．
故答案为2（a+2）（a－2）．
考点：因式分解．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
12. 长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费___________元．
【答案】
【解析】
【分析】根据单价×数量=总价，用代数式表示结果即可．
【详解】解：根据单价×数量=总价得，共需花费元，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量=总价是解题的关键，注意当代数式是多项式且后面带单位时，代数式要加括号．
13. 函数y中自变量x的取值范围是___________．
【答案】x≤2且x≠−3
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，2−x≥0且x＋3≠0，
解得x≤2且x≠−3．
故答案为：x≤2且x≠−3．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14. 如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算__________，……按此规律，写出__________（用含的代数式表示）．

【答案】 ①. ， ②. .
【解析】
【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答．
【详解】试题解析：作CH⊥BA4于H，

由勾股定理得，BA4=，A4C=，
△BA4C的面积=4-2-=，
∴××CH=，
解得，CH=，
则A4H==，
∴tan∠BA4C==，
1=12-1+1，
，3=22-2+1，
，7=32-3+1，
∴tan∠BAnC=.
故答案为: ， .
【点睛】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
15. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是________.

【答案】
【解析】
【详解】分析：先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，AB=AC=2，再根据旋转的性质得∠BAB′=∠CAC′=45°，则点B′、C、A共线，然后根据扇形面积计算，利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′-S扇形CAC′进行计算即可．
详解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，AB=AC=2，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C，
∴∠BAB′=∠CAC′=45°，
∴点B′、C、A共线，
∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′+S△AB′C-S扇形CAC′-S△ABC
=S扇形BAB′-S扇形CAC′
=
故答案为．
点睛：本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16 解不等式组．
【答案】x＜﹣6
【解析】
【分析】先分别解每一个不等式，然后取其公共解即可．
【详解】解：①，②，
解①得：x＜1；
解②得：x＜﹣6．
故不等式组的解集为x＜﹣6．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
17. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】先将分子因式分解，再约分，最后计算分式的减法即可化简原式，将的值代入计算可得．
【详解】解：



当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键．
18. 小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于，超过时，所有这种水果的批发单价均为3元．图中折线表示批发单价（元）与质量的函数关系．

（1）求图中线段所在直线的函数表达式；
（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？
【答案】（1）；（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克．
【解析】
【分析】（1）设线段所在直线的函数表达式为，运用待定系数法即可求解；
（2）设小李共批发水果千克，则单价为，根据“单价、数量与总价的关系列方程解答即可”．
【详解】（1）设线段所在直线的函数表达式为，根据题意得，
，解得，
∴线段所在直线的函数表达式为；
（2）设小李共批发水果千克，则单价为，
根据题意得：，
解得或400，
经检验，，（不合题意，舍去）都是原方程的根．
答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
19. 为了解疫情期网学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”、“良好”、“一般”、“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共抽查了_________________人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
【答案】（1）200；（2）图见解析，；（3）
【解析】
【分析】(1)用“良好”所占的人数80除以它所占的百分比40%即可得到调查的总人数；
(2)用总分数减去“优秀”、“良好”、“一般”所占的人数即可计算出“不合格”的人数，然后补全条形统计图，用“一般”的人数除以总人数得到其所占的百分比，再乘以360°即可得到“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数；
(3)画图树状图，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：(1)结合扇形统计图和条形统计图可知：
本次活动共调查了：80÷40%=200(人)，
故答案为：200．
(2)“不合格”的人数为：200-40-80-60=20人，
故条形统计图补全如下所示：

学习效果“一般”的学生人数所占的百分比为：60÷200=30%，
故学习效果“一般”所在扇形的圆心角度数为30%×360°=108°，
故答案为：108°．
(3)依题意可画树状图：

共有12种可能的情况，其中同时选中“良好”的情况由2种，
(同时选中“良好”)．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；树状图法可以展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，最后用概率公式求出P(A)=即可求出事件A的概率．
20. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

【答案】(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.
【解析】
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
【详解】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3得：0=+3m+3，
解得：m=2，
∴y=+2x+3=，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
【点睛】
21. 已知两个等腰有公共顶点C，，连接是的中点，连接．

（1）如图1，当与在同一直线上时，求证：；
（2）如图2，当时，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）法一：延长交于点，易证为等腰直角三角形，得到，进而得到为的中位线，即可得证；法二：延长交于，证明，进而推出是等腰直角三角形，得到，进而得到，即可得证；
（2）法一：延长交于点D，连接，易得，，证明，得到，即可得证；法二：延长交于D，连接、，分别证明，推出是等腰直角三角形，进而得证．
【小问1详解】
解：法一：

如图：延长交于点，
∵等腰有公共顶点C，，
∴，，，
∴，
∴，
∴点为线段的中点，
又∵点为线段的中点，
∴为的中位线，
∴；
法二：

如图，延长交于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵在等腰直角中，，
∴，
∴；．
【小问2详解】
法一：

如图，延长交于点D，连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴点B为中点，又点M为中点，
∴．
延长与交于点G，连接，
同法可得：，，
∴点E中点，又点M为中点，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
法二：

如图，延长交于D，连接、，
∵为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，以及斜边上的中线等于斜边的一半．解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等．
22. 【问题提出】
如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
试证明：AB=DB+AF
【类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．

【答案】【问题提出】证明见解析；【类比探究】（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．
【解析】
【问题提出】根据旋转的性质得出△EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出△EDB≌FEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论．
（1）先画出图形证明△DEB≌△EFA，方法类似于【问题提出】；
（2）画出图形根据图形直接写出结论即可．
【详解】证明：DE=CE=CF，△BCE
由旋转60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，
∵∠DBE=120°，
∴∠EAF=∠DBE，
又∵A，E，C，F四点共圆，
∴∠AEF=∠ACF，
又∵ED=DC，
∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，
∴∠D=∠AEF，
∴△EDB≌FEA，
∴BD=AF，AB=AE+BF，
∴AB=BD+AF．
类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，
∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，
∴∠FCG=∠FEA，
又∠FCG=∠EAD
∠D=∠EAD，
∴∠D=∠FEA，
由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，
∴∠DBE=∠FAE=60°
∴△DEB≌△EFA，
∴BD=AE，EB=AF，
∴BD=FA+AB．
即AB=BD-AF．

（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）
如图③，

ED=EC=CF，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=EC，
又∵ED=EC，
∴ED=EF，
∵AB=AC，BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵∠CBE=∠CAF，
∴∠CAF=60°，
∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC
=180°-60°-60°
=60°
∴∠DBE=∠EAF,
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，
又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，
∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，
∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，
∴∠BDE=∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
∴△EDB≌△FEA（AAS），
∴BD=AE，EB=AF，
∵BE=AB+AE，
∴AF=AB+BD，
即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD．