精品解析：2022年广东省深圳市龙岗区金稻田学校中考数学一模试卷

2022年广东省深圳市龙岗区金稻田学校中考数学一模试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1. 如图是由六个完全相同的正方体堆成的物体，则这一物体的正视图是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【详解】解：从正面看易得左边一列有2个正方形，右边一列有一个正方形．

故选：A．

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

2. 在一个不透明布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（　　）

A. 24 B. 18 C. 16 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数．

【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，

∴摸到白球的频率为，

∴口袋中白色球的个数可能是个．

故选：C．

【点睛】大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．

3. 房间窗户的边框的形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（　　）

A. 三角形 B. 平行四边形

C. 圆 D. 梯形

【答案】B

【解析】

【分析】由于矩形边框的对边平行，则在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影的对边也平行或重合，所以她的投影不可能为三角形、圆、梯形．

【详解】解：在阳光的照射下矩形边框在房间地面上形成了投影的形状可能是平行四边形．

故选：B．

【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．

4. 如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，AB=3，BC=2，则DE：DF=（   ）

A. 2：3 B. 3：2 C. 2：5 D. 3：5

【答案】D

【解析】

【分析】由平行线分线段成比例的性质可得AB：BC=DE：EF，进一步可求得DE：DF．

【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴AB：BC=DE：EF=3：2，
∴DE：DF=3：5，
故选D．

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．

5. 抛物线的顶点坐标是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标即可．

【详解】∵抛物线，

∴抛物线的顶点坐标为．

故选：A．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．

6. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，则的长为（   ）

A. 4 B. 8 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用矩形的性质可知对角线互相平分且，再利用勾股定理求解即可．

【详解】解：在矩形中，

故选D．

【点睛】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理求直角边是解决本题的关键．

7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝12，则AC＝(   )

A. 3 B. 9 C. 10 D. 15

【答案】B

【解析】

【详解】∵sinA=，

∴AB==15，

在直角△ABC中,AC==9.

故选B.

8. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．

对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）

A. 两人都对 B. 两人都不对

C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对

【答案】A

【解析】

【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似，即可判断．

【详解】解：如图：甲：根据题意得：，，，

，，

，

∴甲说法正确；

乙：∵根据题意得：，，则，，

，，

，

∴新矩形与原矩形不相似．

∴乙说法正确．

故选：A．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定以及相似多边形的判定，熟练掌握和运用相似形的判定方法是解决本题的关键．

9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．

【详解】解：A、函数y=ax﹣a的图象应该交于y轴的负半轴，故不符合题意；

B、由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y（a≠0）的图象可知a＞0，故不符合题意；

C．由函数y=ax﹣a的图象可知a＞0，由函数y（a≠0）的图象可知a＜0，故不符合题意；

D．由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y（a≠0）的图象可知a＜0，故符合题意．

故选D．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

10. 已知二次函数的图象如图，其对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④，则正确的结论个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】①由抛物线与x轴交点的个数判断对错；
②根据对称轴的x=1来判断对错；
③根据抛物线的开口方向、抛物线对称轴位置、抛物线与y轴交点位置判定a、b、c的符号；
④由于x=3时对应的函数图象在x轴上方，得到9a+3b+c＞0，然后把b=-2a代入即可得到3a+c＞0．

【详解】①如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2−4ac>0，故①正确；

②如图所示，对称轴x=−=1，则b=−2a，则2a+b=0，故②正确；

③抛物线开口方向向下，则a<0，b=−2a>0.

抛物线与y轴交于正半轴，则c>0，

所以abc<0，

故③错误；

④当x=3时对应的函数图象在x轴下方，即y<0，

∴9a+3b+c<0，

而b=−2a，

∴3a+c<0，

故④错误；

综上所述，正确的结论个数为2个．

故答案选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.

二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡上）

11 若，，则______________．

【答案】3

【解析】

分析】根据完全平方公式，把a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=（a+b）2-2ab，再代入求得数值即可．

【详解】解：∵（a+b）2=7，ab=2，

∴a2+b2

=a2+2ab+b2-2ab

=（a+b）2-2ab

=7-2×2

=3．

故答案为：3．

【点睛】本题考查了完全平方公式，根据公式把a2+b2整理成已知条件的形式是解题的关键．

12. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_________．

【答案】x≤5

【解析】

【分析】根据二次根式的性质列出不等式，求出不等式的取值范围即可．

【详解】若使函数y＝有意义，

∴5−x≥0，

即x≤5．

故答案为x≤5．

【点睛】本题主要考查了函数自变量取值范围的知识点，注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

13.  若方程是关于x的一元二次方程，则m=_______．

【答案】-1

【解析】

【分析】一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；并且二次项系数不为0．

【详解】由题意得且m2+1=2，

解得m= -1

故答案为：-1

14. 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】设原计划每天生产个，则实际每天生产个，根据原计划在20天内完成的任务实际15天完成且还多生产10个，列方程．

【详解】解：设原计划每天生产个，则实际每天生产个，

由题意得，．

故答案为：．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．

15. 如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，表示出BE，再根据正方形的性质表示出CF，然后相比计算即可得解．

【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，

则BE＝a﹣b，

∵正方形AEFG的顶点E，

∴AF平分∠BAD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CA平分∠BAD，

∴点F在正方形ABCD的对角线上，

∵G在正方形ABCD的边AB，AD上，

∴CF＝，

∴BE：CF＝（a﹣b）：（）＝．

故答案为．

【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，难点在于判断出点F在正方形ABCD的对角线上．

三．解答题（共7小题，满分75分）

16. 计算：( 2﹣π)0+ + |﹣9|﹣tan30°

【答案】10

【解析】

【分析】根据零指数幂的计算法则、二次根式化简、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值进行计算即可．

【详解】

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．

17. 先化简，再求值：，其中．

【答案】，11

【解析】

【分析】利用平方差公式约分，再合并同类项即可；

【详解】解：原式=，

将a=5代入得：原式=2×5+1=11.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式是解题关键．

18. 某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：

（1）求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；

（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．

【答案】（1）众数：90，中位数：90，平均数：905；（2）450人

【解析】

【分析】（1）根据条形统计图，计算众数、中位数和平均数；
（2）利用样本估计总体思想求解可得．

【详解】解：（1）由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90，
由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90，

众数：90，中位数：90，

平均数．

答：这20名学生成绩的众数90，中位数90，和平均数90.5；

（2）20名中有人为优秀，

∴优秀等级占比：

∴该年级优秀等级学生人数为：（人）

答：该年级优秀等级学生人数为450人．

【点睛】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．

19. 如图，以锐角的边为边向外作正方形和正方形，连接．

（1）求证：；

（2）图中可以通过一次变换得到，请你说出变换过程．

【答案】（1）见解析    （2）和可以通过旋转而相互得到，以点A为旋转中心，顺时针旋转得到

【解析】

【分析】（1）通过正方形的性质得到等角和等边，然后判断全等即可；

（2）根据旋转的定义直接解答即可．

【小问1详解】

证明：∵四边形和四边形是正方形，

∴，，

∴，即，

在和中，

，

∴；

【小问2详解】

解：和可以通过旋转而相互得到，以点A为旋转中心，顺时针旋转得到．

【点睛】此题考查正方形的性质和全等三角形、旋转性质，解题关键是找准全等三角形判定条件来证明全等．

20. 某中学九年级学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度，如图，他们先在点C测得教学楼的顶点A的仰角为，然后向教学楼前进20米到达点D，又测得点A的仰角为，请根据这些数据，求这幢教学楼的高度．（最后结果精确到1米，参考数据）

【答案】27米

【解析】

分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边及构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．

【详解】解：由已知，可得：，，

在中，．

又在中，

，

，即．

，

，

即，

米．

答：教学楼的高度为27米．

【点睛】本题考查了仰角与俯角--解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

21. 某宾馆客房部有个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天元时，所有房间刚好可以住满，根据经验发现，每个房间的定价每增加元，就会有个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间支出每天元的各种费用．设每个房间的定价增加元，每天的入住量为个，客房部每天的利润为元．

求与的函数关系式；

求与的函数关系式，并求客房部每天的最大利润是多少？

当为何值时，客房部每天的利润不低于元？

【答案】(1)；(2), 当时，有最大值，且最大值是元;(3) 当时，每天的利润不低于元．

【解析】

【分析】(1)每个房间的定价增加元，则每天的入住量为；

(2)客房部每天的利润=每个房间的定价×入住的房间数-成本，据此列出函数表达式，再将表达式化为一般式求最值即可；

(3)令W=1400，求解一元二次方程的两个根，则x的范围在两根之间（含两根）时，符合题意.

【详解】解：由题意得：；

（2）

∵，

∴当时，有最大值，且最大值是元

当时，即，

解得：，，

故当时，每天的利润不低于元．

【点睛】本题考查了二次函数的应用.

22. 如图①，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．

（1）求的面积．

（2）点M在边上以每秒1个单位的速度从点O向点B运动，点N在边上以每秒个单位得速度从点B向点C运动，两个点同时开始运动，同时停止．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形与相似？

（3）如图②，点P为抛物线上的动点，点Q为对称轴上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、B为顶点的四边形是平行四变形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）6    （2）或   

（3）存在，，，

【解析】

【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得、、的坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；

（2）根据两角相等的两个三角形相似，可得与的关系，根据相似三角形的性质，可得关于的方程，根据解方程，可得答案；

（3）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得①或②；根据，，可得点坐标；根据，可得关于的方程，根据解方程，可得的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标．

【小问1详解】

解：当时，，即，

当时，，解得，，即，；

；

【小问2详解】

若，如图1，

，，，

，

，即．

∴，解得；

若时，如图2，

，，，

，

，即，

，解得；

综上所述：或；

【小问3详解】

如图3，

，

若为对角线，

即，，，

；

若为边，即，，

设，，．

，即，

化简，得．

解得或．

当时，，

即；

当时，，

即；

综上所述：，，．

【点睛】本题考查了二次函数综合题，（1）利用自变量与函数值的对应关系得出、、的坐标是解题关键；（2）利用相似三角形的性质得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；（3）利用平行四边形的对边相等得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．