精品解析：2022年广东省深圳市南山区九年级下学期第三次学情调研（三模）数学试题

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2021－2022学年第二学期南山区九年级教学质量检测
数学
本试卷共4页，22题，满分100分，考试用时90分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案（作图题除外）；不准使用涂改液．不按以上要求作答无效．
4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分　选择题
一．选择题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的．）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2021 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的定义即可求解．
【详解】绝对值是2021
故选A．
【点睛】此题主要考查绝对值的求解，解题的关键是熟知绝对值的定义与性质．
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，可得C图形为中心对称图形
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，即在同一平面内，把一个图形绕某个点旋转180度能够与原图形重合，那么这个图形就是轴对称图形．
3. 2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约．将数字55000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法的表示形式并正确确定a及n的值是解题的关键．
4. 新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（　　）
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期天
体温（℃）
36.3
36.7
36.2
36.3
36.2
36.4
36.3

A. 36.3和36.2 B. 36.2和36.3 C. 36.3和36.3 D. 36.2和36.1
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数、众数的意义求解即可．
【详解】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为36.2，36.2，36.3，36.3，36.3，36.4，36.7，
该名同学这一周体温出现次数最多的是36.3℃，共出现3次，因此众数是36.3，
将这七天的体温从小到大排列处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3，
故选：C．
【点睛】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是解题的关键．
5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线定理得出EF的长即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，
∵，，
∴AC=
∴BD=10cm，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
6. 在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于，则点D为AB的垂直平分线与BC的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
7. 下列命题是真命题的是（ ）．
A. 正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B. 正六边形的每一个内角为
C. 有一个角是的三角形是等边三角形 D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为
∴选项A不符合题意；
正六边形的内角和为：
∴每一个内角为，即选项B正确；
三个角均为的三角形是等边三角形
∴选项C不符合题意；
对角线相等平行四边形是矩形
∴选项D不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，从而完成求解．
8. 某班级开展活动共花费2300元，但有4位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元，设原来有x人参加活动，由题意可列方程（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设原来有x人参加聚餐，则实际有（x-4）人参加聚餐，根据“总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元”，列出方程即可解答．
【详解】解：设原来有x人参加聚餐，则实际有（x-4）人参加聚餐，
根据题意得，
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
9. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为（3，5），由待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+4，设平移后点C的坐标为（3，5-m），代入解析式即可求出m．
【详解】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，

∴∠ABM+∠BAM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=90°，AB=DA，
∴∠DAO+∠BAM=90°，
∴∠DAO=∠ABM，
在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA=BM，OD=AM，
∵B（5，2），
∴BM=2，OM=5，
∴OA=2，
∴AM=OM-OA=3，
∴OD=3，
同理可证△CDN≌△DAO，
∴DN=OA=2，CN=DO=3，
∴ON=OD+DN=5，
∴C（3，5），
∵点B（5，2）在直线l：y=kx+4上，
∴5k+4=2，
∴k=- ，
∴直线l的解析式为y=-x+4，
设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为（3，5-m），
∵点C在直线l上，
∴-×3+4=5-m，
解得：m=，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键．
10. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，使得，连接交于，取，连接、，则点，为所求点，则点，为所求点，进而即可求解．
【详解】解：的面积为，
圆的半径为，
，
由正方形的性质，可知点是点关于的对称点，
过点作，使得，
连接交于，取，连接、，则点，为所求点，如图所示，

理由：，且，则四边形为平行四边形，
则，
则，
故的周长最小值为，
故选B．
【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性质、平行四边形的性质、正方形的性质，确定点的位置是解题的关键．
第二部分 非选择题
二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15分）
11. 因式分解：=____________．
【答案】
【解析】
【详解】应先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：原式=3（m2﹣1），
=3（m+1）（m﹣1）．
故答案为3（m+1）（m﹣1）．
“点睛”分解因式的一般步骤：若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
12. 若是关于的方程的解，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】把代入方程，得到关于的一元一次方程，再解方程即可.
【详解】解： 是关于的方程的解，


解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式方程的解，掌握“把分式方程的解代入原方程求解未知系数的值”是解本题的关键.
13. 如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，测得米，米，，在处测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为__米．（参考数据：，，结果按四舍五入保留一位小数）

【答案】20.9
【解析】
【分析】通过作辅助线构造直角三角形，再利用三角函数解直角三角形，将AB的长分为两段来求即可．
【详解】解：如图，过C点作CF⊥BC，与过D点的水平线交于点E，与AD交于点F，作CG∥DA交AB于点G，
∴∠BCF=90°，CF⊥DE，
∴∠DEF=∠DEC=90°，
∵∠BCD=150°，
∴∠ECD=150°-90°=60°，
∴，，
∵在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 45° ，
∴∠FDE=45°，
∴，
∴，
∵AG∥CF，AF∥CG，
∴四边形AGCF是平行四边形，
∴，
∵CG∥DA，DA与水平线夹角为45°，
∴∠BCG=45°，
∴，
∴AB=AG+BG=，
故答案为：20.9．

【点睛】本题考查了解直角三角形及其应用，解题关键是能正确作出辅助线构造直角三角形并进行求解．
14. 规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，则的最小值是__．
【答案】-6
【解析】
【分析】根据计算公式得二次三项式，求得二次三项式的最小值即可求得答案．
【详解】解：由题意得，
，
令，
则当时，有最小值为：，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次三项式求最值问题，熟练掌握二次三项式求最值的方法是解题的关键．
15. 如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则＝____．

【答案】
【解析】
【分析】设点C的坐标为（，）则求出E，B，的坐标，从而得出BC，CE的长度，得出直线OC，直线OB的解析式，进而求出直线BE的解析式，然后求出点F的坐标，将直线OB的解析式与反比例函数y= 联立方程组，求出点A的坐标，从而计算SΔCEF，SΔABC ，即可计算出比值．
【详解】设C的坐标为(，)
由CE∥ y轴，可知点C，点E的横坐标相等，
则点E的坐标为（，），B的坐标为（，）
∴BC=，CE=，
设直线OC的解析式为y=k2x，将点C(，)代入得，
k2=
所以直线OC的解析式为①，
设直线OB的解析式为y=k3x，将点B( ， )代入得，
k3=
所以直线OB的解析式为③，
设直线BE的坐标为y=k1x+b1，将B，E的坐标代入得，
，解得 ,
∴，
联立①②，得 ，
，
SΔABC=，
将③与联立得，，
解得：，，
所以A（，）
所以ΔABC以BC为边的高为：
所以
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，以及求三角形的面积，解题的关键是通过假设未知数表示点的坐标，再将点的坐标代入解析式当中，联立方程组，求出其它一些相关点的坐标，再求出一些相关的线段的长度，根据三角形的面积公式求面积，再计算比值．
三．解答题（共7小题）
16. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的化简，掌握特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题关键．
17. 先化简，再求值：，从中选出合适的x的整数值代入求值．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式化简求值的步骤和方法进行即可
【详解】解：原式=


根据分式有意义的条件可知，
∴当x取范围内的整数时，只有x=0．
∴当x=0时，原式=
【点睛】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取x的值是解题的关键．
18. 某市某区在2021年4月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查，调查结果根据年龄x(岁)分为四类：A类：18≤x＜30；B类：30≤x＜40；C类：40≤x＜50；D类：50≤x≤59．现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）抽取的C类市民有 人，并补全条形统计图；
（2）若本次抽取人数占已接种市民人数的5%，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有多少人？
（3）区防疫站为了获取更详细的调查资料，从D类市民中选出两男两女，现准备从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）30，见解析
（2）2400 （3）
【解析】
【分析】(1)根据A、B、D的总人数，所占总百分比计算样本容量，变形计算C的数据，完善统计图即可．
(2)利用样本估计总体的思想计算即可．
(3)画树状图计算概率．
【小问1详解】
根据条形统计图，得A、B、D的总人数为20+20+50=90人，
根据扇形统计图，得其百分数为1-25%=75%，
∴样本容量为：90÷75%=120(人)，
∴C类人数是：120×25%=30(人)，
故答案为：30；
完善统计图如下：
【小问2详解】
根据题意，得 120÷5%=2400(人)．
【小问3详解】
画树状图如下：

一共有12种等可能性，其中一男一女的有8种等可能性，
∴两人恰好是一男一女的概率是：．
【点睛】本题考查了统计图的意义和运用，画树状图计算概率，正确理解统计图的意义，熟练画出树状图是解题的关键．
19. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）68
【解析】
【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM=ON，由OB=OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出BM=BN=DM=DN，OB=BD，OM=MN，由勾股定理得BM的长，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵AD∥BC，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
20. 为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【答案】（1）一共答对了22道题；（2）至少需答对23道题．
【解析】
【分析】（1）设该参赛同学一共答对了道题，从而可得该参赛同学一共答错了道题，再根据“每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分”、“他的总得分为86分”建立方程，解方程即可得；
（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，从而可得参赛者答错了道题，再根据“总得分大于或等于90分”建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：（1）设该参赛同学一共答对了道题，则该参赛同学一共答错了道题，
由题意得：，
解得，
答：该参赛同学一共答对了22道题；
（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，则参赛者答错了道题，
由题意得：，
解得，
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确列出方程和不等式是解题关键．
21. 如图，抛物线的顶点为，且经过点．以坐标原点为圆心的圆的半径，于点．

（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线与相切．
（3）已知为抛物线上一动点，线段交于点．当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）先设顶点式，再将B点代入即可求解；
（2）由题意可知OA、OB的长，由三角形面积求出OC长度，进而可得OC即为半径，根据切线的定定理即可得证；
（3）分两种情况画出图，利用平行四边形的性质分别求解即可．
【小问1详解】
解：（1）∵抛物线的顶点为，
∴可设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
证明：，，，
，
，
，
，
，
解得：，
的半径，
是的半径，
∴直线与相切；
【小问3详解】
点在抛物线上，
可设，
，
，
即C为AB中点，
，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，
有以下两种情况：
①如图：四边形为平行四边形，此时P点在y轴右侧，连接CM，

则可得：，， ，
，
，
设直线的解析式为，将点代入，
得：，
直线的解析式为 ，
点在直线上，
，
解得：，，
，，
，或者，，
∵点在y轴右侧，
，，
，
；
②如图：四边形为平行四边形，此时P点在y轴左侧，连接AM，

则可得：，
，
∴四边形为正方形，
∴ 和C关于y轴对称，
，
设直线的解析式为，将点代入，
得：，
直线的解析式为，
点直线上，
，
解得：，，
，，
，或者，，
∵点在y轴左侧，
，
，
；
综上所述，的长是或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形的性质，圆的切线判定，二次函数与几何图形的综合运用以及分类讨论的数学思想方法等知识，熟练掌握相关概念并灵活运用是解题的关键．
22. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=　　，b=　　；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=　　，b=　　；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．

【答案】（1）4，4；，；（2）a2+b2=5c2，理由见解析；（3）4
【解析】
【分析】（1）首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题；连接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题；
（2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题；
（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．
【详解】解：（1）解：如图1中，∵CE=AE，CF=BF，
∴EF∥AB，EF=AB=2，
∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，
∴PF=PE=2，PB=PA=4，
∴AE=BF=．
∴b=AC=2AE=4，a=BC=4．
如图2中，连接EF，
，∵CE=AE，CF=BF，
∴EF∥AB，EF=AB=1，
∵∠PAB=30°，
∴PB=1，PA=，
在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，
∴PE=，PF=，
∴AE=，BF=，
∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，
（2）结论
证明：如图3中，连接EF．
∵AF、BE是中线，
∴EF∥AB，EF=AB，
∴△FPE∽△APB，
∴，
设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y，
∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，
b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，
∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．
（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，
同理可证△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF=AD=，
∴9+AF2=5×（）2，
∴AF=4．

【点睛】本题考查四边形综合题．