江西省稳派联考2024届高三上学期10月统一调研测试数学试题

这是一份江西省稳派联考2024届高三上学期10月统一调研测试数学试题，共17页。试卷主要包含了已知，若为纯虚数，则a的值为，函数的大致图象可能是，已知函数，，则，若，，，则，已知复数，则下列结论正确的是，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2024届高三10月统一调研测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）．A． B． C． D．2．（    ）．A． B． C． D．3．已知向量，，若，则（    ）．A． B． C． D．4．已知，若为纯虚数，则a的值为（    ）．A．1 B．3 C． D．5．函数的大致图象可能是（    ）．A．B．C．D．6．已知函数，，则（    ）．A．的图象关于y轴对称，的图象关于点对称B．的图象关于y轴对称，的图象关于y轴对称C．的图象关于原点对称．的图象关于点对称D．的图象关于原点对称．的图象关于y轴对称7．将三角形的3个内角三等分，靠近某边的两条角三分线相交得到一个交点，则这样的3个交点的连线构成正三角形，该定理称为莫利定理，其中的正三角形称为该三角形的莫利三角形．如图，在中，，，则的莫利三角形的面积为（    ）．A． B． C． D．8．若，，，则（    ）．A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列结论正确的是（    ）．A．  B．z在复平面内对应的点位于第二象限C．的虚部为 D．z是方程的根10．已知函数，则下列结论正确的是（    ）．A．若，则B．把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象C．若，则是的整数倍D．若在上单调递增，则11．下列各式的值是方程的根的为（    ）．A． B．C． D．12．已知定义城为的函数的导函数为，且，则（    ）．A．若，且，则B．C．图象上任意两点连线的斜率恒大于1D．若对，，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．中，点D在边上，若，则__________．14．已知命题p：“，”，则p为真命题的一个必要不充分条件是__________．15．若函数'的值域为R，则实数a的取值范围是__________．16．折纸是一种玩具，也是一项思维活动．如图，把一个足够长的长方形纸条打好一个结，然后拉紧压平，再截去伸出的部分，就得到一个正五边形，若，把该正五边形折纸展开，得到一个纸条，记该纸条的周长为c，则__________．图1            图2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数的图象上相邻两条对称轴之间的距离是．（1）求在上的值域；（2）求的图象在处的切线l的方程．18．（12分）已知向量，，且．（1）求的值；（2）若且，点O为坐标原点，求在方向上的投影数量．19．（12分）已知函数的图象关于直线对称，且时．（1）求时的解析式；（2）是否存在实数m，n满足，且在上的值域是，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，从下面两个条件中选一个，求的最小值．①点M，N分别是边，上的动点（不包含端点），且；②点M，N是边上的动点（不包含端点且），且．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）证明：；（2）若，判断方程的实根个数．  2024届高三10月统一调研测试数学参考答案及评分细则1．【答案】B【解析】因为，，所以，故选B．2．【答案】D【解析】，故选D．3．【答案】A【解析】因为，所以，所以，，所以，故选A．4．【答案】B【解析】因为，所以，所以，因为为纯虚数，所以，所以，故选B．5．【答案】B【解析】由可得的图象过原点，排除A；，，有2个极值点，排除C；存在t，当时恒有，在上单调递增，排除D（也可根据，在递减区间内，排除CD），故选B．6．【答案】D【解析】由，可得的图象关于原点对称，由，可得是偶函数，的图象关于y轴对称，故选D．7．【答案】C．【解析】由题意可得，，在中，，，，由正弦定理得，同理可得，，，所以，所以的面积为，故选C．8．【答案】A【解析】解法一：因为，，，，所以，故选A．解法二：因为，，所以，排除BC，因为，所以，所以，排除D，故选A．9．【答案】ACD【解析】因为，所以，A正确；z在复平面内对应的点为，位于第一象限，B错误；，虚部为，C正确；由得，即，所以z是方程的根，D正确，故选ACD．10．【答案】BCD【解析】当时，，，，在上单调递增，所以，所以，A错误；的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，B正确；若，则是最小正周期的整数倍，C正确；当时，，所以当，即时，在上单调递增，D正确，故选BCD．11．【答案】BCD【解析】方程的根为2或，，A错误；，B正确；，C正确；，D正确，故选BCD．12．【答案】AC．【解析】因为的定义域为，所以，在上单调递增，A正确；因为，所以在上单调递增，所以，即，B错误；设，是图象上任意两点，因为，设，则，在上单调递增，所以，，所以在上单调递增，所以，即，表示A，B两点连线的斜率，所以C正确；由得，因为在上单调递增，所以，即，且，因为在上单调递增，所以，即，设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，所以，D错误，故选AC．13．【答案】（填写，1.5都正确，填写不给分）【解析】因为点D在边上，若，所以，，所以，所以，，所以．14．【答案】（答案不唯一，如，等）【解析】由得，所以p为真命题的充要条件是，一个必要不充分条件是．15．【答案】（填写，都正确）【解析】若，当时，，当时，，的值域不是R；若，则时，，由的值域为R，得，解得．16．【答案】2（不求出具体数值不给分）【解析】在等腰梯形中，，，，，展开后的纸条如下图，该纸条的周长，所以．17．解：（1）因为图象上相邻两条对称轴之间的距离是，所以，，，（1分）因为，所以，因为在上单调递增，在上单调递减，且，，，（3分）所以，，（4分）所以在上的值域为．（5分）（2）因为，所以，（7分）所以，，（8分）所以切线l的方程为，即．（10分）【评分细则】（ⅰ）第（1）小题，根据，直接写出，不扣分；（ⅱ）第（2）小题，l的方程写成不扣分；（ⅲ）如用其他解法，若正确，也给满分．18．解：（1）两边平方得，（1分）因为，，所以，（3分）整理得，（4分）所以．（6分）（2）因为且，所以，（7分）所以，，所以，，，（10分）所以在方向上的投影数量为．（12分）【评分细则】如用其他解法，若正确，也给满分．19．解：（1）因为的图象关于直线对称，所以，（2分）当时，，（4分）所以．（6分）（2）假设存在m，n满足，且在上的值域是，易得时，由对称性可得时，所以，，（8分）又在上单调递增，所以在上单调递增，（9分）所以，，（10分）即m，n是的两个根，所以，．（12分）【评分细则】如用其他解法，若正确，也给满分．20．解：（1）由正弦定理得，所以，（2分）由余弦定理得，即，（4分）所以，．（5分）（2）若选①，因为，，，所以，所以，（7分）设，，由余弦定理得，即，（9分）因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为．（12分）若选②，，，，所以，（7分）所以，，（8分）设，因为，则，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，（10分）所以，所以当时，取得最小值．（12分）【评分细则】（ⅰ）第（2）小题求最值不指出等号成立条件扣1分；（ⅱ）如用其他解法，若正确，也给满分．21．解：（1）因为，所以，（1分）因为，当时，，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，（2分）当时，由，得或，当即时，，在R上单调递增，当时，，时，，单调递减，或时，，单调递增，（4分）当时，，时，，单调递减；或时，，单调递增．（5分）综上可得，时，在上单调递减，在上单调递增；时，在R上单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增．（6分）（2）由题可得，所以，（7分）当时，在上单调递增，则时，不满足题意，（8分）当时，在上单调递减，在上单调递增，当，即时在上单调递减，时，，满足题意，（9分）当，即时，在上单调递减，在上单调递增，由时，恒成立，则，即，因为，，所以，（11分）综上得实数a的取值范围为．（12分）【[评分细则】如用其他解法，若正确，也给满分．22．（1）证明：因为，所以，即，即，（1分）设，则，所以在上单调递增，（3分）所以，即，（4分）所以时．（5分）（2）解：方程，即，即，（7分）设，则，（8分）设，因为，所以，，所以在上有唯一实根，且，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，（10分）又，所以，在上没有零点，因为，，，所以在上有唯一零点，所以方程在上有唯一实根．（12分）【评分细则】如用其他解法，若正确，也给满分．