甘肃省兰州市部分学校2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

2023-2024学年第一学期第一次月考

高一数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下面命题正确的有（    ）

A．若，则  B．若，则

C．若，则  D．若，，则

2．已知集合，，且，，，则下列判断不正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．若，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

4．已知集合，，，则集合M，N，P的关系为（    ）

A．  B．

C．  D．，

5．已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．已知，，甲：，乙：，则（    ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件  D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

7．已知不等式的解集为A，不等式的解集为B，其中a、b都是非零常数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既非充分也非必要条件

8．已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列选项中p是q的必要不充分条件的有（    ）

A．p：，q：

B．p：，q：

C．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等

D．p：，q：，

10．图中矩形表示集合U，两个椭圆分别表示集合M，N，则图中的阴影部分可以表示为（    ）

A．  B．

C．  D．

11．若关于x的不等式的解集为，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

12．已知a，b均为正数，且满足，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，．若，则实数m的取值范围为______．

14．若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______．

15．已知正数x、y、z满足，则的最小值为______．

16．已知对任意，均有不等式成立，其中．若存在使得成立，则t的最小值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．实数a，b满足，．

（1）求实数a，b的取值范围；

（2）求的取值范围．

18．已知集合，．

（1）若，求；

（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围．

19．设集合，，．

（1），求；

（2）若，求m的取值范围．

20．已知集合，，且．

（1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．

21．（1）已知，求函数最小值，并求出最小值时x的值；

（2）问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；

（3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m的值．

22．已知不等式的解集为．

（1）若，且不等式有且仅有10个整数解，求a的取值范围；

（2）解关于x的不等式：．

2023-2024学年第一学期第一次月考

高一数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式；命题的真假判断与应用．

【答案】C

【解析】对于A，若，则不能推出，故A错误；

对于B，若，则不能推出，故B错误；

对于C，由为R上的增函数，可知由可推出，故C正确；

对于D，若，，则不能推出，故D不正确．

故选：C．

2．【答案】D

【考点】元素与集合关系的判断

【解析】∵，，

∴A为奇数集，B为偶数集，

又，，，

∴，，，，

∴A，B，C正确，D错误．

故选：D．

3．【考点】基本不等式及其应用．

【答案】B

【解析】由，可得，

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为．

故选：B．

4．【答案】B

【考点】集合的包含关系判断及应用

【解析】∵，

，

，

∴，故选：B．

5．【答案】D

【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用

【解析】因为命题“，使”是假命题，

所以命题“，使”是真命题，

即判别式，解得，

所以实数a的取值范围是．故选：D．

6．【答案】A

【考点】充分条件与必要条件

【解析】充分性：若，显然两集合对应的不等式相同，可得，即充分性成立；

必要性：若，当A，B都为空集时，此时只需要满足且即可，

不妨取，，此时满足，但，即必要性不成立；

所以甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．

7．【答案】A

【考点】充分条件、必要条件、充要条件

【解析】“”能推导出“”，而“”可得，

则“”是“”的充分不必要条件．故选：A．

8．【考点】函数恒成立问题；基本不等式及其应用．

【答案】B

【解析】依题意，．又，

而

，

当且仅当，即，时，前后两个不等号中的等号同时成立，

所以的取值范围为．故选：B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】AD

【考点】交集及其运算；充分条件、必要条件、充要条件

【解析】A：∵，∴p是q的必要不充分条件，∴A正确，

B：∵p：，∴，∵q：，∴，∴p是q的充要条件，∴B错误，

C：∵两个三角形全等两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，∴p是q的充分不必要条件，∴C错误，

D：当，时，则，反之，当时，，不一定成立，∴p是q的必要不充分条件，∴D正确，故选：AD．

10．【答案】AD

【考点】Venn图表达集合的关系及运算

【解析】易知图中阴影部分为M和的并集，故A正确；

又也可表示图中阴影部分，故D也正确；

选项B：表示的区域如图：

选项C：；

故AD符合题意，BC不符题意．故选：AD．

11．【答案】BC

【考点】一元二次不等式及其应用

【解析】关于x的不等式的解集为，

所以不等式的解集为，且；

由根与系数的关系知，解得，，

所以，解得；

由知，；所以．

则的值可以是BC．故选：BC．

12．【答案】ACD

【考点】基本不等式及其应用

【解析】对于A，∵，

∴（当且仅当时取等号），

∴，A正确；

对于B，当时，满足，，此时，B错误；

对于C，由得：；由得：；

∴，又（当且仅当时取等号），

∴，C正确；

对于D，∵，∴，∴；

∵，∴，∴；

∴，D正确．

故选：ACD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算

【解析】，

由，可分以下两种情况：

①当时，，解得

②当时，，解得；

综上，m的取值范围是．

14．【考点】充分条件与必要条件．

【答案】．

【解析】由题意可得可以推出，

当不符合题意，如，，时，不符合题意；

当时，则是的充要条件，不符合题意；

当时，等价于，则，满足题意；

所以，即实数a的取值范围为．

故答案为：．

15．【考点】二维形式的柯西不等式；基本不等式及其应用

【解析】由题意可得，，

∴，当且仅当即时取等号，

又∵，∴，当且仅当时取等号，

∴，∴，∴，

∴，当且仅当且时取等号，

∴的最小值为4．

16．【答案】

【考点】函数恒成立问题

【解析】因为对任意，均有不等式成立，

所以，所以，

又因为存在使得成立，

所以成立，

令，，则有，所以，

即（*），

所以此方程在上有解，

当，即或时，

当时，方程（*）即为：，解得，满足方程在上有解；

当时，方程（*）即为：，解得，不满足方程在上有解；

当，即或时，

要使方程在上有解，

则必有（两根均为负或一个负根一个零根），或（一个正（零）根一个负根），

解得或，所以，

又因为或，所以，

综上所述，当方程在上有解时，，

所以函数的最小值为，即，

所以t的最小值为．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【考点】简单线性规划

【解析】（1）由，，

两式相加得，，则，

由，得，又，

两式相加得，，即；

（2）设，

则，解得，∴，

∵，，∴，，

则．

18．【答案】（1）；（2）．

【考点】充分条件与必要条件；交、并、补集的混合运算

【解析】（1）若，则，，

又，∴．

（2）∵是的充分不必要条件，∴，

①当时，则，∴，

②当时，则，解得，

综上：，

∴实数a的取值范围是．

19．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意知当时，，故，

而，

故；

（2）当时，，∴，符合题意；

当时，需满足，且，中等号不能同时取得，解得，

综上所述，m的取值范围为．

20．【答案】（1）．（2）．

【考点】命题的真假判断与应用

【解析】（1），，

∵命题p：“，”是真命题，∴，，

∴，解得，

即实数m的取值范围是．

（2）∵命题q：“，”是真命题，∴则，

∵，∴，∴，∴，

即实数m的取值范围是．

21．【答案】（1）；

（2），当且仅当且x，y同号时等号成立；

（3）时，M取得最小值为．

【考点】基本不等式及其应用；函数的最值及其几何意义

【解析】（1）因为，所以，

所以，当且仅当，即时取“”，

所以当时函数y取得最小值为；

（2）因为，

且，当且仅当时等号成立，

所以，

所以，当且仅当且x，y同号时等号成立．

此时x，y满足；

（3）由，得；

设，，则，；

所以，

设，则，，

由，得，

当且仅当时取等号，即，

所以，解得，此时，；

所以时，M取得最小值为．

22．【答案】（1）a的取值范围为；

（2），解集为；

当，时，不等式的解集；

当，时，不等式的解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

【考点】一元二次不等式及其应用

【解析】（1）因为，不等式的解集为，

故的解集为且的解集为R，

所以的根为，，故，即，，

所以的解集为R，

即恒成立，

所以，解得，

不等式等价于，即，

所以，由题意得，解得，

综上，a的取值范围为；

（2）若，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为，

若，原不等式等价于的解集为且的解集为R，

则，，所以，，

不等式恒成立，

故，解得，

不等式，解得或，

当，时，，，故，，

则不等式无解，

当，时，，，故，，

则不等式，解得，

综上，，解集为；

当，时，不等式的解集；

当，时，不等式的解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．