江西省九江外国语学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份江西省九江外国语学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题，共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，考试范围，所以是直角三角形选B等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（测试时间：120分钟  卷面总分：150分）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。4.考试范围：直线与圆、椭圆、双曲线 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线的倾斜角为，斜率为，若的取值范围是，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．设P是椭圆上一点，P到两焦点的距离之差为2，则是A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形3．已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则的面积为（    ）A． B． C．8 D．164．经过中三个点的圆的方程不可以是（    ）A． B．C． D．5．已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（    ）A．3 B．2 C． D．6．已知两点到直线的距离都等于2.023，则满足条件的直线有（     ）条？A． B． C． D．7．已知在直角坐标系xOy中，点Q(4，0)，O为坐标原点，直线l：上存在点P满足.则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．双曲线：的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．二、多选题：本题共 4 小题,每小题5分,共 20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2分,有选错的得0分9．已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ）A． B．的离心率为C． D．的渐近线方程为10．已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ）A．直线l恒过定点 B．圆M的圆心坐标为C．存在实数k，使得直线l与圆M相切 D．若，直线l被圆M截得的弦长为211．已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（    ）A．椭圆的离心率为 B．的最大值为4C．的最大值为3 D．的最大值为12．以下四个命题表述错误的是（    ）A．直线恒过定点B．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于C．曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为D．已知圆为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．双曲线的渐近线方程为，则       ．14．若直线：经过点，则直线的倾斜角为      .15．已知圆与直线相切，经过点，且被轴截得的弦长为，则圆的方程为      ．16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线左支上一点，是线段上的一点，过点作PM的垂线，垂足为点，若（为坐标原点，且，则        .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知直线和直线.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值.    18．（本小题满分12分）已知直线经过两点，.(1)求直线的方程；(2)圆的圆心在直线上，且过点和，求圆的方程    19．（本小题满分12分）已知圆，直线．(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．20．（本小题满分12分）已知是椭圆两个焦点，且.(1)求此椭圆的方程；(2)设点在椭圆上，且，求的面积.     21．（本小题满分12分）已知双曲线的离心率为2，右焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知点，过点作直线与双曲线相交于两点，若，求直线的方程.    22．（本小题满分12分）已知 的两顶点坐标，．(1)求动点的轨迹的方程；(2)不垂直于轴的动直线与轨迹相交于两点，定点，若直线关于轴对称，求面积的取值范围．
参考答案：1．D【分析】根据斜率与倾斜角的范围，结合已知确定的范围.【详解】由题设且，故.故选：D2．B【详解】试题分析：两焦点分别为：（2，0），（-2，0）．根据椭圆的定义：P到两焦点的距离之和等于 4×2=8 ，又因为 P到两焦点的距离之差为2，可求得，P到两焦点距离分别为 5，3.所以三角形边长分别为3，4，5.所以是直角三角形选B.考点：本题主要考查椭圆的定义，标准方程及几何性质．点评：常见题型，利用椭圆的定义及几何性质，确定三角形边长，以确定其形状．3．A【分析】画出图形，求出的长，就能求出的长，根据求解.【详解】因为圆的圆心，半径为因为是圆的切线，所以，即是以为直角的直角三角形则又因为又因为所以所以故选：A4．B【分析】将点代入各方程判断是否满足圆的方程，即可得答案.【详解】A：在圆上，排除；B：都不在圆上，符合要求；C：在圆上，排除；D：在圆上，排除.故选：B5．D【分析】由面积最大得的位置，从而可求出三角形的三条边，通过，即可求出内切圆的半径.【详解】解析：因为椭圆为，所以a=5，b=3，；当△MF1F2的面积最大时，点M在椭圆C的短轴顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则|MF1|=|MF2|=a=5，|F1F2|=2c=8，|OM|=b=3，，所以，故选:D.【点睛】关键点睛:本题的关键是结合三角形面积的两种求法，得关于内切圆半径的方程，从而求出半径.6．D【分析】根据给定条件，判断分别以点A，B为圆心，为半径的两个圆的位置关系，确定两圆的公切线条数作答.【详解】因点到直线的距离等于，则直线与以点A为圆心，为半径的圆A相切，同理直线与以点为圆心，为半径的圆B相切，因此直线是圆A与圆B的公切线，而，即圆A与圆B外离，则圆A与圆B有4条公切线，所以满足条件的直线有4条.故选：D7．A【分析】根据给定直线设出点P的坐标，再借助列出关于的不等式，然后由不等式有解即可计算作答.【详解】因点P在直线l：上，则设，于是有，而，因此，，即，依题意，上述关于的一元二次不等式有实数解，从而有，解得，所以实数m的取值范围是.故选：A8．B【分析】由题意求得，的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由，，的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值.【详解】解：由题意可得，，设，由双曲线的定义可得，，，则的周长为，当且仅当，，共线，取得最小值，且为，由题意可得，即，，则，故选：B.9．AB【分析】根据方程可得的值，结合选项可得答案.【详解】在中，，，，，A正确；的离心率，B正确；由双曲线的定义或，C错误；的渐近线方程为，即，D错误.故选：AB．10．AB【分析】A选项，将直线方程变形后得到，求出恒过的定点；B选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；C选项，令圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；D选项，当时，求出圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.【详解】变形为，故恒过定点，A正确；变形为，圆心坐标为，B正确；令圆心到直线的距离，整理得：，由可得，方程无解，故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误；若，直线方程为，圆心在直线上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.故选：AB11．BCD【分析】由椭圆方程求出离心率可判断A；由基本不等式可判断B；由向量数量积的坐标运算可判断C；当点为短轴的端点时，取得最大值，求出可判断D.【详解】由椭圆方程得，，，因此，，选项A中，，，故，A错误；选项B中，，当且仅当时取等号，B正确；选项C中，令，则，故C正确；选项D中，当点为短轴的端点时，取得最大值，此时，则，，的最大值为，D正确.故选：BCD.  12．BD【分析】A选项，变形后得到，求出定点；B选项，求出圆心到直线的距离，结合圆心和半径，数形结合得到有且仅有3个点符合题意；C选项，根据公切线条数得到两圆的位置关系，结合圆心距列出不等式，求出答案；D选项，数形结合得到当取得最小值时，取得最小值，利用点到直线距离公式得到答案.【详解】A选项，变形得到，故，解得，所以恒过定点，A表述正确；B选项，圆的圆心到直线的距离，因为圆的半径为，故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于，B表述错误；C选项，曲线与恰有四条公切线，故圆与圆相离，其中变形为，圆心为，半径为1，变形为，圆心为，半径为，故，解得，故圆心距为，所以，解得，则实数的取值范围为，C表述正确；D选项，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，故过点向圆引条切线，有，所以当取得最小值时，取得最小值，的最小值为，故最小值为，D表述错误.故选：BD13．3【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】的渐近线方程为，所以，故答案为：314．【分析】化简点点坐标，代入直线方程求出斜率，再由斜率求出倾斜角.【详解】化简得，因为经过点，所以，解得，则，又，所以.故答案为.【点睛】本题考查点与直线的关系，考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题.15．或【分析】设圆的标准方程，由条件建立方程，解方程即可.【详解】由题意可设圆的标准方程为，因为圆与直线相切，则有，因为圆被轴截得的弦长为，则，解得，则．又圆经过点，则，则，解得所以圆的方程为．故答案为：或16．【分析】根据已知条件易得为角平分线，延长交于点，则为的垂直平分线，进而有为中点，，为中位线即，结合双曲线定义即可得结果.【详解】由，则，所以，在△中，即为角平分线，由，延长交于点，故为的垂直平分线，则，即为中点，且，又为中点，故△中为中位线，故，而，故.故答案为：17．(1)0或2(2) 【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.【详解】（1）若，则，解得或2；（2）若，则，解得或1.时，，满足，时，，此时与重合，所以.18．（1）；（2）.【分析】（1）求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程；（2）设圆心为，圆的方程为，根据圆过点和，即可得到方程组，求出，即可求圆的方程．【详解】解：（1）因为直线经过两点，.所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即；（2）圆的圆心在直线上，设圆心为，则圆的方程为过点和，，即，解得，所以，圆的方程．19．(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论；（2）当直线l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.【详解】（1）直线化为，则，解得，所以直线 l 恒过定点，圆心，半径，又因，所以点在圆C内，所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（2）当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，最短弦长为，，所以直线 l 的斜率为2，即，解得，所以直线 l 的方程为.20．（1）此椭圆的方程为；（2）的面积为.【分析】（1）由已知条件求出椭圆中即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出的值，运用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为是椭圆两个焦点，所以，①又因为，②所以由①②可得，所以此椭圆的方程为.（2）设，由椭圆定义可知，③在中，由余弦定理得，即，④由③④式可得，，所以.即的面积为.21．(1)(2)，或. 【分析】（1）先利用焦点到渐近线的距离求得，再根据离心率求得，从而求出双曲线方程；（2）分类讨论，当直线的斜率为0时，满足题意，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与双曲线联立，韦达定理，结合及点在直线上求解方程即可.【详解】（1）由题知，双曲线的一条斩近线为，则，又，所以，所以双曲线的方程为.（2）由（1）知，，，由题易知直线的斜率存在，当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时直线与双曲线的交点为和，满足，符合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，线段的中点为，联立，整理得，所以，即，所以，，，，因为，所以，所以，所以，又点在直线上，所以，所以，解得或，满足，所以直线的方程为或.综上，直线的方程为，或.  22．(1)；(2). 【分析】（1）变形给定等式，利用正弦定理结合椭圆的定义确定轨迹，再求出轨迹方程作答.（2）联立直线与椭圆的方程，由韦达定理，结合斜率公式可得直线经过定点，进而由面积公式，结合对勾函数的性质即可求解.【详解】（1）在中，由，得，由正弦定理得，因此动点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆（点外），显然此椭圆半焦距，短半轴长，所以动点的轨迹的方程为．（2）依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为， 点，由消去x并整理得：，，化为，，由直线关于轴对称，得直线的斜率互为相反数，即，且，则，即，于是，化简得，即有，满足，因此直线经过定点，则面积，令，函数在上单调递增，于是，即，从而，所以面积的取值范围是.【点睛】策略点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.