浙江省江浙高中发展共同体2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题

2023学年第一学期江浙高中（县中）发展共同体高三年级10月联考

数学

考生须知：

1.本试卷共4页，22小题.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上；

3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效；

4.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹签字笔或钢笔描黑.

一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，则（    ）

A.    B.

C.    D.

2.已知复数满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.在的展开式中，含项的系数为（    ）

A.-20    B.20    C.-15    D.15
4.若函数有极大值，则（    ）

A.    B.

C.    D.

5.已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.记为等比数列的前项和，若，则（    ）

A.6    B.    C.    D.18
7.漏刻是中国古代的一种计时系统，“漏”是指计时器——漏壶，“刻”是指时间，《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器，如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0，当最上层漏水壶中水全部漏完时，浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5：3，则当最上层漏水壶水面下降到其高度的一半时，浮箭刻度约为（    ）（四舍五入精确到个位）

A.38    B.60    C.61    D.62
8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数和在上都恰有两个极值点，则正整数的最小值为（    ）

A.7    B.8    C.9    D.10
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.袋中有3个大小､形状完全相同的小球，其中1个黑球2个白球.从袋中不放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为；从袋中有放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为，则（    ）

A.随机变量的可能取值为0或1

B.随机变量的可能取值为0或1

C.随机事件的概率与随机事件的概率相等

D.随机变量的数学期望与随机变量的数学期望相等

10.已知正三棱柱分别为棱的中点，则（    ）

A.    B.面

C.    D.面

11.已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为.直线与没有公共点，直线经过点.则（    ）

A.    B.与有两个公共点

C.以为直径的圆与轴相离    D.小于

12.已知是定义在上的奇函数，，设函数，若是偶函数，则（    ）

A.    B.

C.    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13.设圆，直线经过原点且将圆分成两部分，则直线的方程为__________.

14.在中，，，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，则__________.

15.已知，则__________.

16.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）

四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）为研究农药对农作物成长的功效，在甲､乙两块试验田播种同一种农作物，甲试验田喷洒农药，乙试验田没有喷洒农药，经过一段时间后，从甲､乙两块试验田各随机选取100株幼苗，统计200株幼苗高度（单位：cm）如下表：

（1）分别求甲､乙两块试验田中幼苗的平均高度的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；

（2）分别统计样本中甲､乙两块试验田幼苗高度小于和不小于的株数，完成下列联表，并依据小概率的独立性检验，分析是否喷洒农药与幼苗生长的高度有关联？

附：

，其中

18.（本题满分12分）记是数列的前项和，已知，且.

（1）记，求数列的通项公式；

（2）求.

19.（本题满分12分）在中，角所对的边分别为，，且有，求

（1）；

（2）的最大值.

20.（本题满分12分）如图，三棱锥中，平面是空间中一点，且平面.

（1）证明：平面；

（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.

21.（本题满分12分）已知函数.（e为自然对数的底）

（1）若曲线在处的切线与曲线也相切，求；

（2），求的取值范围.

22.（本题满分12分）已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为.

（1）求的方程；

（2）是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.

2023学年第一学期江浙高中（县中）发展共同体高三年级10月联考

数学参考答案

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】C    2.【答案】B    3.【答案】A    4.【答案】B

5.【答案】C

【解析】因为，所以，

所以，所以向量在向量上的投影向量为，故选C.

6.【答案】D

【解析】设公比为，则，显然，所以，

因为，所以，所以.

7.【答案】D

【解析】由题意，最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为，，高为，则体积为

当最上层漏水壶水面下降到高度的一半时，设此时浮箭刻度为，因为已漏水体积

所以，

8.【答案】B

【解法1】当时，，因为曲线在上恰有两个极值点，

所以，解得.

当时，，因为，所以，在内只有一个极值点，不合；

当时，，因为，所以，在内有两个极值点：，满足题意.所以选B.

【解法2】当时，，因为曲线在上恰有两个极值点，

所以，解得.①

由题意，，当时，，

由①知，，又函数在上恰有两个极值点，

所以，解得.②

由①和②得，的取值范围是.选B.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】AD

10.【答案】BD

【解析】对于，显然与异面，故错误；

对于B，取中点，连结，易证面面，所以面，故B正确；对于，假设，则垂直平分，设，则，易算得，因为，这与垂直平分矛盾，故C错误；

对于D，可证，所以，又面，所以，所以面，故D正确.

综上，本题选BD.

11.【答案】ACD

【解析】联立直线与抛物线方程，消去得，

，因为直线与没有公开点，

所以，所以，故点位于抛物线内部.

对于A，因为，且，所以，故A正确；

对于B，当直线平行于轴时，与有唯一公共点；当直线与轴不平行时，与有两个公共点，故B错误；

对于C，延长交于点，则以为直径的圆与轴相切，因为以为直径的圆与圆内切，切点为，且圆半径较小，所以圆与轴相离，故C正确；

对于，过点与相切的切线斜率为1，倾斜角为，又点是位于内部的一点，所以小于，故D正确.综上，

本题选ACD.

12.【答案】AC

【解析】因为是上的奇函数，所以，且也是上的奇函数，

因为是偶函数，所以，所以是以4为周期的周期函数.

因为周期为4，所以也是以4为周期的周期函数.

对于A，因为，令得，故A正确；

对于，故B错误；

对于C，，所以，故C正确；

对于D，因为，故；

；同理

所以，

所以，故D错误.

综上，本题选.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13.【答案】，或

14.【答案】

【解析】设，则，

，所以.

15.【答案】

【解析】因为，所以，

又，所以，

因为，所以.

16.【答案】336

【解析】分两种情形：

①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种两个，另一种一个，有种排法；其次，后排有种排法，故共有48种不同的排法；

②前排含有三种不同名称的吉祥物，有种排法.

因此，共有336种排法.

四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.解析：（1）样本平均数为：，

所以估计甲块试验田中幼苗的平均高度为；估计乙块试验田中幼苗的平均高度为10.1.

（2）列联表为：

零假设为

：喷洒农药与幼苗生长的高度无关联.

根据列联表中数据，可得

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喷洒农药与幼苗生长的高度有关联，此推断犯错的概率不大于0.01.

18.解析：因为，①

所以，②

②-①得，，

因为，所以，

所以数列的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列，

（1）令代入，得，由，得，

所以，

所以数列是公差为4，首项为5的等差数列，其通项公式为

（2）当为奇数时，，当为偶数时，，

所以

19.解：（1）因为，

所以，

化简得，

所以.

又因为，

所以.

（2）法一：

由（1）可知，，所以，

所以，当时，，

所以的最大值为.

法二：由余弦定理得：，

由基本不等式得：，当且仅当，等号成立，所以，所以的最大值为.

20.（1）证明：过点作，垂足为，

因为面面，所以，

因为面，

所以面，

因为面，所以，

因为面面，

所以面.

（2）解：设，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，

则，

又，

由（1）设，

设平面的一个法向量，

则，

令，则，所以，

同理可求得平面的一个法向量，

设平面与平面的夹角为，

则，

所平面与平面的夹角的余弦值为.

21.解析：（1）因为，所以，

所以曲线在处的切线的方程为

设直线与与曲线切于点，

则直线方程为：，即

所以，所以，

因为，所以.

综上，的值为

（2）因为，

当时，在上递增，

；满足题意；

当时，设，

因为，所以在上递增，

又

所以存在，使得，

当时，，即递减.

所以，故不符合.

所以的取值范围为.

22.【解析】（1）因为的离心率为，所以，

所以，渐近线方程，

因为点到一条渐近线距离为，所以，解得，

所以的方程为.

（2）直线与圆相交，理由如下：

设，则，

因为点在以为直径的圆上，所以，

所以，

即，

由（1）得，直线方程为：与双曲线方程联立，消去得，，因为直线与都有除以外的公共点，所以，

所以，即，

同理当时，.

，

所以直线方程为：，

令得，，

即直线经过定点.

因为，

所以点在圆内，故直线与圆相交.