2024湖北省宜荆荆随高三上学期10月联考数学试题含解析

2023年宜荆荆随高三10月联考

高三数学试卷

考试时间：2023年10月4日下午15：00-17：00 试卷满分：150分

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

一､选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. “”是“复数为纯虚数”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 公差不为零的等差数列的前为项和为，若，则（    ）

A. 8 B. 12 C. 16 D. 9

4. 已知为钝角，，则（    ）

A.  B.  C. 7 D.

5. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知均为正数，且，则的最小值为（    ）

A. 11 B. 13 C. 10 D. 12

7. 已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 为三个互异的正数，满足，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B.

C. 是图象的一条对称轴

D. 将图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称

10. 下列命题中，正确的是（    ）

A. 已知随机变量服从正态分布，若，则

B. 已知，则

C. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强

D. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差

11. 已知是抛物线上三个不同的点，的焦点是的重心，则（    ）

A. 的准线方程是

B. 过的焦点的最短弦长为8

C. 以为直径的圆与准线相离

D. 线段的长为19

12. 如图，长方体中，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（    ）

A. 的取值范围是

B. 若与平面所成的角为，则

C. 的最小值为

D. 若三棱锥的外接球表面积为，则

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________.

14. 暑期安排包括大睿和小涛在内的7名学生去参加A，B，C三个夏令营，其中营安排3人，B，C各安排2人，要求大睿和小涛不能在同一夏令营，则不同的安排方案有__________种.

15. 已知定义在上的函数的导函数为，满足，，则不等式的解集为__________.

16. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为__________.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知分别是的三个内角的对边，且.

（1）求角；

（2）若在边上且，求面积的最大值.

18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为线段的中点，为线段上的动点.

（1）求证：平面平面；

（2）试求的长，使平面与平面所成的锐二面角为.

19 已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，若，且对任意恒成立，求实数的取值范围.

20. 已知数列的前项和为，且满足：

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.

21. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只.

（1）填写完成上面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.

（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有60只小白鼠产生抗体.

（i）用频率估计概率，求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体的概率；

（ii）以（i）中确定的概率作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，现有40人进行接种试验，设最多注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量，当时，取得最大值，求.

参考公式：（其中为样本容量）

22. 已知双曲线离心率为2，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和的面积为.

（1）求曲线的方程；