江苏省无锡市2023—2024学年上学期第一次月考模拟检测八年级数学试卷

这是一份江苏省无锡市2023—2024学年上学期第一次月考模拟检测八年级数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题请把答案直接填写在横线上等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省无锡市八年级数学上第一次月考模拟检测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（　　）
A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m
3．如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：
①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C＝30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD＝AC
其中正确的有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，已知AB＝AC，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点O，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BD＝CE D．BE＝CD
5．下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形全等
B．角不是轴对称图形
C．全等的两个三角形一定成轴对称
D．等腰三角形的底角必小于90°
6．（2019春•应城市期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG＝56°，则∠BEG等于（　　）

A．112° B．88° C．68° D．56°
7．（2022秋•西城区校级期中）如图，点A，C，D，E在Rt△MON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OE＝6，BH＝3，DF＝4，图中阴影部分的面积为（　　）

A．50 B．60 C．66 D．80
8．（2020•新华区校级模拟）在△ABC中，AC＝6、BC＝8，AB＝10，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，设PC＝x，下列作图方法中，不能求出PC的长的作图是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
10．（2022春•东源县校级期中）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，点F在AB上，∠EDF＝120°．若AB＝5，则BE+BF的长度为（　　）

A．7.5 B．8 C．8.5 D．9
评卷人
得 分


二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•镇江期中）一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是 　 　cm．
12．（2021秋•简阳市 月考）如图，△AOC≌△BOD，则∠A＝　 　，OA＝　 　．

13．（2021秋•中山市期末）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则∠B＝　 　．
14．（2022秋•武汉期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝　 　°．

15．（2022秋•香坊区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB上，AD＝AC，且∠BCD＝∠A，如果△BCD的面积是16，那么CD的长为 　 　．

16．（2023春•魏都区校级期中）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动　 　秒时，△ACP是直角三角形．

17．（2023春•薛城区期中）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC和△A′B′C′的顶点都在格点上，且△A′B′C′是由△ABC先向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到的，则m﹣n的值为 　 　．

18．（2022秋•锡山区校级月考）如图，∠MON＝90°，已知△ABC的面积为60，且AC＝BC，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 　 　．

评卷人
得 分


三.解答题（本大题共9小题，共76分）.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（6分）（2021秋•徐闻县期中）已知一个等腰三角形的周长是12cm，其中一边长是2cm，求另外两边的长．






20．（8分）（2023春•梅江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）运动　 　秒时，AE＝DC；
（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝　 　（用含α的式子表示）．





21．（8分）（2023春•砀山县校级期末）如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠C＝30°，求∠ABC的度数．
​








22．（8分）（2021秋•高邮市期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有 　 　个；
（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．





23．（8分）（2021•上城区二模）如图，已知△ABC．
（1）用直尺和圆规作一点D，使∠ADB＝∠C．
（2）在（1）的条件下，当∠C＝120°，AB＝3时，求点D到线段AB的最大距离，并说明理由．








24．（8分）（2021春•开州区校级期中）已知：如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，EC＝DC，BD⊥AD于点D，AD交BC于点F，点A、E、D三点共线，连接BD．
（1）若∠ACE＝∠BCD，AD＝8，BD＝AD，求DE的长；
（2）若∠ACB＝∠ECD＝90°，且BD＝CE，求证：BC＝AB﹣CF．


25．（8分）（2019秋•北仑区期末）已知，如图，点P是等边△ABC内一点，以线段AP为边向右边作等边△APQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB＝QC；
（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．

26．（10分）（2022秋•重庆期末）△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．
（1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°；
（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论；
（3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC．



27．（12分）（2020秋•开福区校级月考）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．
①请用含t的式子表示CM＝　 　，BM＝　 　；
②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？
（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少？（直接写出答案）




2023-2024学年江苏省无锡市八年级数学上第一次月考模拟检测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（　　）
A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m
解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，
∴点P到OB的距离等于m，
∵点Q是OB边上的一个动点，
∴PQ≥m．
故选：D．
3．如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：
①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C＝30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD＝AC
其中正确的有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
解：①∵△ADB≌△EDB，
∴∠ABD＝∠EBD，
∴BD是∠ABE的平分线，故①正确；
②∵△BDE≌△CDE，
∴BD＝CD，BE＝CE，
∴DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∵△ADB≌△EDB，
∴∠A＝∠BED＝90°，
∴AB⊥AD，
∵A、D、C可能不在同一直线上
∴AB可能不垂直于AC，故②不正确；
③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，
∴∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，
∵∠A＝90°
若A、D、C不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，
∴∠C≠30°，故③不正确；
④∵△BDE≌△CDE，
∴BE＝CE，
∴线段DE是△BDC的中线，故④正确；
⑤∵△BDE≌△CDE，
∴BD＝CD，
若A、D、C不在同一直线上，则AD+CD＞AC，
∴AD+BD＞AC，故⑤不正确．
故选：A．
4．如图，已知AB＝AC，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点O，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BD＝CE D．BE＝CD
解：A、当∠B＝∠C时，利用ASA定理可以判定△ABE≌△ACD；
B、当AE＝AD时，利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；
C、当BD＝CE时，得到AD＝AE，
利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；
D、当BE＝CD时，不能判定△ABE≌△ACD；
故选：D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形全等
B．角不是轴对称图形
C．全等的两个三角形一定成轴对称
D．等腰三角形的底角必小于90°
解：A．形状和大小相同的两个三角形全等，原说法错误，故本选项不合题意；
B．角是轴对称图形，原说法错误，故本选项不合题意；
C．全等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误，故本选项不合题意；
D．等腰三角形的底角必小于90°，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
6．（2019春•应城市期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD于点G，已知∠EFG＝56°，则∠BEG等于（　　）

A．112° B．88° C．68° D．56°
解：∵AD∥BC，∠EFG＝56°，
∴∠EFG＝∠EFC＝56°，
由折叠的性质可知，∠EFC＝∠FEG，
∴∠GEC＝∠EFC+∠FEG＝112°，
∴∠BEG＝68°，
故选：C．
7．（2022秋•西城区校级期中）如图，点A，C，D，E在Rt△MON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OE＝6，BH＝3，DF＝4，图中阴影部分的面积为（　　）

A．50 B．60 C．66 D．80
解：∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠EAO+∠BAH＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠BAH＝∠AEO，
∵BH⊥ON，
∴∠BHA＝90°，
在△AEO和△BAH中，
，
∴△AEO≌△BAH（AAS），
∴AO＝BH＝3，AH＝EO＝6，
同理△BCH≌△CDF（AAS），
∴CH＝DF＝4，BH＝CF＝3，
∴OF＝OA+AH+CH+CF＝3+6+4+3＝16，
∵梯形DEOF的面积＝（OE+DF）•OF＝×（6+4）×16＝80，
S△AEO＝S△ABH＝AO•OE＝×3×6＝9，
S△BCH＝S△CDF＝CH•BH＝×4×3＝6，
∴图中阴影部分的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50，
故选：A．
8．（2020•新华区校级模拟）在△ABC中，AC＝6、BC＝8，AB＝10，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，设PC＝x，下列作图方法中，不能求出PC的长的作图是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、由题意PC＝BC﹣PB＝BC﹣（AB﹣AC）＝8﹣（10﹣6）＝4．
B、连接PA，由题意PA＝PB，设，PA＝PB＝x．

∵AC＝6、BC＝8，AB＝10，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴PA2＝AC2+PC2，
∴x2＝（8﹣x）2+62，
∴x＝，
∴PC＝BC﹣PB＝8﹣＝．
C、作PH⊥AB于H．

由题意，PA平分∠BAC，
∵PH⊥AB，PC⊥AC，
∴PH＝PC，设PH＝PC＝x，
∵S△ABC＝S△ABP+S△APC，
∴•AC•BC＝•AB•PH+•AC•PC，
∴6×8＝10x+6x，
∴x＝3，
∴PC＝3，
故A，B，C中，PC能确定，
故选：D．
9．（2020秋•罗湖区校级期末）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
解：∵在△DAE和△CAB中，
∴△DAE≌△CAB（SAS），
∴∠1＝∠AED，
∵∠AED+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：D．
10．（2022春•东源县校级期中）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，点F在AB上，∠EDF＝120°．若AB＝5，则BE+BF的长度为（　　）

A．7.5 B．8 C．8.5 D．9
解：作DG∥BC交AB于点G，则∠AGD＝∠B，∠ADG＝∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝5，
∴∠AGD＝∠B＝∠ACG＝∠ADG＝∠A＝60°，
∴△AGD是等边三角形，∠DGF＝∠DCE＝∠CDG＝180°﹣60°＝120°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠GDF＝∠CDE＝120°﹣∠CDF，
∵D是AC的中点，
∴AG＝DG＝DA＝DC＝AC＝×5＝2.5，
∴BG＝AB﹣AG＝5﹣2.5＝2.5，
在△DGF和△DCE中，
，
∴△DGF≌△DCE（ASA），
∴GF＝CE，
∴BE+BF＝BC+CE+BF＝BC+GF+BF＝BC+BG＝5+2.5＝7.5，
故选：A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•镇江期中）一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是 　17或19　cm．
解：分两种情况：
当腰为5时，5+5＞7，所以能构成三角形，周长是：5+5+7＝17．
当腰为7时，5+7＞7，所以能构成三角形，周长是：5+7+7＝19．
故答案为：17或19．
12．（2021秋•简阳市 月考）如图，△AOC≌△BOD，则∠A＝　∠B　，OA＝　OB　．

解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠A＝∠B，OA＝OB．
故答案为：∠B，OB．
13．（2021秋•中山市期末）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则∠B＝　66°或24°　．
解：当△ABC为锐角三角形时，
如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，

∵∠ADE＝40°，DE⊥AB，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝66°；
当△ABC为钝角三角形时，
如图2，设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，

∵∠ADE＝42°，DE⊥AB，
∴∠DAB＝48°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠C＝∠DAB，
∴∠B＝24°；
综上可知∠B的度数为66°或24°，
故答案为：66°或24°．
14．（2022秋•武汉期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝　135　°．

解：如图，在△ABC和△EGA中，，
∴△ABC≌△EGA（SAS），
∴∠3＝∠BAC，
在Rt△ABC中，∠BAC+∠1＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
由图可知，△ABD是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．

15．（2022秋•香坊区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB上，AD＝AC，且∠BCD＝∠A，如果△BCD的面积是16，那么CD的长为 　8　．

解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，交CD的延长线于点F，

∴∠AEC＝∠BFC＝90°，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴∠CAE＝∠CAD，CE＝DE＝CD，
∵∠BCD＝∠CAD，
∴∠CAE＝∠BCD，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CE＝BF＝CD，
∵△BCD的面积是16，
∴CD•BF＝16，
∴CD•CD＝16，
∴CD＝8或CD＝﹣8（舍去），
故答案为：8．
16．（2023春•魏都区校级期中）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动　1.75或4　秒时，△ACP是直角三角形．

解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5cm，
∴BD＝CD＝BC＝4（cm），
∴AD＝＝＝3（cm），
分两种情况：
①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，

则PB＝t，PC＝8﹣t，
∵AP2＝PC2﹣AC2＝PD2+AD2，
∴（8﹣t）2﹣52＝（4﹣t）2+32，
解得：t＝1.75s；
②当AP⊥BC时，如图2，

∵AB＝AC，
∴PB＝PC＝BC＝4（cm），
∴t＝4s，
综上所述，当P运动1.75s或4s秒时，△ACP是直角三角形，
故答案为：1.75或4．
17．（2023春•薛城区期中）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC和△A′B′C′的顶点都在格点上，且△A′B′C′是由△ABC先向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到的，则m﹣n的值为 　1　．

解：△A′B′C′是由△ABC向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到的，
所以m＝3，n＝2，
则m﹣n＝1，
故答案为：1．
18．（2022秋•锡山区校级月考）如图，∠MON＝90°，已知△ABC的面积为60，且AC＝BC，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 　7　．

解：如图，作CD⊥AB于点D，连接OD、OC，
∵AC＝BC，AB＝10，
∴AD＝BD，
∵∠MON＝90°，点A、B分别在边OM、ON上，
∴∠AOB＝90°，
∴OD＝AB＝5，
∵S△ABC＝60，
∴AB•CD＝60，
∴×10CD＝60，
∴CD＝12，
∵OC+OD≥CD，
∴OC+5≥12，
∴OC≥7，
∴OC的最小值为7，
∴点C到点O的最小距离为7，
故答案为：7．

三.解答题（本大题共9小题，共76分）.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（6分）（2021秋•徐闻县期中）已知一个等腰三角形的周长是12cm，其中一边长是2cm，求另外两边的长．
解：①若底边长为2cm，则腰长为×（12﹣2）＝5cm，即另外两边的长为5cm，5cm，能构成三角形；
②腰长为2cm，则另外两边的长为：2cm，8cm，
∵2+2＝4＜8，故不能构成三角形．
综上所述，另外两边的长为5cm，5cm．
20．（8分）（2023春•梅江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）运动　3　秒时，AE＝DC；
（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝　90°﹣α　（用含α的式子表示）．

解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，
∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，
∴当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），
解得t＝3，
故答案为：3；

（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，
∴12﹣2t＝8，
解得t＝2，
∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；

（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，
又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，
∴∠ADE＝∠B，
又∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．
故答案为：90°﹣α．

21．（8分）（2023春•砀山县校级期末）如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠C＝30°，求∠ABC的度数．
​

（1）证明：如图，连接BD，
∵BF⊥AC，F为线段AD的中点，
∴BF垂直平分AD，
∴AB＝BD．
∵DE是边BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴AB＝CD；
（2）解：∵BD＝CD，∠C＝30°，
∴∠CBD＝∠C＝30°，
∴∠ADB＝∠CBD+∠C＝30°+30°＝60°，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣30°＝90°．

22．（8分）（2021秋•高邮市期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点A、B的距离相等（PA＝PB），则网格中满足条件的点P共有 　4　个；
（3）在直线l上找一点Q，使QB+QC的值最小．

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．

（2）如图，满足条件的点P有4个，
故答案为4．
（3）如图点Q即为所求．
23．（8分）（2021•上城区二模）如图，已知△ABC．
（1）用直尺和圆规作一点D，使∠ADB＝∠C．
（2）在（1）的条件下，当∠C＝120°，AB＝3时，求点D到线段AB的最大距离，并说明理由．

解：（1）如图，点D为所作；

（2）当D点为的中点时，D点到AB的距离最大．
连接OD交AB于E，如图，
∵＝，
∴OD⊥AB，AD＝BD，
∴AE＝BE＝，
∵∠ADB＝∠ACB＝120°，
∴∠DAB＝30°，
∴DE＝AE＝×＝．
24．（8分）（2021春•开州区校级期中）已知：如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，EC＝DC，BD⊥AD于点D，AD交BC于点F，点A、E、D三点共线，连接BD．
（1）若∠ACE＝∠BCD，AD＝8，BD＝AD，求DE的长；
（2）若∠ACB＝∠ECD＝90°，且BD＝CE，求证：BC＝AB﹣CF．

解：（1）在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴AE＝BD，
∵BD＝AD，AD＝8，
∴BD＝，
∴AE＝，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣＝．
（2）证明：延长AC、BD，它们相交于点H，如图，

∵CE＝BD，
而CE＝CD，
∴BD＝CD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵∠H+∠CBH＝90°，∠CHD+∠DCB＝90°，
∴∠H＝∠HCD，
∴CD＝HD，
∴DH＝DB，
而AD⊥BH，
∴AB＝AH，
∵∠ACF＝∠ADB＝90°，∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAF＝∠CBH，
在△ACF和△BCH中，
，
∴△ACF≌△BCH（ASA），
∴CF＝CH，
∴AB＝AC+CH＝AC+CF，
∵AC＝BC，
∴BC＝AB﹣CF．
25．（8分）（2019秋•北仑区期末）已知，如图，点P是等边△ABC内一点，以线段AP为边向右边作等边△APQ，连接PQ、QC．
（1）求证：PB＝QC；
（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．

（1）证明：∵△APQ是等边三角形，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴PB＝QC；

（2）解：∵△APQ是等边三角形，
∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，
∵∠APB＝150°，
∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°，
∵PB＝QC，
∴QC＝4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC＝＝＝5．
26．（10分）（2022秋•重庆期末）△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°．
（1）如图1，当D，B，C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CFA＝90°；
（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F，猜想∠CFA的大小并证明你的结论；
（3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），CE与AB交于点G，∠BAD＝∠ACE，求证：BG+AB＝AC．


（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠BAD+∠AFE+∠FEA＝∠BCE+∠ABC+∠BEC＝180°，
又∵∠FEA＝∠BEC，
∴∠CFA＝∠ABC＝90°．
（2）解：∠CFA＝90°．
理由如下：
同理可证△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∴∠CFA＝∠ABC＝90°．
（3）过点G作GH⊥AC于点H，同（2）可知∠BAD＝∠BCE，

∵∠BAD＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵AB⊥BC，GH⊥AC，
∴BG＝GH，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠AGH＝45°，
∴GH＝AH，
∴AH＝BG，
在Rt△BCG和Rt△HCG中，
，
∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL），
∴BC＝CH，
∴AC＝AH+CH＝BG+BC＝BG+AB．
27．（12分）（2020秋•开福区校级月考）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．
①请用含t的式子表示CM＝　3t（厘米）　，BM＝　（10﹣3t）（厘米）　；
②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？
（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少？（直接写出答案）

解：（1）①∵点M以3厘米/秒的速度运动，BC＝10厘米，
∴CM＝3t（厘米），BM＝（10﹣3t）（厘米），
故答案为：3t（厘米），（10﹣3t）（厘米）；
②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：
Ⅰ．当∠NMB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴BN＝2BM，
∴3t＝2×（10﹣3t），
∴；
Ⅱ．当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴BM＝2BN，
∴10﹣3t＝2×3t，
∴，
∴当或时，△BMN是直角三角形；
（2）分两种情况讨论：
I．若点M运动速度快，则3×25﹣10＝25VN，
解得VN＝2.6；
Ⅱ．若点N运动速度快，则25VN﹣20＝3×25，
解得VN＝3.8．
∴点N的运动速度是2.6厘米/秒或3.8厘米/秒