安徽省六安市金安区毛坦厂中学实验学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份安徽省六安市金安区毛坦厂中学实验学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年安徽省六安市金安区毛坦厂中学实验学校九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、单选题
1．下列函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝2x（x+1） D．y＝﹣
2．抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
3．如图，已知点P是双曲线上任意一点，过点P作PA⊥y轴于点A，B是x轴上一点，连接AB、PB，若△PAB的面积为2，则双曲线的解析式为（　　）

A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
4．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（　　）
A． B．
C． D．
5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与y轴交于点（0，1），则下列结论中正确的是（　　）

A．b＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．a﹣b+c＜0
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
6．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y＝﹣5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（　　）
A．90元，4500元 B．80元，4500元
C．90元，4000元 D．80元，4000元
7．已知点A（﹣2，a），B（，b），C（，c）都在二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，那么a、b、c的大小是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a
8．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象过点（3，0），方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（　　）

A．4 B．4 C．5 D．5
10．如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题
11．将二次函数y＝x2+2x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是 　 　．
12．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y元，设平均每次降价的百分率是x，则y关于x的函数表达式为 　 　．
13．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B．平移直线y＝kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是　 　．

14．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）此二次函数的对称轴为直线x＝　 　；
（2）已知点P（t，m）和Q（1，n）在此函数的图象上，若m≤n，则t的取值范围是 　 　；
三、解答题
15．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点（﹣1，0）和（3，0），求其函数解析式并通过配方法求出函数的最大值．
16．已知抛物线y＝﹣2x2+4x+6与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）求线段AB的长．
17．已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．

18．如图，一次函数y1＝﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2＝图象的一个交点为M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B到直线OM的距离．

19．某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为y＝ax2+bx，当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式；
（2）当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件．
20．若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数y1，y2，且y1＝a（x﹣m）2+4（m＞0），y1，y2的“生成函数”为：y＝x2+4x+14；当x＝m时，y2＝15；二次函数y2的图象的顶点坐标为（2，k）．
（1）求m的值；
（2）求二次函数y1，y2的解析式．
21．如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；
（3）若要求0.5≤x≤1，求改造后油菜花田地所占面积的最大值．

22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m（x≥0）的顶点为A，与y轴相交于点B．
（1）点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　；（用含m的式子表示）
（2）设抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m（x≥0）的函数图象最高点的纵坐标为n．
①当m＝1时，n＝　 　；当m＝﹣1时，n＝　 　；
②写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
23．小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P．已知篮球运动时的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝﹣x2+x+c．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC＝2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB．



参考答案
一、单选题
1．下列函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝2x（x+1） D．y＝﹣
【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．根据定义进行判断即可．
解：A．不含有x的二次项，所以A不符合题意；
B．化简后y＝2x+1，不含有x的二次项，所以B不符合题意；
C．符合题意；
D．y＝﹣2x﹣2，不含有x的二次项，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解决本题的关键．
2．抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．
解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．
3．如图，已知点P是双曲线上任意一点，过点P作PA⊥y轴于点A，B是x轴上一点，连接AB、PB，若△PAB的面积为2，则双曲线的解析式为（　　）

A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【分析】连接OP，根据平行线的判定定理得到AP∥OB，求得S△APO＝S△ABP＝2，设双曲线的解析式为y＝，于是得到结论．
解：连接OP，
∵PA⊥y轴于点A，OB⊥y轴，
∴AP∥OB，
∴S△APO＝S△ABP＝2，
设双曲线的解析式为y＝，
∴k＝﹣4，
∴双曲线的解析式为y＝﹣，
故选：C．

【点评】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．
4．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况进行讨论：k＞0与k＜0进行讨论即可．
解：当k＞0时，函数y＝kx﹣2的图象经过一、三、四象限；函数y＝kx2的开口向上，对称轴在y轴上；
当k＜0时，函数y＝kx﹣2的图象经过二、三、四象限；函数y＝kx2的开口向下，对称轴在y轴上，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系以及一次函数的图象，是基础知识要熟练掌握．
5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与y轴交于点（0，1），则下列结论中正确的是（　　）

A．b＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．a﹣b+c＜0
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据抛物线的对称轴位置及开口方向可判断b的符号，即可判断选项A；根据抛物线与x轴交点的个数可判断选项B；当x＝﹣1时，利用y的值判断选项C；结合对称轴及二次函数的增减性判断选项D．
解：选项A，∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，即b＝2a．
∴b＞0．故选项A错误；
选项B，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根．
∴b2﹣4ac＞0．故选项B错误；
选项C，由题图可知，当x＝﹣1时，抛物线有最低点，且在x轴下方，
∴二次函数有最小值，且y最小＜0．
∴当x＝﹣1时，二次函数的值y＝a﹣b+c＜0．故选项C正确；
选项D，由图可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而增大．
∴当x＜0时，y随x增大而减小是错误的，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线开口向上（下），在对称轴的左侧，y随x的增大而减小（增大）；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大（减小）．
6．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y＝﹣5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（　　）
A．90元，4500元 B．80元，4500元
C．90元，4000元 D．80元，4000元
【分析】设每月所获利润为w，按照利润＝销售量×（售价﹣成本）列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
解：设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣5＜0，此图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
7．已知点A（﹣2，a），B（，b），C（，c）都在二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，那么a、b、c的大小是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【分析】分别计算自变量为﹣2、、对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
解：当x＝﹣2时，a＝﹣x2+2x+3＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5；当x＝时，b＝﹣x2+2x+3＝﹣（）2+2×+3＝；当x＝时，c＝﹣x2+2x+3＝﹣（）2+2×+3＝﹣；
所以a＜c＜b．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象过点（3，0），方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），从而根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2﹣2ax+c＝0的解．
解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（　　）

A．4 B．4 C．5 D．5
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，根据题意得出CD＝CE＝4，从而得出A的纵坐标为8，设点A坐标为（m，8），将点坐标代入解析式求解．
解：把E（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
∵点E（2，4），四边形CDFE为正方形，
∴CD＝CE＝4，
设点A横坐标为m，则A（m，8），
代入y＝x2得m2＝8，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去）．
∴AB＝2m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
10．如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
解：∵正方形ABCD边长为4，AE＝BF＝CG＝DH
∴AH＝BE＝CF＝DG，∠A＝∠B＝∠C＝∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y＝4×4﹣x（4﹣x）×4
＝16﹣8x+2x2
＝2（x﹣2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
二、填空题
11．将二次函数y＝x2+2x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是 　（0，1）　．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．
解：∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴二次函数y＝x2+2x的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣1），
图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数图象的顶点坐标是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．
12．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y元，设平均每次降价的百分率是x，则y关于x的函数表达式为 　y＝16（1﹣x）2　．
【分析】根据该药品的原价及两次降价后的价格，即可得出关于y关于x的函数表达式．
解：根据题意得：y关于x的函数表达式为y＝16（1﹣x）2．
故答案为：y＝16（1﹣x）2．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，找准等量关系，正确列出y关于x的函数表达式是解题的关键．
13．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B．平移直线y＝kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是　y＝x﹣3　．

【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案．
解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象有一个交点A（2，m），
∴2m＝6，
解得：m＝3，
故A（2，3），
则3＝2k，
解得：k＝，
故正比例函数解析式为：y＝x，
∵AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx，使其经过点B，
∴B（2，0），
∴设平移后的解析式为：y＝x+b，
则0＝3+b，
解得：b＝﹣3，
故直线l对应的函数表达式是：y＝x﹣3．
故答案为：y＝x﹣3．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出A，B点坐标是解题关键．
14．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）此二次函数的对称轴为直线x＝　0.5　；
（2）已知点P（t，m）和Q（1，n）在此函数的图象上，若m≤n，则t的取值范围是 　0≤t≤1　；
【分析】（1）根据二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），经过（﹣a，0）和（a+1，0），是对称点，算出对称轴即可；
（2）根据对称轴为直线，点P（t，m）和Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）的图象上，画出函数图象，点Q关于对称轴的对称点Q′，分析图象，写出t的取值范围即可．
解：（1）∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），
∴函数经过（﹣a，0）和（a+1，0），是对称点，
∴对称轴为直线，
故答案为：；
（2）∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），
∴二次项系数为1＞0，
∴函数图象开口向上，
又∵P（t，m）和Q（1，n）在此函数的图象上，对称轴为直线，
∴画出图象如图，点Q关于对称轴的对称点Q′横坐标＝，

∵m≤n，
∴点P应在线段QQ′下方部分的抛物线上（包括点Q、Q′），
∴0≤t≤1，
故答案为：0≤t≤1．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键．
三、解答题
15．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点（﹣1，0）和（3，0），求其函数解析式并通过配方法求出函数的最大值．
【分析】根据二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点（﹣1，0）和（3，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的最大值．
解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点（﹣1，0）和（3，0），
∴，
解得，
即函数解析式为y＝﹣x2+x+2，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，
∴该函数的最大值是．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值、待定系数法求二次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．已知抛物线y＝﹣2x2+4x+6与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）求线段AB的长．
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式即可得到抛物线对称轴；
（2）令y＝0，求出A、B两点坐标即可求出AB的长．
解：（1）将抛物线y＝﹣2x2+4x+6化为顶点式，
则y＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴抛物线对称轴为直线x＝1；
（2）令y＝0，
则﹣2x2+4x+6＝0，
整理得：x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A、B两点的坐标为（3，0）和（﹣1，0），
∴AB＝|﹣1﹣3|＝4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．

【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点得出即可；
（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案．
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求； B2（10，8）
【点评】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．
18．如图，一次函数y1＝﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2＝图象的一个交点为M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B到直线OM的距离．

【分析】（1）首先根据一次函数解析式算出M点的坐标，再把M点的坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）设点B到直线OM的距离为h，过M点作MC⊥y轴，垂足为C，根据一次函数解析式表示出B点坐标，再利用△OMB的面积＝×BO×MC算出面积，再利用勾股定理算出MO的长，再次利用三角形的面积公式可得OM•h，根据前面算的三角形面积可算出h的值．
解：（1）∵一次函数y1＝﹣x﹣1过M（﹣2，m），
∴m＝1，
∴M（﹣2，1）
把M（﹣2，1）代入y2＝得：k＝﹣2，
∴反比例函数为y2＝﹣；

（2）设点B到直线OM的距离为h，过M点作MC⊥y轴，垂足为C．
∵一次函数y1＝﹣x﹣1与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，﹣1）．
S△OMB＝×1×2＝1，
在Rt△OMC中，OM＝＝＝，
∵S△OMB＝OM•h＝1，
∴h＝＝．
即：点B到直线OM的距离为．

【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，关键是熟练掌握三角形的面积公式，并能灵活运用．
19．某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为y＝ax2+bx，当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式；
（2）当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出a，b的值；
（2）先根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案．
解：（1）由题意得：，
解得：．
∴a＝1，b＝30；
∴y＝x2+30x；
（2）由（1）得：y＝x2+30x，
设A，B两城生产这批产品的总成本为w，
则w＝x2+30x+70（100﹣x）
＝x2﹣40x+7000
＝（x﹣20）2+6600，
由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．
答：A城生产20件，B城生产80件．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．
20．若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x的两个二次函数y1，y2，且y1＝a（x﹣m）2+4（m＞0），y1，y2的“生成函数”为：y＝x2+4x+14；当x＝m时，y2＝15；二次函数y2的图象的顶点坐标为（2，k）．
（1）求m的值；
（2）求二次函数y1，y2的解析式．
【分析】（1）根据已知新定义和当x＝m时，y2＝15得出15＝m2﹣a（m﹣m）2+4m+10，求出即可；
（2）把m的值代入函数y2，根据顶点的横坐标即可求出a，再把a的值代入求出即可．
解：（1）∵y1＝a（x﹣m）2+4（m＞0），y1，y2的“生成函数”为：y＝x2+4x+14；
∴y2＝x2+4x+14﹣a（x﹣m）2﹣4＝x2﹣a（x﹣m）2+4x+10，
∵当x＝m时，y2＝15，
∴15＝m2﹣a（m﹣m）2+4m+10，
解得：m1＝1，m2＝﹣5（不合题意舍去）；

（2）由（1）得：y2＝x2﹣a（x﹣1）2+4x+10＝（1﹣a）x2+（2a+4）x﹣a+10，
∵二次函数y2的图象的顶点坐标为（2，k）．
∴﹣＝2，
解得：a＝4，
∴y1＝4（x﹣1）2+4，y2＝﹣3x2+12x+6．
【点评】本题考查了二次函数的性质，求函数的解析式的应用，能读懂题意是解此题的关键，题目比较典型，有一定的难度．
21．如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；
（3）若要求0.5≤x≤1，求改造后油菜花田地所占面积的最大值．

【分析】（1）直接利用直角三角形面积求法得出答案；
（2）利用已知得出y＝13，进而解方程得出答案；
（3）利用配方法得出函数顶点式，再利用二次函数增减性得出答案．
解：（1）由题意可得：y＝48﹣2××（8﹣x）（6﹣x）
＝﹣x2+14x（0＜x＜6）；

（2）由题意可得：﹣x2+14x＝13，
即（x﹣1）（x﹣13）＝0，
解得：x1＝1，x2＝13，
经检验得：x＝13不合题意，舍去，
答：x的值为1；

（3）y＝48﹣（﹣x2+14x）
＝x2﹣14x+48
＝（x﹣7）2﹣1
当0.5≤x≤1时，y随x的增大而减小，
故当x＝0.5时，y最大，y＝41.25m2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程以及二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m（x≥0）的顶点为A，与y轴相交于点B．
（1）点A的坐标为 　（m，m）　，点B的坐标为 　（0，﹣m2+m）　；（用含m的式子表示）
（2）设抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m（x≥0）的函数图象最高点的纵坐标为n．
①当m＝1时，n＝　1　；当m＝﹣1时，n＝　﹣2　；
②写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
【分析】（1）把解析式化成顶点是即可求得点A的坐标，令x＝0，求得y的值，即可求得点B的坐标；
（2）①当m＝1时，则函数的最高点为（1，1），当m＝﹣1时，则函数的最高点为（0，﹣m2+m），即可求得n的值；
②当m≥0时，n＝m；当m＜0时，n＝﹣m2+m．
解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m＝﹣（x﹣m）2+m，
∴A（m，m），
令x＝0，则y＝﹣x2+2mx﹣m2+m＝﹣m2+m，
∴B（0，﹣m2+m）．
故答案为：（m，m），（0，﹣m2+m）．
（2）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m＝﹣（x﹣m）2+m（x≥0），
①当m＝1时，则函数的最高点为（1，1），当m＝﹣1时，则函数的最高点为（0，﹣m2+m），
∴当m＝1时，n＝1；当m＝﹣1时，n＝﹣2．
故答案为：1，﹣2；
②y＝﹣x2+2mx﹣m2+m＝﹣（x﹣m）2+m，则抛物线的对称轴为x＝m．
当m≥0时，y＝﹣（x﹣m）2+m（x≥0）的图象过顶点（m，m），则n＝m；
当m＜0时，y＝﹣（x﹣m）2+m（x≥0）的图象都在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
所以函数的最高点为（0，﹣m2+m），则n＝﹣m2+m，
综上，．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，数形结合、分类讨论思想的运用是解题的关键．
23．小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P．已知篮球运动时的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝﹣x2+x+c．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC＝2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB．

【分析】（1）直接利用P点坐标得出c的值即可；
（2）求出二次函数的顶点坐标进而得出答案；
（3）令y＝2.5，进而得出答案x的值，即可得出答案．
解：（1）∵OP＝1，
∴当x＝0时，y＝1，代入y＝x2+x+c，
解得：c＝1，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣x2+x+1；

（2）y＝﹣x2+x+1，
＝x2﹣8x）+1，
＝（x﹣4）2+3，
当x＝4时，y有最大值3，
故篮球在运动的过程中离地面的最大高度为3m；

（3）令y＝2.5，则有﹣（x﹣4）2+3＝2.5，
解得x1＝2，x2＝6，
根据题意可知x1＝2不合题意，应舍去故小亮离小明的最短距离为6m．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法得出函数最值是解题关键．