北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了解答题共4小题，共50分等内容，欢迎下载使用。
2023北京陈经纶中学高二10月月考数    学本试卷共8页，120分。考试时长90 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．直线的倾斜角是（    ）A．30°        B．45°        C．60°        D．75°2. 已如点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（    ）A． B． C．     D．3．过点且垂直于直线的直线方程为（    ）A．  B．  C．  D．4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（    ）A．    B． C．    D．5．若直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）A．1     B．        C．3        D．46．已知，，，若､､共面，则实数等于（    ）A．      B．      C．    D．7．直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（    ）A．  B． C． D．8．如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（    ）  A．5  B．3    C．      D．9．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ）A．        B．        C．        D．10．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面；②直线到平面的距离是；③存在点，使得；④面积的最小值是．其中所有正确结论的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3第二部分（非选择题　共80 分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11．若直线与平行，则实数____.12. 已知的三个顶点的坐标为、、，则边上的高所在的直线方程是____________；的面积是_______．13.  如图，在三棱柱中，所有棱长均为，且底面，则点到平面的距离为______.14．已知点，点､分别是轴和直线上的两个动点，则的最小值等于_________.15．正三棱柱中，，，O为BC的中点，M是棱上一动点，过O作于点N，则线段MN长度的最小值为_________.. 已知点，，，直线将△分割为面积相等的两部分，则的取值范围是__________.三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17.（本小题12分）如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求与平面所成角的大小． 
18. （本小题12分）如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．（Ⅰ）求证：平面ABC；（Ⅱ）若，求二面角的正弦值．  19．（本小题13分） 图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.  20. （本小题13分）设n为正整数，集合A＝｛α|α＝（t1，t2，…，tn），tk∈｛0，1｝，k＝1，2，…，n｝.对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，xn）和β＝（y1，y2，…，yn），记M（α，β）＝［（x1＋y1－|x1－y1|）＋（x2＋y2－|x2－y2|）＋…＋（xn＋yn－|xn－yn|）］.（Ⅰ）当n＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数.求集合B中元素个数的最大值； （Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β， M（α，β）＝0.写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.
参考答案第一部分（选择题　共40分） 一、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。12345678910BAABBDDDDC 9．解析：设直线方程为，则，解得，即，即，设关于直线对称的点为，则，解得，即，，同理可得：点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，如图所示：利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；所以点之间为点的变动范围，因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而，所以，即.  故选：D10．解析:对于①，点是中点，，而，故，即F为的中点，连接，则，因为平面，平面，  故直线平面，①正确；对于②，连接,分别是棱，的中点，  故，平面,平面,故平面,故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为h；，，故，由于，故，②错误；对于③，以点A为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则，,设，故，则，由，得，解得，故存在点，使得，③正确；对于④，由③知在上的投影为，故到的距离为，则的面积为，当时，取得最小值，故的面积取到最小值，④错误，故所有正确结论的个数是2，故选：C第二部分（非选择题　共80 分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11．312. 13.  14．15．16. 三、解答题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17.【解析】（Ⅰ）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，．所以，因为平面,所以平面的一个法向量为，因为，所以，因为平面，所以平面（Ⅱ），，．设平面的一个法向量为则，令，则，，所以设与平面所成角为，则．因为，所以与平面所成角为30°．18. 【解析】（Ⅰ）如图，连接．因为侧面为菱形，且，所以为等边三角形，所以．又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）的过程可知，可以点D为坐标原点，分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．不妨设，由题可知，，，，．由，可得．设平面的法向量为，而，，则有,取，得．设平面的法向量为，而，，则有，取，得．设平面与平面夹角为，则，所以，由题意知，二面角是锐角，所以二面角的正弦值为．19．【解析】（Ⅰ）在图①中，连接，交于，四边形是边长为的菱形，，，；在图②中，相交直线均与垂直，是二面角的平面角，，，，，平面平面.（Ⅱ）以为坐标原点，正方向为轴可建立如图②所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设，，则，设平面的一个法向量，则，令，解得：，，；点到平面的距离，解得：或（舍），，，，直线与平面所成角的正弦值为.20. 【解析】（Ⅰ）因为α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），所以M（α，α）＝ ［（1＋1－|1－1|）＋（1＋1－|1－1|）＋（0＋0－|0－0|）］＝2，M（α，β）＝ ［（1＋0－|1－0|）＋（1＋1－|1－1|）＋（0＋1－|0－1|）］＝1.（Ⅱ）设α＝（x1，x2，x3，x4）∈B，则M（α，α）＝x1＋x2＋x3＋x4.由题意知x1，x2，x3，x4∈｛0，1｝，且M（α，α）为奇数，所以x1，x2，x3，x4中1的个数为1或3.所以B⊆｛（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1），（0，1，1，1），（1，0，1，1），（1，1，0，1），（1，1，1，0）｝.将上述集合中的元素分成如下四组： （1，0，0，0），（1，1，1，0）；（0，1，0，0），（1，1，0，1）；（0，0，1，0），（1，0，1，1）；（0，0，0，1），（0，1，1，1）.经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M（α，β）＝1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以集合B中元素的个数不超过4.又集合｛（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1）｝满足条件，所以集合B中元素个数的最大值为4.（Ⅲ）设Sk＝（x1，x2，…，xn）|（x1，x2，…，xn）∈A，xk＝1，x1＝x2＝…＝xk－1＝0）（k＝1，2，…，n），Sn＋1＝｛（x1，x2，…，xn）|x1＝x2＝…＝xn＝0｝，则A＝S1∪S1∪…∪Sn＋1.对于Sk（k＝1，2，…，n－1）中的不同元素α，β，经验证，M（α，β）≥1.所以Sk（k＝1，2，…，n－1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个数不超过n＋1.取ek＝（x1，x2，…，xn）∈Sk且xk＋1＝…＝xn＝0（k＝1，2，…，n－1）.令B＝（e1，e2，…，en－1）∪Sn∪Sn＋1，则集合B的元素个数为n＋1，且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.