新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题05 函数 5.3指数函数（含解析）

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专题四  《函数》讲义5.3 指数函数知识梳理.指数函数(1)根式的性质①()n＝a(a使有意义)．②当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝(2)分数指数幂的意义①a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　 (3)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 2．指数函数的概念函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．    3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0，1)当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究  题型一.比较大小1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝（）﹣1.5，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2【解答】解：利用幂的运算性质可得，y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝（）﹣1.5＝21.5，再由y＝2x是增函数，知y1＞y3＞y2．故选：D．2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系（　　）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：函数y＝0.6x为减函数；故a＝0.60.6＞b＝0.61.5，函数y＝x0.6在（0，+∞）上为增函数；故a＝0.60.6＜c＝1.50.6，故b＜a＜c，故选：C．3．设a＝（，，，则a，b，c的大小关系是（　　）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故选：A．4．已知函数f（x）＝ex+e﹣x，若a＝f（21.1），b＝f（﹣1），c＝f（log23），则实数a，b，c的大小关系为（　　）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：函数f（x）＝ex+e﹣x，为偶函数，在（0，+∞）上单调递增．∵a＝f（21.1），b＝f（﹣1）＝f（1），c＝f（log23），1＜log23＜2＜21.1．则实数a，b，c的大小关系为b＜c＜a．故选：D． 题型二.指数函数的图像与性质1．已知曲线y＝ax﹣1+1（a＞0且a≠1）过定点（k，b），若m+n＝b且m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）A． B．9 C．5 D．【解答】解析：∵定点为（1，2）∴m+n＝2∴当且仅当，即m，n时取得最小值，故选：A．2．已知实数a、b满足等式（）a＝（）b，给出下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0，其中不可能成立的关系式有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：画出指数函数的图象：，g（x）．满足等式（）a＝（）b，有①0＜b＜a；②a＜b＜0；⑤a＝b＝0，三个．而③0＜a＜b；④b＜a＜0；不可能成立．故选：B．3．已知函数f（x）＝|2x﹣1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中，一定成立的是　③　．（只填序号）①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2a+2c＜2；④2﹣a＜2c．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：∵a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），∴由图象知，a＜0，c＞0，b符号不确定，故①错误，②错误，由f（a）＞f（c）得|2a﹣1|＞|2c﹣1|，即﹣2a+1＞2c﹣1，得2a+2c＜2，故③正确，当a＝﹣2，c时，f（a），f（c）1，满足f（a）＞f（c），但2﹣a＝22＝4，2c，则2﹣a＜2c．不成立，故④错误，故正确的是③，故答案为：③．4．若函数f（x）是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（　　）A．[0，2） B． C．[1，2] D．[0，1]【解答】解：根据分段函数单调性的性质若函数为单调函数，则函数只能是单调递减函数，则满足，即，解得a＜2，故选：B．5．设函数f（x） 若f（a）＞1，则实数a的取值范围是　a＞4　．【解答】解：当a≥0时，由得：a＞4，当a＜0时，不等式无解，综上满足f（a）＞1的实数a的取值范围是：a＞4故答案为a＞46．若实数a，b满足2a+3a＝3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（　　）A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0 C．1＜a＜b D．a＝b【解答】解：由2a+3a＝3b+2b，设f（x）＝2x+3x，g（x）＝3x+2x，易知f（x），g（x）是递增函数，画出f（x），g（x）的图象如下：根据图象可知：当x＝0，1时，f（x）＝g（x），0＜a＜b＜1，f（a）＝f（b）可能成立；故A正确；当b＜a＜0时，因为f（x）≤g（x），所以f（a）＝g（b）可能成立，B正确；当a＝b时，显然成立，当1＜a＜b时，因为f（a）＜g（b），所以不可能成立，故选：ABD． 题型三. 指数函数的定义域、值域1．函数y的定义域为　R　，值域为　[ ）　．【解答】解：∵不论函数y中的x取何值，函数总有意义，∴函数y的定义域为R．令u＝3+2x﹣x2，则y．∵u＝3+2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，∴u∈（﹣∞，4]∵函数y为u的减函数，且u∈（﹣∞，4]∴∈[，+∞），即y∈[，+∞），∴函数的值域为[，+∞），故答案为[，+∞）2．若函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于　　．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递增，则解得：a当a＜1时，函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递减，则无解故a故答案为：3．已知f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是　[﹣1，0]　．【解答】解：∵f（x）的定义域为R，∴0对任意x∈R恒成立，即恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．故答案为：[﹣1，0]．4．已知函数f（x）＝，若f（x）的值域是（0，+∞），求a的值．【解答】解：由指数函数的性质知，要使y＝f（x）的值域是（0，+∞），应使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域为R，若a≠0，h（x）为二次函数，其值域不可能为R，∴a的值是0．5．若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣2]　．【解答】解：设g（x）＝4x+a•2x+1，若函数的值域为[0，+∞），则等价为[0，+∞）是g（x）值域的子集，g（x）＝4x+a•2x+1＝（2x）2+a•2x+1，设t＝2x，则t＞0，则函数g（x）等价为y＝h（t）＝t2+at+1，∵h（0）＝1＞0，∴当对称轴t0，即a≥0时，不满足条件．当t0，即a＜0时，则判别式△＝a2﹣4≥0，即，则a≤﹣2，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]，故答案为：（﹣∞，﹣2]6．若关于x的方程：9x+（4+a）•3x+4＝0有解，则实数a的取值范围为（　　）A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞） B．（﹣8，﹣4） C．[﹣8，﹣4] D．（﹣∞，﹣8]【解答】解：∵a+4，令3x＝t（t＞0），则因为4，所以4，∴a+4≤﹣4，所以a的范围为（﹣∞，﹣8]故选：D．