新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题05 函数 5.6奇偶性（含解析）

专题四  《函数》讲义

5.6 奇偶性

知识梳理.奇偶性

1．函数的奇偶性

2.判断函数奇偶性的3种常用方法

(1)定义法：

确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．

(2)图象法：

(3)性质法：

设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，

奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

题型一. 判断奇偶性

1．已知函数f，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）g（x）为奇函数 

B．f（x）g（x）为偶函数 

C．f（x）+g（x）为奇函数 

D．f（x）+g（x）为非奇非偶函数

【解答】解：f（x）的定义域为2x﹣1≠0，x≠0，

，故函数f（x）为奇函数，

g（x）定义域为R且g（﹣x）＝﹣g（x），函数g（x）也为奇函数，

∴f（x）g（x）为偶函数，f（x）+g（x）为奇函数，

故选：BC．

2．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（　　）

A． B．y＝sinx 

C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝|x﹣1|

【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝log2（）+log2（）＝log2（x2+1﹣x2）＝0，

所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，

但是f（1）＝log2（），f（0）＝0，f（1）＜f（0），不满足单调递增，不符合题意；

y＝sinx在R上不单调，不符合题意；

y＝2x﹣2﹣x在R上单调递增，且f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，符合题意；

y＝|x﹣1|为非奇非偶函数，不符合题意；

故选：C．

3．设函数f（x）＝x（ex+e﹣x），则对f（x）的奇偶性和在（0，+∞）上的单调性判断的结果是（　　）

A．奇函数，单调递增 B．偶函数，单调递增 

C．奇函数，单调递减 D．偶函数，单调递减

【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x（ex+e﹣x），其定义域为R，

有f（﹣x）＝（x）（e﹣x+ex）＝﹣x（ex+e﹣x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，

又由f′（x）＝（ex+e﹣x）+x（ex﹣e﹣x），

区间（0，+∞）上，ex＞1＞e﹣x＞0，则有f′（x）＞0，

则f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，

故选：A．

题型二. 已知奇偶性求参、求值

1．若函数f（x）（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为　±1　．

【解答】解：∵函数f（x）

∴f（﹣x）＝﹣f（x）

∴

∴（k2﹣1）（2x）2＝1﹣k2

∴（k2﹣1）＝0

∴k＝±1

验证k＝±1时，满足函数f（x）在定义域上为奇函数，

故答案为：±1．

2．若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1

【解答】解：∵函数f（x）＝xln（x）为偶函数，x∈R，

∴设g（x）＝ln（x）是奇函数，

则g（0）＝0，

即ln0，则1，则a＝1．

故选：B．

3．（2019·全国2）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝　   　．

【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，

又∵当x＜0时，f（x）＝﹣eax，

∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，

∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．

故答案为：﹣3

题型三.两个重要结论

1．已知函数f（x），f（a）＝4，则f（﹣a）＝　﹣2　．

【解答】解：根据题意，f（x），则f（﹣x），

则f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（a）+f（﹣a）＝2，

又由f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣2；

故答案为：﹣2

2．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1在[﹣1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　4　．

【解答】解：∵f（x）＝（x2﹣2x）sin（x﹣1）+x+1＝[（x﹣1）2﹣1]sin（x﹣1）+x﹣1+2

令g（x）＝（x﹣1）2sin（x﹣1）﹣sin（x﹣1）+（x﹣1），

而g（2﹣x）＝（x﹣1）2sin（1﹣x）﹣sin（1﹣x）+（1﹣x），

∴g（2﹣x）+g（x）＝0，

则g（x）关于（1，0）中心对称，则f（x）在[﹣1，3]上关于（1，2）中心对称．

∴M+m＝4．

故答案为：4．

题型四. 奇偶性和单调性综合

1．设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（　　）

A．是偶函数，且在 单调递增 

B．是奇函数，且在 单调递增 

C．是偶函数，且在单调递增 

D．是奇函数，且在 单调递增

【解答】解：由，得x≠±．

又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），

∴f（x）为奇函数，

由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝ln||，

∵11．

可得内层函数t＝||的图象如图，

在（﹣∞，），（（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增，

又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，

由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，

在（﹣∞，），（（，+∞）上单调递减．

故选：B．

2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则三个数a＝f（﹣log313），b＝f（2cos），c＝f（20.6）的大小关系为（　　）

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b

【解答】解：根据题意，2＝log39＜log313＜log327＝3，，1＜20.6＜21＝2，

则有，

函数f（x）是定义在R上的偶函数，则a＝f（﹣log313）＝f（log313），

又由f（x）在[0，+∞）上单调递增，则，即a＞c＞b，

故选：B．

3．（2017•新课标Ⅰ）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）

A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]

【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．

若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，

又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，

∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），

∴﹣1≤x﹣2≤1，

解得：x∈[1，3]，

故选：D．

4．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（　　）

A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1] 

C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]

【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图：

∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；

故f（﹣1）＜0；

当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，

当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，

当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，

当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，

此时，此时1＜x≤3，

当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，

即，得﹣1≤x＜0，

综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，

即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，

故选：D．

5．已知定义域为R的函数f（x）是奇函数．若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，则k的取值范围为　k　．

【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0⇒b＝1；

从而有f（x），又由f（﹣1）＝﹣f（1）⇒a＝2；

∴f（x），

由上式可知f（x）在R上为减函数，又∵f（x）为奇函数，

f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0⇔f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），

∵f（x）是R上的减函数，由上式可得t2﹣2t＞k﹣2t2，

即对一切t∈R有3t2﹣2t﹣k＞0，

从而△＝4+12k＜0，解得k．

6．（2007•天津）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

A． B．[2，+∞） 

C．（0，2] D．

【解答】解：（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B项，

同理再验证t＝3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t＝﹣1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项

故选：A．

7．（2017•江苏）已知函数f（x）＝x3﹣2x+ex，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是　[﹣1，]　．

【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+ex的导数为：

f′（x）＝3x2﹣2+ex2+20，

可得f（x）在R上递增；

又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex0，

可得f（x）为奇函数，

则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，

即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）

由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），

f（2a2）≤f（1﹣a），

即有2a2≤1﹣a，

解得﹣1≤a，

故答案为：[﹣1，]．

8．（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝ln（1+|x|），则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1） 

C．（） D．（﹣∞，）

【解答】解：∵函数f（x）＝ln（1+|x|）为偶函数，

且在x≥0时，f（x）＝ln（1+x），

导数为f′（x）0，

即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，

∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），

即|x|＞|2x﹣1|，

平方得3x2﹣4x+1＜0，

解得：x＜1，

所求x的取值范围是（，1）．

故选：B．