新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题13解析几何 13.3椭圆（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题13解析几何 13.3椭圆（含解析），共26页。试卷主要包含了3 椭圆等内容，欢迎下载使用。
专题十三 《解析几何》讲义
13.3 椭圆
知识梳理.椭圆
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标
　(a,0)，(－a,0)，
　(0，b)，(0，－b)
　(b,0)，(－b,0)，
　(0，a)，(0，－a)
焦点坐标
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
半轴长
长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率
e＝
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2






题型一. 椭圆及其性质
1．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为　　．

【解答】解：由题可知，c，
过点P作PM垂直x轴于M，设|OM|＝t，则|FM|t，
由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝|PF|2﹣|FM|2，即，解得，
∴，
∴点P的坐标为（，），
设椭圆的方程为（a＞b＞0），则，化简得，
又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，
∴椭圆的标准方程为．
故答案为：．

2．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为．过点F1的直线l与C交于A、B两点，且△ABF2周长为，那么C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图，设椭圆方程为．

∵△ABF2周长为，∴4a，得a．
又，∴c＝1．
则b2＝a2﹣c2＝2．
∴椭圆C的方程为：．
故选：B．
3．（2019·全国3）设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　（3，）　．
【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：1的a＝6，b＝2，c＝4，
e，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，
即有6m＝8，即m＝3，n；
6m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
可得M（3，）．
故答案为：（3，）．
4．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2的直线与C交于A，B两点．若2|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，
由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝6m，所以|AF1|＝3m，
故点A在椭圆的上（下）顶点处，不妨设点A在上顶点处，则A（0，b），
设B点的坐标为（x，y），
则由2|AF2|＝3|F2B|可得：，即（1，﹣b），
解得x，y，即B（），
代入椭圆方程可得：，解得a2＝5，
所以b2＝a2﹣c2＝5﹣1＝4，
故椭圆的方程为：，
故选：D．
5．已知点A（1，1）而且F1是椭圆1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF1|+|PA|的最大值和最小值．
【解答】解：∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6
∴|PF1|＝6﹣|PF2|
∴|PF1|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|＝6+（|PA|﹣|PF2|）
当点P位于P1时，|PA|﹣|PF2|的差最小，其值为﹣|AF2|此时，|PF1|+|PA|也得到最小值，其值为6；
当点P位于P2时，|PA|﹣|PF2|的差最大，其值为|AF2|此时，|PF1|+|PA|也得到最大值，其值为6．


题型二. 焦点三角形
1．过椭圆1（a＞b＞0）的中心做一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为　2a+2b　．
【解答】解：如图，

由椭圆的定义知|PF|+|PF1|＝2a
由椭圆的对称性知|QF|＝|PF1|，
∴有|PF|+|QF|＝2a，而|PQ|的最小值是2b，
∴△PFQ的周长的最小值为2a+2b．
故答案为：2a+2b．
2．已知F1，F2是椭圆的焦点，P在椭圆上，且，则点P到x轴的距离为　　．
【解答】解：由椭圆可得：a＝3，b，c2．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n．
则m+n＝2a＝6，（2×2）2＝m2+n2﹣2mncos，
可得：mn，
∴mnsin，
∴2×2|yP|，
解得|yP|．
故答案为：．
3．已知F是椭圆1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接A，B与左右焦点F，F'的连线，由∠AFB＝120°，
由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，∠FAF'＝60°，
在三角形AFF'中，|FF'|2＝|AF|2+|AF′|2﹣2|AF|⋅|AF'|cos∠FAF＝（|AF|+|AF'|）2﹣3|AF|⋅|AF'|，
所以，
即，当且仅当|AF|＝|AF′|时取等号，
即，可得，所以椭圆的离心率，
故选：C．

4．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆C交于M，N两点．设线段NF1的中点为D，若，且，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，∴MD⊥NF1，
又D为线段NF1的中点，∴|MF1|＝|MN|，
∵，∴F2是MN的中点，则|MF2|＝|NF2|，因此MN⊥x轴，
设|MF2|＝m，则|MF1|＝2m，
由|MF1|+|MF2|＝3m＝2a，得m．
在△MF1F2中，由勾股定理可得，
整理可得，3c2＝a2，
∴e（0＜e＜1）．
故选：B．

5．（2013·山东）椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．
【解答】解：（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，
∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴．
又，联立得解得，
∴椭圆C的方程为．
（2）如图所示，设|PF1|＝t，|PF2|＝n，
由角平分线的性质可得，
又t+n＝2a＝4，消去t得到，化为，
∵a﹣c＜n＜a+c，即，也即，解得．
∴m的取值范围；．

题型三. 椭圆第二定义——焦半径公式
1．过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|＝2|FB|，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，
过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG＝60°，所以AB＝2AG，…①
由圆锥曲线统一定义得：，
∵FA＝2FB，
∴AC＝2BD
直角梯形ABDC中，AG＝AC﹣BD②
①、②比较，可得AB＝AC，
又∵
∴
故所求的离心率为 ．
故选：B．

2．椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（　　）
A．[1，4] B．[1，3] C．[﹣2，1] D．[﹣1，1]
【解答】解：椭圆的焦点坐标F1（，0），F2（，0）．
设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．
∴（2cosθ，﹣sinθ）•（2cosθ，﹣sinθ）＝4cos2θ﹣3+sin2θ＝3cos2θ﹣2，
∵0≤cos2θ≤1，
∴﹣2≤3cos2θ﹣2≤1．
即的最大值与最小值分别是1，﹣2．
故选：C．
3．已知椭圆（a＞b＞0）的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（　　）
A．[1，2] B．[] C．[] D．[1，4]
【解答】解：由2b＝2可得b＝1，即A（0，1），
又F（﹣c，0），B（﹣a，0），
∴，
又a2﹣c2＝1，
∴a＝2，c．
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，
∴，
∵2|PF1|≤2，
|PF1|（4﹣|PF1|）＝﹣（|PF1|﹣2）2+4，
∴1≤|PF1|（4﹣|PF1|）≤4．
∴14．
故选：D．

题型四. 离心率之焦点三角形
1．设椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为　　．
【解答】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2x，|F1F2|x，
又|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c
∴2a＝3x，2cx，
∴C的离心率为：e．
故答案为：．
2．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设|MF2|＝m，
∵|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，
∴2|MN|＝|MF1|+|NF1|，
∴|MN|＝|MF2|+|NF2|＝2a﹣|MF1|+2a﹣|NF1|＝4a﹣2|MN|，
∴|MN|a，
∴|NF2|a﹣m，
∴|NF1|＝2a﹣（a﹣m）a+m，
∵，
∴MF1⊥MF2，
∴Rt△F1MN中，|NF1|2＝|MN|2+|MF1|2，
∴（2a﹣m）2+（a）2＝（a+m）2，
整理可得m＝a，
∴|MF2|＝a，|MF1|＝a，
∴|F2F1|2＝|MF2|2+|MF1|2，
∴4c2＝2a2，
∴e，
故选：A．
3．（2013·辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF，则C的离心率e＝　　．
【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|＝|BF'|＝6
∵△ABF中，|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF，
∴由余弦定理|AF|2＝|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，
可得62＝102+|BF|2﹣2×10×|BF|，解之得|BF|＝8
由此可得，2a＝|BF|+|BF'|＝14，得a＝7
∵△ABF中，|AF|2+|BF|2＝100＝|AB|2
∴∠AFB＝90°，可得|OF||AB|＝5，即c＝5
因此，椭圆C的离心率e
故答案为：


题型五. 离心率之寻求等量关系
1．（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|＝|F2F1|
∵P为直线x上一点
∴
∴
故选：C．

2．（2015•浙江）椭圆1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　　．
【解答】解：根据椭圆定义运用数形结合思想求解，设椭圆的另一个焦点为F1（﹣c，0），如图连接QF1，QF，
设QF与直线yx交于点M，由题意知M为线段QF的中点，
∴F1Q∥OM，又∵OM⊥FQ，
∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|，
在Rt△MOF中，tan∠MOF，|OF|＝c，
可得|OM|，|MF|，
故|QF|＝2|MF|，|QF1|＝2|OM|，
由椭圆定义得|QF|+|QF1|2a，得b＝c，
∴ac，
故e．

3．（2016•新课标Ⅲ）已知O为坐标原点，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE的方程为y＝k（x+a），
令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，），
由B，H，M三点共线，可得kBH＝kBM，
即为，
化简可得，即为a＝3c，
可得e．
另解：由△AMF∽△AEO，
可得，
由△BOH∽△BFM，
可得，
即有即a＝3c，
可得e．
故选：A．

题型六.离心率取值范围之椭圆的有界性
1．椭圆1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，若P为椭圆上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围为（　　）
A．（0，] B．[，1） C．（0，] D．[，1）
【解答】解：P为椭圆1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|＝3|PF2|，
可得|PF1|+|PF2|＝2a，|PF1|a≤a+c，
∴e．
∴椭圆离心率的范围是[，1）
故选：D．
2．椭圆1（a＞b＞0）的二个焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），M是椭圆上一点，且•0，则离心率e的取值范围　e＜1　．
【解答】解：设点M的坐标为（x，y），则（x+c，y），（x﹣c，y）．
由•0，得x2﹣c2+y2＝0．①
又由点M在椭圆上，得y2＝b2，代入①，解得x2＝a2．
∵0≤x2≤a2，
∴0≤a2a2，
即0≤21．
∵e＞0，
解得e≤1．
又∵e＜1，
∴e＜1．
故答案为：；e＜1．

3．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点且•c2，则此椭圆离心率的取值范围是　[，]　．
【解答】解：由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，①
∵•c2，
∴|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝c2，②
由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝4c2，③
由①②③得cos∠F1PF21，|PF1||PF2|＝2a2﹣3c2，
∴e，
∵|PF1||PF2|（|PF1|+|PF2|）2＝a2，
∴2a2﹣3c2≤a2，
∴e，
∴此椭圆离心率的取值范围是[，]．
故答案为：[，]．
4．已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为　　．
【解答】解：在△PF1F2中，
由正弦定理得：
则由已知得：，
即：a|PF1|＝c|PF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0
则a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）
解得：
由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，
整理得e2+2e﹣1＞0，解得：或，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：，
故答案为：．
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题型七.椭圆的第三定义——点差法
1．（2013•大纲版）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．
设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．
∵，，
∴，
∵，
∴，解得．
故选：B．
2．已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为KPM、KPN，当时，则椭圆方程为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由长轴长为4得2a＝4，解得a＝2，
设P（x0，y0），直线l方程为y＝kx，M（x1，kx1），N（﹣x1，﹣kx1），
则KPM，KPN，
由得，•，即，
所以（4k2+1）①，
又P在椭圆上，所以，即，代入①式得4b2（4k2+1），
所以4b2＝（4k2+1）（b2﹣1），
因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与x0无关，
所以b2﹣1＝0，解得b＝1，
所以所求椭圆方程为．
故选：D．
3．（2015•新课标Ⅱ）已知椭圆C：9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
【解答】解：（1）设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
将y＝kx+b代入9x2+y2＝m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2＝0，
则判别式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，
则x1+x2，则xM，yM＝kxM+b，
于是直线OM的斜率kOM，
即kOM•k＝﹣9，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．


课后作业. 椭圆
1．已知点A（0，1），而且F1是椭圆1的左焦点，点P是该椭圆上任意一点，则|PF1|+|PA|的最小值为（　　）
A．6 B．6 C．6 D．6
【解答】解：由椭圆1，得a2＝9，b2＝5，
∴，则F1（﹣2，0），又A（0，1），
如图，设F2是椭圆的右焦点，
∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝6﹣|PF2|，
∴|PF1|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|＝6+（|PA|﹣|PF2|），
|PA|﹣|PF2|的最小值为﹣|AF2|，
此时，|PF1|+|PA|也得到最小值，其值为6．
故选：A．

2．以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于M，N两点，若过椭圆左焦点F1的直线MF1是圆F2的切线，则该椭圆的离心率为　　．
【解答】解：由题意得：|MF2|＝|OF2|＝c
|MF1|+|MF2|＝2a
|F1F2|＝2c
直角三角形MF1F2中
|MF1|2+|MF2|2＝|F1F2|2
即（2a﹣c）2+c2＝4c2
整理得2a2﹣2ac﹣c2＝0
即e2+2e﹣2＝0，解得e1或1（舍去）
故答案为：．
3．已知点P（﹣2，）在椭圆C：1（a＞b＞0）上，过点P作圆O：x2+y2＝2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
【解答】解：由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）2+（y）2．
与圆O：x2+y2＝2相减，可得直线AB的方程为2xy+2＝0，
令y＝0，可得x＝﹣1，∴c＝1，
∵1，∴a2＝8，b2＝7，
∴a2+b2＝8+7＝15，
故选：C．
4．如图，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，则椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由椭圆，可得A（a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），
设P（﹣c，y），则1，解得y＝±，可取P（﹣c，），
由AB∥OP，则kAB＝kOP，
即为，
即为b＝c，
则ac，
即有e．
故选：C．
5．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则的最小值为（　　）
A． B．3 C．8 D．15
【解答】解：椭圆的中心和左焦点为O（0，0），F（﹣2，0）
∵，∴y2＝5（﹣3≤x≤3）
设P（x，y），则（x，y）•（x+2，y）＝x2+2x+y2＝x2+2x+5
∵﹣3≤x≤3
∴x时，的最小值为
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且则该椭圆的离心率为　　．

【解答】解：直线A1B2的方程为yb，直线B1F的方程为yx﹣b，
联立方程组，解得T（，）．
∵，
∴M（，），
把M代入椭圆方程得：a2b2，
即4c2+（a+c）2＝9（a﹣c）2，
化简得：2a2+c2﹣5ac＝0，
∴e2﹣5e+2＝0，
解得e或e（舍去）．
故答案为：．
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日期：2021/8/19 23:42:29；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067