新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题13解析几何 13.5抛物线（含解析）

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专题十三 《解析几何》讲义
13.5 抛物线
知识梳理.抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋





题型一. 抛物线定义及其性质
1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN||NF|，则|MF|＝　　．
【解答】解：作N到准线的垂线NH交准线于H点．
根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，
所以在△NOM中，|NM||NH|，所以∠NMH＝45°．
所以在△MFO（O为准线与y轴交点）中，∠FMO＝45°，
所以|MF||FO|．而|FO|即为准焦距为1．
所以|MF|
故答案为：
2．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（　　）

A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2x
【解答】解：如图，分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，
设|BF|＝a，由已知可得|BC|＝2a，
由抛物线的定义可得|BD|＝a，则∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6+3a，2|AE|＝|AC|，
所以6+3a＝12，解得a＝2，|FC|＝3a＝6，
所以p|FC|＝3，因此抛物线的方程为y2＝6x．
故选：B．

3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为　y2＝6x　．
【解答】解：根据题意，设抛物线的准线为l，与x轴交点为N，则N（，0），FN＝p，
若△FPM为边长是6的等边三角形，即有PF＝PM，
则PM⊥l，
又由∠PMF＝60°，
则∠PMN＝90°﹣60°＝30°，
△MNF为直角三角形，故PM＝2p，
又由△FPM为边长是6的等边三角形，即PM＝6，
则有2p＝6；
即此抛物线的方程为y2＝6x；
故答案为：y2＝6x．

4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK||AF|，则△AFK的面积为　8　．
【解答】解：F（2，0），K（﹣2，0），过A作AM⊥准线，
则|AM|＝|AF|∴|AK||AM|，∴△AFK的高等于|AM|，
设A（m2，2m）（m＞0），
则△AFK的面积＝4×2m4m，
又由|AK||AF|，过A作准线的垂线，垂足为P，
三角形APK为等腰直角三角形，所以m，
∴△AFK的面积＝4×2m8，
故答案为：8
5．在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在圆C2：（x﹣5）2+y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝﹣5的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，则曲线C1的方程为　y2＝20x　．
【解答】解：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2（5，0）的距离等于它到直线x＝﹣5的距离，
因此，曲线C1是以（5，0）为焦点，直线x＝﹣5为准线的抛物线，
故其方程为y2＝20x．
故答案为y2＝20x．
6．（2015·浙江）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝﹣1，
过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，
由抛物线的定义知BF＝BD，AF＝AE，
则|BM|＝|BD|﹣1＝|BF|﹣1，
|AN|＝|AE|﹣1＝|AF|﹣1，
则，
故选：A．

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题型二. 定义转化求值
1．已知抛物线方程y2＝4x，直线l的方程为x﹣y+5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为　3　．
【解答】解：∵抛物线方程y2＝4x，直线l的方程为x﹣y+5＝0，
∴F（1，0）准线为x＝﹣1，
∵在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，
∴根据抛物线的定义可知：d1+d2的最小值为焦点到直线l的距离减去1，
∴最小值为1＝3，
故答案为：

2．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣5）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值是　5　．
【解答】解：如图所示：

利用抛物线的定义知：|MP|＝|MF|，
当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小
即：CM⊥x轴，
此时|MA|+|MF|＝|AP|＝|CP|﹣1＝6﹣1＝5，
故答案为：5．
3．（2016·四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），
显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0．
要求kOM的最大值，设y0＞0，
则（）
（，），
可得kOM，
当且仅当y02＝2p2，取得等号．
故选：C．

题型三. 焦点弦八个常用结论
1．（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x＝﹣1
∵，
∴点F是△ABC重心
则x1+x2+x3＝3
y1+y2+y3＝0
而|FA|＝x1﹣（﹣1）＝x1+1
|FB|＝x2﹣（﹣1）＝x2+1
|FC|＝x3﹣（﹣1）＝x3+1
∴|FA|+|FB|+|FC|＝x1+1+x2+1+x3+1＝（x1+x2+x3）+3＝3+3＝6
故选：C．
2．（2016•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果•12，那么抛物线C的方程为（　　）
A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x
【解答】解：设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），焦点坐标为（，0），∴直线AB的方程为y＝k（x），
由直线与抛物线方程联立，得k2x2﹣（pk2+2p）xp2k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝p，x1•x2p2，
y1•y2＝k（x1）•k（x2）＝k2[x1•x2（x1+x2）p2]＝﹣p2，
∴•x1•x2+y1•y2p2﹣p2＝﹣12，
∴p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x．
故选：C．
3．（2009•黑龙江）已知直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝﹣2
直线y＝k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则，
∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，
故点B的坐标为，
故选：D．

4．（2020•青岛模拟）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（，0），
∵直线l倾斜角为60°，
∴直线l的方程为：y﹣0（x）．
设直线与抛物线的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），
∴|AF|＝x1，|BF|＝x2，
联立方程组，消去y并整理，得12x2﹣20px+3p2＝0，
解得x1，x2，
∴|AF|＝x12p，|BF|＝x2，
∴|AF|：|BF|＝3：1，
∴的值为3．
故选：A．
5．（2015•陕西一模）已知直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，l与C交于 A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【解答】解：由得：x2﹣（2m+2p）x+m2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝2m+2p；
又直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点（，0），
∴0﹣m＝0，解得：m．
又|AB|＝（x1）+（x2）＝x1+x2+p＝2m+3p＝4p＝6，
∴p．
故选：B．
6．（2021春•孝南区校级月考）已知曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴的距离大2，直线l：y＝kx+2与曲线M交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为　23　．
【解答】解：∵曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴的距离大2，
∴曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离与到直线y＝﹣2的距离相等，
则曲线M为抛物线，其方程为x2＝8y，焦点为F（0，2），
则直线y＝kx+2过抛物线的焦点F，
当k＝0时，|AF|＝|DF|＝4，则，
当k≠0时，如图，过A作AK⊥y轴于K，设抛物线的准线交y周于E，
则|EK|＝|EF|+|FK|＝p+|AF|cos∠AFK＝|AF|，得|AF|，
则，同理可得，
∴，
化圆N：x2+y2﹣4y+3＝0为x2+（y﹣2）2＝1，则圆N的圆心为F，半径为1，
|AC|+4|BD|＝|AF|+1+4（|DF|+1）＝|AF|+4|DF|+5
＝2（|AF|+4|DF|）×（）+5＝2（5）+5
23．
当且仅当|AF|＝2|DF|时上式等号成立．
∴|AC|+4|BD|的最小值为23，
故答案为：23．

7．（2007•山东）设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为　　．
【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，令FD＝m，则FA＝2m，p+m＝2m，m＝p．
∴．
故答案为：
8．（2018•一模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．32
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），设直线l1：y＝k1（x﹣1），直线l2：y＝k2（x﹣1），
由题意可知，则，
联立，整理得：k12x2﹣（2k12+4）x+k12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，
设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：x3+x4＝2，
由抛物线的性质可得：|AB|＝x1+x2+p＝4，|DE|＝x3+x4+p＝4，
∴|AB|+|DE|＝8，
当且仅当时，上式“＝”成立．
∴|AB|+|DE|的最小值24，
故选：C．
9．（2012•安徽）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|＝m，
∵|AF|＝3，
∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3
∴2+3cosθ＝3
∴cosθ
∵m＝2+mcos（π﹣θ）
∴
∴△AOB的面积为S
故选：C．
10．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　）
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），
∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
Rt△AOF中，|AF|，
∴sin∠OAF，
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF＝∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF，
∵|MF|＝5，|AF|
∴，整理得4，解之可得p＝2或p＝8
因此，抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．
故选：C．

方法二：
∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），∴焦点F（，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|＝x5，可得x＝5，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M（5，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16＝0，所以p＝2或p＝8．
所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．
故选：C．

11．（2013•宁波模拟）直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|＝（　　）
A．a+b B． C． D．
【解答】解：①PQ与x轴不垂直时，如图所示，
由抛物线的定义可得|QF|＝|QS|，|PF|＝|PR|．
∴∠QFS＝∠QSF，∠PFR＝∠PRF，
由题意可得QS∥FG∥PR，∴∠SFG＝∠QSF，∠RFG＝∠PRF．
∴∠SFG+∠RFG＝90°，∴．
过点P作PN⊥QS交于点N，则|PN|＝|RS|．
在Rt△PQN中，|PN|2．
∴．
②当PQ⊥x轴时，也可|MF|＝p＝a＝b．
综上可知：|MF|．
故选：C．

12．（2013•大纲版）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•0，则k＝（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：由抛物线C：y2＝8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y＝k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2＝4，x1x2＝4．
∴y1+y2，y1y2＝﹣16，
又0，
∴（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）0
∴k＝2．
故选：D．
13．（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，
即准线方程为：x＝﹣2，
∴p＞0，2即p＝4，
∴抛物线C：y2＝8x，在第一象限的方程为y＝2，
设切点B（m，n），则n＝2，
又导数y′＝2，则在切点处的斜率为，
∴即m2m，
解得2（舍去），
∴切点B（8，8），又F（2，0），
∴直线BF的斜率为，
故选：D．

题型四. 过x轴定点问题
1．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是　　．
【解答】解：设直线AB的方程为：x＝ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），
x＝ty+m代入y2＝x，可得y2﹣ty﹣m＝0，根据韦达定理有y1•y2＝﹣m，
∵，∴x1•x2+y1•y2＝2，从而（y1•y2）2+y1•y2﹣2＝0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y1•y2＝﹣2，故m＝2．
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，
又F（，0），
∴S△BFO+S△AFO••y1••|y2|
当且仅当y1，即y1时，取“＝”号，
∴△BFO与△AFO面积之和的最小值是，
故答案为：
2．已知抛物线C方程为x2＝4y，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则|AP|•|BQ|的取值范围为（　　）
A． B．[2，+∞） C．（2，+∞） D．[0，2）
【解答】解：由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F（0，1），则l：y＝kx+1．
设A（x1，），B（x2，），由消去y得，x2﹣4kx﹣4＝0，
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．
由于抛物线C也是函数yx2的图象，且y′x，则PA：yx1（x﹣x1）．
令y＝0，解得xx1，∴P（x1，0），从而|AP|．
同理可得，|BQ|，
∴|AP|•|BQ|2 ．
∵k2≥0，∴|AP|•|BQ|的取值范围为[2，+∞）．
故选：B．

题型五. 切线问题
3．已知点A（3，﹣2）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|＝（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为，
∵点A（3，﹣2）在准线上，∴即p＝4，抛物线的方程为x2＝8y即．
设点B的坐标为，m＞0，
对求导可得，，∴直线AB的斜率为，
由A（3，﹣2）、B可知，，解之得，m＝8或﹣2（舍负），
∴点B（8，8），
由抛物线的定义可知，|BF|＝810．
故选：C．


课后作业. 抛物线
1．已知点M（1，2），点P在抛物线y2＝8x上运动，点Q在圆（x﹣2）2+y2＝1上运动，则|PM|+|PQ|的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），准线l：x＝﹣2，
圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心为F（2，0），半径r＝1，
过点P作PB垂直于准线l，垂足为B，抛物线的定义可知|PB|＝|PF|，
则|PM|+|PQ|≥|PM|+|PF|﹣r＝|PM|+|PB|﹣1，
当点M，P，B三点共线时，|PM|+|PB|取得最小值，
所以|PM|+|PQ|≥|PM|+|PB|﹣1≥（1+2）﹣1＝2，
即有|PM|+|PQ|取得最小值2．
故选：A．

2．已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，若抛物线C上存在一点B使，则|AB|＝（　　）
A． B．8 C． D．4
【解答】解：由抛物线的方程可得：焦点坐标F（4，0），准线方程为x＝﹣4，所以A（﹣4，0），
过B作BB'垂直于准线交于B'，由抛物线的性质可得|BF|＝|BB'|，
因为|AB|，所以|AB||BB'|，所以可得∠B'AB＝45°，
进而可得∠BAO＝45°，所以直线AB的方程为：y＝x+4，代入抛物线的方程可得，整理可得y2﹣16y+64＝0，解得y＝8，
代入直线可得x＝4，即B（4，8），所以|BF|＝8，
所以|AB|＝8，
故选：A．

3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：把x2＝2py（p＞0）代入双曲线（a＞0，b＞0），
可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，
∴yA+yB，
∵|AF|+|BF|＝4|OF|，∴yA+yB+24，
∴p，
∴．
∴该双曲线的渐近线方程为：y＝±．
故选：A．
4．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，直线l：3x﹣4y+4＝0与抛物线C和圆x2+y2﹣2y＝0从左至右的交点依次为A、B、E、F，则抛物线C的方程为　x2＝4y　，　16　．
【解答】解：由抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，得，即p＝2．
∴抛物线C的方程为x2＝4y；
圆x2+y2﹣2y＝0为x2+（y﹣1）2＝1，
则圆心与抛物线的焦点M重合，圆的半径为1．
如图，

联立，得4y2﹣17y+4＝0．
解得：，yF＝4．
∴|AB|＝|AM|﹣1＝|AA1|﹣1；
|EF|＝|MF|﹣1＝|FB1|﹣1＝4，
则．
故答案为：x2＝4y；16．
5．焦点为F的抛物线C：x2＝4y的准线与坐标轴交于点A，点P在抛物线C上，则的最大值为　　．
【解答】解：由题意可得，焦点F（0，1），A（0，﹣1），准线方程为y＝﹣1
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，
则，∠PAM为锐角．
故当∠PAM最小时，则最大，
故当PA和抛物线相切时，最大
可设切点P（a，），
则PA的斜率为k，
而函数y的导数为y′，
则有，解得a＝±2，可得P（2，1）或（﹣2，1），
则|PM|＝2，|PA|＝2，
即有sin∠PAM，
则，
故答案为：

6．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于点A、B，交准线于点P，交y轴于点Q，若，则弦长|AB|＝　　．
【解答】解：设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，∴，
把x＝﹣1代入y＝k（x﹣1）得y＝﹣2k，∴P（﹣1，﹣2k），
把x＝0代入y＝k（x﹣1）得y＝﹣k，∴Q（0，﹣k），
∵，∴（1，k）＝（x2﹣1，y2），解得，
∵点B在抛物线上，∴，∴，
而，
由抛物线的定义可知，|AB|．
故答案为：．

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日期：2021/8/20 23:36:22；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067