新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题14计数原理 14.1排列组合（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题14计数原理 14.1排列组合（含解析），共16页。试卷主要包含了1 排列组合， 两种计数原理， 排列组合，求解排列应用问题的6种主要方法等内容，欢迎下载使用。
专题十四 《计数原理》讲义
14.1 排列组合
知识梳理.排列组合
1. 两种计数原理：
(1) 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
(2) 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
2. 排列组合
（1）排列、组合的定义
①排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
②组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
（2）排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝＝
性质
A＝n！，0！＝1
C＝1，C＝C，C＋C＝C
3.求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
题型一. 两种计数原理
1．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（　　）
A．18个 B．15个 C．12个 D．9个
【解答】解：设满足题意的“六合数”为，则a+b+c＝4，于是满足条件的a，b，c可分以下四种情形：
（1）一个为4，两个为0，共有3种；
（2）一个为3，一个为1，一个为0，共有6种；
（3）两个为2，一个为0，共有3种；
（4）一个为2，两个为1，共有3种．
则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15种．
故选：B．
2．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有　96　．
【解答】解：根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法，
其他4个工程队分别对应4个子项目，有A44种情况，
根据乘法原理，分析可得有C41A44＝96种情况；
故答案为：96．
3．在编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有　20　种．
【解答】解：设两个不同的小球为A、B，当A放入1号盒或者6号盒时，B有4种不同的放法；
当A放入2，3，4，5号盒时，B有3种不同的放法，
一共有4×2+3×4＝20种不同的放法．
故答案为：20．
4．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法（　　）

A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
【解答】解：根据题意，首先涂A有C41＝4种涂法，则涂B有C31＝3种涂法，
C与A、B相邻，则C有C21＝2种涂法，
D只与C相邻，则D有C31＝3种涂法．
所以，共有4×3×2×3＝72种涂法，
故选：A．
5．（2018•新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　16　种．（用数字填写答案）
【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42＝12，2女1男，有C22C41＝4
根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，
方法二，间接法：C63﹣C43＝20﹣4＝16种，
故答案为：16
6．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（　　）
A．484 B．472 C．252 D．232
【解答】解：根据题意，不考虑限制条件，从16张卡片中任取3张有C163种情况，
其中如果取出的3张为同一种颜色，有4C43种情况，
如果取出的3张有2张红色的卡片，有C42C121种情况，
则满足条件的取法有C163﹣4C43﹣C42C121＝560﹣16﹣72＝472种；
故选：B．
7．（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（　　）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有66对，
同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，
不满足题意的共有：3×6＝18．
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18＝48．
故选：C．
8．（2016•新课标Ⅱ）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）

A．24 B．18 C．12 D．9
【解答】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．
同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．
故选：B．

题型二. 特殊元素、特殊位置优先策略
1．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（　　）
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
【解答】解：由题意知甲的位置影响乙的排列
∴要分两类：一类为甲排在第一位共有A44＝24种，
另一类甲排在第二位共有A31A33＝18种，
∴故编排方案共有24+18＝42种，
故选：B．
2．5名学生站成一排照相，甲不站排头、乙不站排尾的站法种数是　78　．
【解答】解：甲不站排头，乙不站排尾排法计数可分为两类，第一类甲在末尾，排法有A44，
第二类甲不在末尾，先排甲，有A31种方法，再排乙有A31种方法，剩下的四人有A33种排法，故有A31×A31×A33种方法，
由此，总排法有A44+A31×A31×A33＝78种，
故答案为：78．
3．甲、乙、丙三人值日，从周一至周六，每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出的不同值日表有　42　种．
【解答】解：法一：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，
根据题意分两类
当甲排在星期六，有C41C42＝24种排法．
当甲不排在星期六，有C42C32＝18种排法
∴值班方案种数为24+18＝42种
故答案为：42
法二：先做出所有的没有限制的排列数，共有C62•C42种结果，
而不满足条件的有甲在周一，乙在周六，共有2C51C42种结果，
其中多减去了乙在周六且甲在周一，共有C41C31种结果，
得到符合条件的结果数有C62•C42﹣2C51C42+C41C31＝42

题型三. 捆绑法、插空法
1．（2004•重庆）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；
满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：
①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；
②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；
③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．
根据分步计数原理（乘法原理），共有A33•A66•A72种方法．
∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），
而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：．
故选：B．
2．（2014•北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有　36　种．
【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有248种摆法，
又当A、B相邻又满足A、C相邻，有212种摆法，
故满足条件的摆法有48﹣12＝36种．
故答案为：36．
3．（2012春•长安区校级期中）某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（　　）
A．504 B．210 C．336 D．120
【解答】解：∵由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，
∴三个新节目一个一个插入节目单中，
原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，
原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果
根据分步计数原理得到共有插法种数为7×8×9＝504，
故选：A．
4．（2014•重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（　　）
A．72 B．120 C．144 D．168
【解答】解：分2步进行分析：
1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33＝6种情况，排好后，有4个空位，
2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须都安排节目，
分3种情况讨论：
①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22＝4种情况，
排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是4×2＝8种；
②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22＝2种情况，
相声类节目放在2端，有2种情况，
此时有4种安排方法；
③将中间2个空位安排3个节目，
将一个小品类节目和相声类节目作为一个整体放在其中一个空位，剩下一个空位安排另一个小品类节目，
此时有C21×2×2＝8种安排方法，
则中间空位的安排方法有8+4+8＝20种，
则同类节目不相邻的排法种数是6×20＝120种，
故选：B．

题型四. 不同元素分组问题
1．（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【解答】解：4项工作分成3组，可得：6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：636种．
故选：D．
2．（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（　　）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有2种选法；
第二步，为甲地选两个学生，有6种选法；
第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法
故不同的安排方案共有2×6×1＝12种
故选：A．
3．（2017春•黄梅县校级期中）将4位大学生分配到A，B，C三个工厂参加实习活动，其中A工厂只能安排1位大学生，其余工厂至少安排1位大学生，且甲同学不能分配到C工厂，则不同的分配方案种数是　15　．
【解答】解：甲同学不能分配到C工厂，则甲可以放在A，B工厂，
第一类，甲到A工厂，另外3人到B，C工厂，且只能是一个工厂2人，另外一个1人，故有A32＝6种，
第二类，甲到B工厂，再分两类，一是，其余3人到A，C两个工厂，而A工厂只能安排1位大学生，一共有3种分配方法，二是另外3人分别分到A，B，C工厂，故有A33＝6，
根据分类计数原理，故有6+3+6＝15种，
故答案为：15．

题型五. 相同元素分组问题——隔板法
1．某校准备召开高中毕业生代表会，把6个代表名额分配给高三年级的3个班，每班至少一个名额，不同的分配方案共有　10　种．
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
所有分配方法可分为：2、2、2只有一种；
3、2、1有3×2×1＝6种；
4、1、1有三种．
∴共有1+6+3＝10种．
故答案为：10
2．有20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，共有　120　种不同的放法．
【解答】解：根据题意，先在编号为2的盒子中依次放入1个小球，编号为3的盒子中依次放入2个小球，还剩余17个小球，只需将这17个小球放入3个小盒，每个小盒至少一个即可，
17个小球之间共16个空位，从中选2个，插入挡板即可，则有C162＝120种不同的放法，
故答案为：120．
3．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则共有　18　种不同放法．
【解答】解：先考虑每个盒子中至少有1个小球，
用挡板法，9个球中间8个空，插入两个板，共有C82＝28种，
其中每个盒子中的小球个数都相同时，有1种放法；
两个盒子中的小球个数都相同时，包括：1、1、7；2、2、5；4、4、1，三种情况，每种情况各有3种放法，共9种放法；
所以不同的放法共有28﹣1﹣9＝18种放法；
故答案为18．

题型六.错位排列
1．将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有　12　种．
【解答】解：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，
当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：
当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
因此，不同的放球方法有12种．
故答案为：12．
2．5位顾客将各自的帽子放在衣架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则没有一个人拿到自己帽子的概率为　　．
【解答】解：5位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，共有A55＝120种方法，对5位顾客编号为1，2，3，4，5，则第1个人有4种方法，不妨取到2号，则2号顾客可以取到1，3，4，5；2号取到1号时，方法有2种，2号取到3，4，5时，各有3种，共11种，总共4×11＝44种情况，故5人拿的都不是自己帽子的概率P．
故答案为：．
3．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有　135　种（用数字回答）．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，有C62＝15种情况，
②、假设不坐自己位置的4人为A、B、C、D，
A不坐自己的位置，有3种坐法，
假设A坐在了B的位置，B有3种坐法，
剩下C、D，只有一种坐法，
则剩下4人不坐自己的位置，有3×3＝9种情况，
故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有15×9＝135种；
故答案为：135．

题型七. 数字排列
1．（2018•浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成　1260　个没有重复数字的四位数．（用数字作答）．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①，从0，2，4，6中取出的2个数字中没有0，有C32＝3种取法，
从1，3，5，7，9中任取2个数字，有C52＝10种取法，
再将选出的4个全排列，安排在4个数位，有A44＝24种情况，
一共可以组成3×10×24＝720个没有重复数字的四位数；
②，从0，2，4，6中取出的2个数字中含有0，有C31＝3种取法，
从1，3，5，7，9中任取2个数字，有C52＝10种取法，
0不能在千位位置，其它3个数字任意排列，有3×A33＝18种情况
一共可以组成3×10×18＝540个没有重复数字的四位数；
故一共可得组成720+540＝1260个没有重复数字的四位数；
故答案为：1260．
2．（2005•黑龙江）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有　192　个．
【解答】解：六个数字组成没有重复数字的四位数共A64
由于0不能排第一位，要去掉A53
不5整除可以看做总数减去能被5整除的数当个位是0或5时，这四位数就能被5整除．当个位是0时有A53
当个位是5时有A53﹣A42
∴共有A64﹣3×A53+A42＝192，
故答案为：192．
3．（2005•辽宁）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有　576　个．（用数字作答）
【解答】解：首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有A33种结果，
这三个元素形成四个空，把7和8 在这四个位置排列有A42种结果，
三对相邻的元素内部各还有一个排列A22，
根据分步计数原理得到这种数字的总数有A33A42A22A22A22＝576，
故答案为：576．

题型八. 涂色问题
1．（2003·全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　72　种．（以数字作答）

【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33＝24种
4色全用时涂色方法：C21•A44＝48种
所以不同的着色方法共有72种．
故答案为：72
2．如图所示，用不同的五种颜色分别为A，B，C，D，E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则复合这些要求的不同着色的方法共有（　　）
A
B
C
D
E
A．500种 B．520种 C．540种 D．560种
【解答】解：先涂A，则A有5种涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有4种涂法，
同理C有3种涂法，D有3种涂法，E有3种涂法，
由分步乘法计数原理可知，复合这些要求的不同着色的方法共有为5×4×3×3×3＝540，
故选：C．
3．对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有　30　种（用数字作答）．
【解答】解：由题意知本题是一个分步和分类计数问题，
最短边选取一种颜色有3种情况．
如果最短边的两个邻边颜色相同有2种情况；
这时最后两个边也有2种情况．
如果最短边的两个邻边颜色不同有2种情况；
这时最后两个边有3种颜色．
∴方法共有3（2×2+2×3）＝30种．
故答案为：30

课后作业. 排列组合
1．某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选5个进行游览，如果A、B、C为必选城市，并且游览过程中必须按照先A后B再C的次序经过A、B、C三个城市（A、B、C三个城市可以不相邻），则不同的游览线路共有（　　）
A．80种 B．120种 C．480种 D．600种
【解答】解：已知ABC必选，从剩下的4个城市中，再抽取2个，有6种不同情况，
此时5个城市已确定，将其全排列，可得共120种情况，
又由A、B、C顺序一定，则根据分步计数原理，
可得不同的游览线路有120．
故选：B．
2．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
【解答】解：分3步进行分析，
①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，
②、两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，
③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法，
则共有2×2×6＝24种排法，
故选：B．
3．中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序．且要求宫，羽两音阶在角音阶的同侧，可排成多少种这样的不同音序（　　）
A．120 B．90 C．80 D．60
【解答】解：由题意，可看作五个位置排列五种事物；
若角排在第一位，则宫，羽两音阶可以排在2345当中的任意位置，共：24种排法；
若角排在第二位，则宫，羽两音阶可以排在345当中的任意位置，共：12种排法
若角排在第三位，则宫，羽两音阶可以排在12也可以是45当中的任意位置，共：28种排法
若角排在第四位，则宫，羽两音阶可以排在123当中的任意位置，共：12种排法
若角排在第五位，则宫，羽两音阶可以排在1234当中的任意位置，共：24种排法
∴共有：24+12+8+12+24＝80
故选：C．
4．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 　120　种．
【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：
（1）当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有种；
（2）当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有种；
（3）当甲在第三位，前两位分为是丙丁和不是丙丁两种情况，共种，
因此共48+36+36＝120种．
故答案为：120．
5．由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（　　）
A．300 B．338 C．600 D．768
【解答】解：若1排在首位或个位，则6的位置即可固定，则有A21A41A44＝192种，
若1不排在首位或个位，先把1和6捆绑在一起看做一个复合元素，从2，3，4，5从选2个数字排在首位和个位，其余3个数字和复合元素全排列，故有A22A42A44＝576种，
根据分类计数原理可得，共有192+576＝768，
故选：D．
6．在重庆东北部有五个区县如图，请你用4种不同的颜色为每个区县涂色，要求相邻区县不同色，共有　72　种不同的涂法（用具体数字作答）

【解答】解：对于开州有4种涂色的方法，
对于云阳有3种涂色方法，
对于万州有2种涂色方法，
对于奉节：若万州与巫溪颜色相同，则有2种涂色方法，
若万州与巫溪颜色不相同，则只有1种涂色方法，
根据分步、分类计数原理，则共有4×3×2×（2+1）＝72种方法．
故答案为：72