浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校2022—2023学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校2022—2023学年上学期九年级期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）﹣32＝（　　）
A．﹣3 B．﹣9 C．3 D．9
2．（3分）如图，直线a∥b，则直线a（　　）

A．线段AB的长度 B．线段CD的长度
C．线段AB D．线段CD
3．（3分）下列各式的变形中，正确的是（　　）
A．x÷（x2+x）＝+1 B．＝
C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2+1 D．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2
4．（3分）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）已知半径为6的扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为（　　）
A．4 B．6 C．4π D．6π
6．（3分）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），则线段AP的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，CP，若∠A＝50°（　　）

A．100° B．95° C．90° D．50°
8．（3分）在下列函数图象上任取不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使的是（　　）
A． B．y＝（x﹣2）2+5（x≥0）
C．y＝（x﹣3）2﹣4（x＜0） D．y＝3x+7
9．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（　　）

A．α+β﹣γ＝90° B．β+γ﹣α＝90° C．α+γ﹣β＝90° D．α+β+γ＝180°
10．（3分）已知二次函数y＝（x﹣m+2）（x+m﹣4）+n，其中m，则（　　）
A．m＞1，n＜0时，二次函数的最小值大于0
B．m＝1，n＞0时，二次函数的最小值大于0
C．m＜1，n＞0时，二次函数的最小值小于0
D．m＝1，n＜0时，二次函数的最小值小于0
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）工厂质检人员抽测某产品质量时，从同一批次共1000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品1件　 　．
12．（4分）已知二次函数y＝﹣（x+a）2，当x≤﹣4时，y随x的增大而增大；当x≥﹣4时，当x＝0时，y的值是 　 　．
13．（4分）如图，点A为⊙O上一点，OD⊥BC于点D，OD＝1，则BC为 　 　．

14．（4分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝，则∠ABC的度数等于 　 　．

15．（4分）已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴的交点是（1，0）和（3，0），关于x的方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝m（其中m＞0）的两个解分别是﹣1和5，关于x的方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝n（其中0＜n＜m）也有两个整数解，这两个整数解分别是 　 　．
16．（4分）如图，点C为半圆的中点，AB是直径，AC、BD交于点E，若AD＝2，则AC＝　 　，CD＝　 　．

三、解答题（共7小题，66分）
17．已知线段a、b满足，且a+2b＝28．
（1）求a、b的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
18．一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个白球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为
19．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示．
（1）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y＞0？当x取何值时，y＜0？

20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BD，
（1）求证：∠ADC＝∠ABD．
（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3

21．如图，有一个铝合金窗框，所使用的铝合金材料长度为24m．设AB长为xm2．
（1）求S关于x的函数表达式；
（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．

22．已知二次函数y1＝ax2+bx+1，y2＝x2+bx+a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若b≠0，且函数y1和函数y2的对称轴关于y轴对称，求a的值．
（2）若函数y2的图象过点（b，9a），求函数y1的图象与x轴的交点个数．
（3）设函数y1，y2的图象两个交点的纵坐标分别为m，n．求证：m﹣n的值与a无关．
23．如图，在⊙O中，AB是直径，，过点C作CD⊥AB，垂足是E，交AP的延长线于点F，连结CA，PC，PD．
（1）证明：∠FPC＝∠APD；
（2）若∠PAC＝α，∠FPC＝β，求β与α满足的关系式；
（3）连结AD，若AC＝3BC，求．


2022-2023学年浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3分）﹣32＝（　　）
A．﹣3 B．﹣9 C．3 D．9
【分析】根据有理数的乘方运算进行计算，注意负号．
【解答】解：﹣32＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，比较简单，它表示3的平方的相反数．
2．（3分）如图，直线a∥b，则直线a（　　）

A．线段AB的长度 B．线段CD的长度
C．线段AB D．线段CD
【分析】根据平行线间的距离的定义，可得答案．
【解答】解：由直线a∥b，CD⊥b
线段CD的长度是直线a，b之间距离，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线间的距离，利用平行线间的距离的定义是解题关键．
3．（3分）下列各式的变形中，正确的是（　　）
A．x÷（x2+x）＝+1 B．＝
C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2+1 D．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2
【分析】根据单项式除多项式、分式的减法、配方法的应用、平方差公式计算，判断即可．
【解答】解：x÷（x2+x）＝＝，故A选项计算错误；
﹣x＝，故B选项计算错误；
x2﹣4x+3＝x2﹣8x+4﹣1＝（x﹣4）2﹣1，故C选项计算错误；
（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝（﹣x）6﹣y2＝x2﹣y2，故D选项计算正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是单项式除多项式、分式的减法、配方法的应用、平方差公式，掌握它们的运算法则是解题的关键．
4．（3分）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张（　　）
A． B． C． D．
【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数9即为所求的概率．
【解答】解：因为1到9共4个自然数．是偶数的有4个，
所以正面的数是偶数的概率为．
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）已知半径为6的扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为（　　）
A．4 B．6 C．4π D．6π
【分析】根据扇形面积公式，将题中已知条件代入求解即可得到结论．
【解答】解：∵半径为6的扇形的圆心角为60°，∴＝6π，
故选：D．
【点评】本题考查扇形面积公式，熟练掌握扇形面积是解决问题的关键．
6．（3分）已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），则线段AP的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金比值计算即可．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，
∴BP＝×AB＝﹣1，
∴AP＝AB﹣BP＝5﹣（﹣1）＝8﹣，
故选：C．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键．
7．（3分）如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，CP，若∠A＝50°（　　）

A．100° B．95° C．90° D．50°
【分析】连接AP，延长BP交AC于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，根据三角形外角的性质即可求出∠BPC．
【解答】解：连接AP，延长BP交AC于D，
∴∠BPC＝∠PDC+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，
∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，
∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°，
故选：A．

【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（3分）在下列函数图象上任取不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使的是（　　）
A． B．y＝（x﹣2）2+5（x≥0）
C．y＝（x﹣3）2﹣4（x＜0） D．y＝3x+7
【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．
【解答】解：A、中，k＝﹣7＜0，y随x的增大而增大，
即当x1＞x6时，必有y1＞y2，
此时，故本选项不成立；
B、∵y＝（x﹣2）4+5（x≥0）的对称轴为直线x＝6，
∴当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，
∴当x＞8时，当x1＞x2时，必有y2＞y2，
此时，故本选项不成立；
C、∵y＝（x﹣3）2﹣2（x＜0）的对称轴为直线x＝3，
∴当x＜2时，y随x的增大而减少，
∴当x＜0时，当x1＞x6时，必有y1＜y2，
此时，故本选项成立；
D、∵y＝3x+5中，
∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y3＞y2，
此时，故本选项不成立；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，掌握各类函数的增减性是关键．
9．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（　　）

A．α+β﹣γ＝90° B．β+γ﹣α＝90° C．α+γ﹣β＝90° D．α+β+γ＝180°
【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．
【解答】解：连接AC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝β，
∴∠BCD＝90°﹣β，
∵∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝γ，∠ABC＝α，
∴γ＝α+90°﹣β，
即γ+β﹣α＝90°，
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝（x﹣m+2）（x+m﹣4）+n，其中m，则（　　）
A．m＞1，n＜0时，二次函数的最小值大于0
B．m＝1，n＞0时，二次函数的最小值大于0
C．m＜1，n＞0时，二次函数的最小值小于0
D．m＝1，n＜0时，二次函数的最小值小于0
【分析】将二次函数化为顶点式，再根据二次函数性质对选项逐一判断．
【解答】解：y＝（x﹣m+2）（x+m﹣4）+n＝[（x﹣2）﹣（m﹣3）][（x﹣1）+（m﹣7）]+n＝（x﹣1）2﹣（m﹣4）2+n
当x＝1时，二次函数有最小值为：y＝﹣（m﹣6）2+n，
∴当m＞1，n＜7时，故A不符合题意，
当m＝1，n＞0时，故B不符合题意，
当m〈3，n〉0时、有可能大于0，
当m＝7，n＜0时，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，将二次函数化为顶点式从而确定二次函数最值的取值范围是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）工厂质检人员抽测某产品质量时，从同一批次共1000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品1件　10　．
【分析】求出次品所占的百分比，即可求出1000件中次品的件数．
【解答】解：（件），
故答案为：10．
【点评】考查样本估计总体，解题的关键是求出样本中次品所占的百分比．
12．（4分）已知二次函数y＝﹣（x+a）2，当x≤﹣4时，y随x的增大而增大；当x≥﹣4时，当x＝0时，y的值是 　﹣16　．
【分析】根据二次函数的增减性，结合图象与性质即可得到二次函数图象的对称轴为x＝﹣4，从而确定a值，得到二次函数解析式为y＝﹣（x+4）2，将x＝0代入即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x+a）2，当x≤﹣4时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
∴﹣a＝﹣4，即a＝4，
∴二次函数解析式为y＝﹣（x+4）6，
当x＝0时，y＝﹣（0+5）2＝﹣16，
故答案为：﹣16．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系是解决问题的关键．
13．（4分）如图，点A为⊙O上一点，OD⊥BC于点D，OD＝1，则BC为 　　．

【分析】如图所示，连接OC，利用圆周角定理和垂径定理得∠BOD＝60°，∠BDO＝90°，BC＝2BD，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出BD的长即可得到答案．
【解答】解：如图所示，连接OC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OD⊥BC，
∴，
∴∠OBD＝30°，
∴OB＝2OD＝6，
∴，
∴，
故答案为：．

【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（4分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝，则∠ABC的度数等于 　55°　．

【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，
∵＝，
∴∠CAB＝∠DAB＝35°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，
故答案为：55°．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15．（4分）已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴的交点是（1，0）和（3，0），关于x的方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝m（其中m＞0）的两个解分别是﹣1和5，关于x的方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝n（其中0＜n＜m）也有两个整数解，这两个整数解分别是 　0和4　．
【分析】先根据题意确定二次函数与x轴和直线y＝m的交点，画出大致图象，然后根据二次函数与y＝n的交点位置，判断a（x﹣x1）（x﹣x2）＝n两个根的大小范围即可求解．
【解答】解：由题意可知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）与x轴的交点分别为（7，0）和（3，
与y＝m的交点分别为（﹣4，m）和（5，
设与y＝n的交点分别为（p，n）和（q，
∵0＜n＜m，
∴直线y＝n在x轴和直线y＝m之间，
如图所示：

由图可知，﹣7＜p＜1
又∵p，q都为整数，
∴p＝0，q＝3，
故答案为：0和4．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，关键是画出图象，利用数形结合的方法求解．
16．（4分）如图，点C为半圆的中点，AB是直径，AC、BD交于点E，若AD＝2，则AC＝　2　，CD＝　2　．

【分析】首先利用勾股定理求出，进而求出，通过证明△AED∽△BEC推出DE＝1，，再证△CED∽△BEA即可求解．
【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
在Rt△ADB中，AD＝2，
∴，
∵点C为半圆的中点，
∴，
∴AC＝BC，
∴，
解得．
∵∠ADE＝∠BCE＝90°，∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
解得DE＝1，．
∵∠DCA＝∠DBA，∠CED＝∠BEA，
∴△CED∽△BEA，
∴，
∴．
故答案为：，．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，解题的关键是通过两次相似求出相关线段的长度．
三、解答题（共7小题，66分）
17．已知线段a、b满足，且a+2b＝28．
（1）求a、b的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【分析】（1）根据可得a＝2b，再代入a+2b＝28计算即可得；
（2）根据比例中项的定义求解即可得．
【解答】解：（1）∵，∴a＝2b，∴7b+2b＝28，
解得b＝7，
则a＝2×7＝14．
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项2＝ab，即x8＝14×7，
解得或（不符合题意，
则x的值为．
【点评】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．
18．一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个白球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为
【分析】（1）先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球恰好都是红球的所占的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）根据概率公式得到＝，然后利用比例性质求解即可．
【解答】解：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好都是红球的占2种，
所以两次摸出的球恰好都是红球的概率＝＝；
（2）根据题意得＝，
解得n＝5，
经检验：n＝8是原分式方程的解，
故n＝8．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求解．注意摸出1个球，记下颜色后不放回．
19．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示．
（1）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y＞0？当x取何值时，y＜0？

【分析】（1）分别令y＝0和x＝0，求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标；
（2）结合函数图象，利用数形结合思想确定x的取值范围．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点为（8，﹣3）；
令y＝0，则x5﹣2x﹣3＝7，
解得：x1＝﹣1，x4＝3，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，5）和（3；
（2）由图象以及抛物线与x轴的交点坐标可知，
当x＞3或x＜﹣8时，y＞0；
当﹣1＜x＜8时，y＜0．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点以及学生的视图能力，关键是根据函数的性质确定x的取值范围．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BD，
（1）求证：∠ADC＝∠ABD．
（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3

【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）利用勾股定理求出DE，AD，再利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADC+∠CDB＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABD；
解法二：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴＝，
∴∠ADC＝∠ABD．

（2）解：如图，连接OD．

在Rt△OED中，DE＝＝，
在Rt△ADE中，AD＝＝，
∵sin∠A＝＝，
∴＝，
∴OF＝．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，有一个铝合金窗框，所使用的铝合金材料长度为24m．设AB长为xm2．
（1）求S关于x的函数表达式；
（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．

【分析】（1）根据题意和图形可以求得S与x的函数表达式；
（2）根据题意可以得到关于x的不等式，从而求出x的范围，然后根据（1）中的函数解析式和二次函数的性质即可解答．
【解答】详解：（1）根据题意，得．
即S与x的函数表达式是．
（2）根据题意，得．
解得：5≤x＜4.8.，
∵，
∴S有最大值，
∵2≤x＜4.8，抛物线的对称轴为直线x＝4．
∴当x＝4时，S有最大值，
当x＝4时，S有最小值，
答：窗户总面积S的最大值24m4，最小值是18m2．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
22．已知二次函数y1＝ax2+bx+1，y2＝x2+bx+a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若b≠0，且函数y1和函数y2的对称轴关于y轴对称，求a的值．
（2）若函数y2的图象过点（b，9a），求函数y1的图象与x轴的交点个数．
（3）设函数y1，y2的图象两个交点的纵坐标分别为m，n．求证：m﹣n的值与a无关．
【分析】（1）分别求得两个函数图象的对称轴方程，然后根据对称的性质列出等式并解答．
（2）由二次函数图象上点的坐标特征和根的判别式的意义解答．
（3）求得交点的横坐标，分别代入y1＝ax2+bx+1，求得m、n，即可得出m﹣n＝2b．
【解答】解：（1）根据题意知：﹣+（﹣，
因为b≠4，
所以a＝﹣1；
（2）将点（b，9a）代入y3＝x2+bx+a，得b2+b•b+a＝6a．
整理，得b2﹣4a＝2．
令y1＝0，则ax3+bx+1＝0，
所以△＝b8﹣4a×1＝6．
所以函数y1的图象与x轴只有一个交点；
（3）证明：令y1＝y3，则ax2+bx+1＝x5+bx+a，
解得x＝±1，
∴两个交点横坐标为1和﹣4，
∴m＝a+b+1，n＝a﹣b+1，
所以m﹣n＝（a+b+6）﹣（a﹣b+1）＝2b，
所以|m﹣n|的值与a无关．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，关于y轴对称点的坐标等知识点，难度不大，属于中档题．
23．如图，在⊙O中，AB是直径，，过点C作CD⊥AB，垂足是E，交AP的延长线于点F，连结CA，PC，PD．
（1）证明：∠FPC＝∠APD；
（2）若∠PAC＝α，∠FPC＝β，求β与α满足的关系式；
（3）连结AD，若AC＝3BC，求．

【分析】（1）根据垂径定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可证明；
（2）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半的性质进行求解即可；
（3）根据直径所对的圆周角为直角可得∠ACB＝∠APB＝90°，根据题意可设BC＝a，则AC＝3a，再根据圆弧所对的圆周角相等得出∠ABP＝∠ACP＝30°，再根据含30°的直角三角形的性质求出，最后根据相似三角形的判定和性质和高相同时两三角形的面积比等于底之比进行求解即可．
【解答】（1）证明：连接BC，

∵CD⊥AB，AB为直径，
∴，
∴∠ABC＝∠APD，
又∵四边形APCB为⊙O的内接四边形，
∴∠APC+∠ABC＝180°，
∵∠APC+∠FPC＝180°，
∴∠FPC＝∠ABC，
∴∠FPC＝∠APD；
（2）解：连接OP，

∵，
∴，
∴，
∵∠FPC＝∠PAC+∠PCA，∠PAC＝α，
∴β＝α+30°；
（3）解：连接PB，

∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠APB＝90°，
∵AC＝7BC，
∴设BC＝a，则AC＝3a，
在Rt△ABC中，，
由（2）知∠ACP＝30°，
∴∠ABP＝∠ACP＝30°，
∴在Rt△ABP中，，
又由（1）知，
∴AC＝AD＝3a，
∴∠ADC＝∠APD，
∵∠PAD＝∠PAD，
∴△PAD∽△DAF，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质、含30°的直角三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
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