中考数学专项训练（9）三角形中常见模型含解析答案

这是一份中考数学专项训练（9）三角形中常见模型含解析答案，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
中考数学专项训练（9）三角形中常见模型
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）．

A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（  ）

A．360º B．250º C．180º D．140º
3．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ）

A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
4．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为　　

A． B． C． D．
5．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　）

A．240° B．280° C．360° D．540°
6．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）．

A． B． C． D．
7．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（    ）

A．90° B．360° C．180° D．无法确定
8．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）．

A． B． C． D．
9．如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（　　）

A．115° B．120° C．125° D．130°
10．如图所示，在中，的平分线相交于点F，若且∠ABC=42°，，则等于（    ）．

A． B． C． D．
11．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（    ）．

A． B． C． D．
12．如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ）

A．20° B．30° C．40° D．50°
13．如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（    ）．

A． B． C． D．无法确定

二、填空题
14．如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ．

15．如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ．

16．如图，若，则 ．

17．如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则 ．

18．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则 ．

19．如图，把纸片沿折叠，使点落在图中的处，若，，则的大小为 .

20．如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ．


三、解答题
21．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．

22．如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．

23．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．

24．如图所示，已知四边形，求证．

25．如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；
②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）
③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．
26．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：．

（2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：．

（3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：．

27．直线与直线垂直相交于点O，点A在直线上运动，点B在直线上运动．

（1）如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．
（2）如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的度数．
（3）如图3，延长至G，已知的角平分线与的角平分线及反向延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，则的度数为____（直接写答案）

参考答案：
1．D
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
2．B
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．
【详解】解：∵△ABC中，∠C=70°，
∴∠A+∠B=180°-∠C，
∴∠1+∠2=360°-110°=250°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键．
3．D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
4．C
【详解】∵如图可知，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
故选．
点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此题难度不大．
5．A
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．
【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，
∴∠2+∠3=120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，
∵∠B+∠C=120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故选A．

【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．
6．C
【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴40°-90°=50°
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
7．C
【详解】如图，连接BC，
∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，
∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，
又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．
故选：C．

8．B
【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，

∵
∴
同理得
∵
∴


∵
∴
∴

∴,
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．
9．D
【详解】∵BE为△ABC的高，∠BAC=50°，
∴∠ABE=90°-50°=40°，
∵CF为△ABC的高，
∴∠BFC=90°，
∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．
故选D．
10．B
【分析】由∠ABC=42°，∠A=60°，根据三角形内角和等于180°，可得∠ACB的度数，又因为∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD，所以可以求得∠FBC和∠FCB的度数，从而求得∠BFC的度数．
【详解】解：∵．
∴
又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD．
∴，
又∵．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵活变化求出相应问题的答案．
11．B
【分析】根据三角形内角和定理和平角定义证得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根据折叠性质得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，进而求得∠1＋∠2=110°即可求解．
【详解】解：∵∠A＝55°，
∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，
∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，
由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，
∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，
∵∠1＝95°，
∴∠2＝110°－95°＝15°，
故选：B．
【点睛】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键．
12．C
【分析】由折叠的性质可知,再利用平角的定义可求出的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数.
【详解】由折叠的性质可知
∵
∴
∴
故选C
【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键.
13．B
【分析】由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【详解】解：由折叠的性质得：，
根据外角性质得：，，
则，
则．
故选：B．

【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题）以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
14．
【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图

，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
15．61°
【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．
【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案为：61°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
16．230°
【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．
【详解】解：如图

∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案为：230°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．
17．105°
【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD＋∠CDE的度数，从而求出∠PCD＋∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数．
【详解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°，
∴∠BCD＋∠CDE＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°，
∴∠PCD＋∠PDC＝（180°×2−210°）＝75°，
在△CPD中，∠CPD＝180°−（∠PCD＋∠PDC）＝180°−75°＝105°，
故答案为：105°．
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD＋∠CDE的度数是解题的关键．
18．
【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=α．
∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，
根据规律推导，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．
19．32°
【分析】根据折叠性质以及，可知，、、，又∠AED+∠CED=180°，即可求出答案.
【详解】由折叠的性质可知，
又
∴，
根据三角形内角和可得：

∴
故答案为32°.
20．
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【详解】解：，，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
故答案是：．

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
21．见解析
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解：和是的外角，
．
又，
．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
22．90°；65°
【分析】由，可得，根据三角形外角性质可得，因为，即可求得的度数；根据三角形内角和定理可得，即可得的度数．
【详解】解：，
．

．
综上所述：，．
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，解题的关键是找到相应等量关系的角，做题时要结合图形进行思考．
23．（1）360°；（2）720°；（3）540°
【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，
（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，
（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．
【详解】解：（1）如图①，连接AD，
由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如图②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，

【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．
24．见解析
【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；
方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论；
方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】方法1如图所示，连接BC.

在中，，即.
在中，，
；
方法2如图所示，连接AD并延长.

是的外角，
.
同理，.
.
即.
方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.

是的外角，
.
是的外角，
.
.
【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．
25．（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70
【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；
②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由②方法，进而可得答案．
【详解】解：（1）连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．
故答案是：40；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB
∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；
③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，
∴(140﹣x)＋x＝77，
∴14﹣x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A为70°．
故答案是：70．

【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
26．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）设．
由的内角和为，得．①
由的内角和为，得．②
由②得．③
把③代入①，得，
即，
即
（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴
由三角形内角和定理得，，
=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-（∠A+180°），
=90°-∠A；
（3）如图：

∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D
∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A①
在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，
把①代入②得∠D=∠A．
【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．
27．（1）不发生变化，∠AEB=135°；（2）不发生变化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°
【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；
（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，
∴∠CDA+∠DCB=225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE=112.5°，
∴∠CED =67.5°；

（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．
∴∠ABO为60°或45°．
故答案为：60°或45°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．