中考数学专项训练（16）相似三角形常见模型含解析答案

这是一份中考数学专项训练（16）相似三角形常见模型含解析答案，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
中考数学专项训练（16）相似三角形常见模型
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图，在中，，则的长为（    ）．

A． B．8 C．10 D．16
2．如图，在ABCD中，E为BC中点，连接AE交对角线BD于F，BF=2，则FD等于(   )

A．2 B．3 C．4 D．6
3．如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC交于点N、M，则下列式子中错误的是（   ）

A． B． C． D．
4．如图，中，点，分别在，上，，若，，则与的面积之比为（   ）

A． B． C． D．
5．如图，在中，，则的长是（    ）．

A． B．6 C． D．
6．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（　　）

A．AB：AC B．BC：AC
C．AB：BC D．AC：AB
8．如图，在正方形和正方形中，连接，则的值为（    ）．

A．1 B． C． D．
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝3AD，BC＝12，则DE的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）

A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
11．如图，在平行四边形中，点在上，连接并延长与的延长线交于点，若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
12．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（  ）

A． B． C． D．
13．如图，在正方形中，E为的中点，G，F分别为，边上的点．若，则的长为（    ）．

A．2 B．5 C． D．
14．把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
15．如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处．已知，则（    ）

A．13 B．12 C．11 D．10
16．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　）

A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
17．图所示，O为四边形的边的中点，，则的长是（    ）．

A． B．6 C． D．17
18．如图，，交于点O，有下列三个结论：①，②，③．则一定成立的有（    ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
19．如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
20．如图，在中，，是边上的高．

（1）若，则 ；
（2）若，则 ；
（3）若，则 ．
21．如图，菱形ABCD的四个顶点分别在双曲线y＝和y＝上，且对角线相交于原点O，BD＝2AC．平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，则OEF的面积为 ．

22．如图1，是等腰直角三角形，，D，E分别为，上的点，且，把绕点A逆时针旋转（如图2），则的值为 ．

23．如图，在中，，点是边上的一点，于，则边的长为 ．

24．如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则 ．

25．如图，正方形ABCD中，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ．


三、解答题
26．如图，已知在梯形中，，且，P为上的一点，，求的长．

27．如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G．

（1）求证：AE＝BF；（2）若BE＝，AG＝2，求正方形的边长．
28．（1）如图1，菱形的顶点、在菱形的边上，且，请直接写出的结果（不必写计算过程）
（2）将图1中的菱形绕点旋转一定角度，如图2，求；
（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且，此时的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

29．已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．

（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．
30．如图1，在中，，，，点D，E分别为，的中点．绕点C顺时针旋转，设旋转角为（，记直线与直线的交点为点P．

（1）如图1，当时，与的数量关系为_________，与的位置关系为_______；
（2）当时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
（3）绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线距离的最大值．

参考答案：
1．C
【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定证得，可得到，进而求解即可．
【详解】∵∥，
∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴．
∴在中，．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、比例性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
2．C
【分析】先求，再根据相似三角形性质求解.
【详解】∵在▱ABCD中，E为BC中点，
∴AD＝BC，，2BE＝BC＝AD，
∴，
∴，
即，
.
故选C．
【点睛】此题重点考查学生对相似三角形的判定的理解，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
3．D
【详解】试题分析：∵DE∥BC，
∴△ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，
∴，， ，
所以A、B、C正确；
∵DE∥BC，
∴△AEN∽△ACM，
∴，
∴，
所以D错误．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质．注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边成比例．注意数形结合思想的应用．
4．D
【分析】由，易得，利用相似三角形的性质，即可．
【详解】，
，，
，
，
，
，
．
故选择：D．
【点睛】本题考查相似三角形的面积比问题，关键是掌握相似三角形的判定方法，会用方法证明两个三角形相似，掌握相似三角形的性质，会利用性质解决对应线段比、周长比，面积比等问题．
5．B
【分析】先证明，从而可得CD2＝BD•AD，代入求值即可．
【详解】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴，
∴，
∴CD2＝BD•AD=9×4＝36，
∴CD＝6（舍去负值）．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握“母子相似图”模型是解题的关键．
6．B
【详解】试题分析：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故选B．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质．
7．A
【分析】利用旋转的性质得∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，则可判断△ABB′∽△ACC′，然后利用相似三角形的性质可对各选项进行判断．
【详解】解：∵△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，
∴∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，
∴△ABB′∽△ACC′，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．C
【分析】连接BD，BF，先证明，进而即可求解．
【详解】解：连接BD，BF，
∵在正方形和正方形中，
∴，，∠ABD=∠GBF=45°，
∴=，∠ABG=∠DBF，
∴，
∴=，
故选C．

【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造旋转相似模型，是解题的关键．
9．A
【分析】由DE∥BC，可以判断△ADE∽△ABC，根据AD：BD＝1：3即可得出结论．
【详解】解：∵BD＝3AD，
∴AD：BD＝1：3，
∴AD：AB＝1：4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵BC＝12，
∴DE＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．B
【分析】根据题意可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
11．D
【分析】由边形是平行四边形，可得，即可证得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【详解】四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故选D．
【点睛】此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
12．B
【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．
【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
13．D
【分析】由在正方形ABCD中，∠GEF=90°，得△AGE∽△BEF，又由E为AB的中点，AG=2，BF=3，根据相似三角形的对应边成比例，由此即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG+∠BEF=90°，
∴∠AGE=∠BEF，
∴△AGE∽△BEF，

∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∵

解得：，
故选：B
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
14．A
【分析】对图上各边标上字母，由题意可证得△ADH∽△GCH，利用相似三角形对应线段成比例可知，可求得阴影部分面积的高DH，进而求得阴影部分面积.
【详解】
∵∠CHG=∠DHA，∠HCG=∠ADH
∴△ADH∽△GCH
∴
即
解得DH=
∴阴影部分面积=1××=
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求阴影部分的面积，解本题的关键是求得阴影部分的高进而即可解题.
15．B
【分析】利用折叠的性质得DE＝EF=5，从而得CF＝3，再证明，列出比例式，即可求解．
【详解】解：∵在矩形中，AB=CD=9，
由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝9−4＝5，
∵在Rt△CEF中，EF＝5，CE＝4，
∴CF＝，
∵∠B=∠C=90°，∠AFE=90°，
∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴，
∴，即：，解得：BF=12．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形得的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，证明是解题的关键．
16．C
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．
【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵=tan30°=，
∴，
∵×AD×DO=xy=3，
∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣．
故选C．

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．
17．C
【分析】先证明，从而得，进而即可求解．
【详解】解：∵，∠B+∠BCO=∠AOC=∠DOC+∠AOD，
∴∠BCO=∠AOD，
又∵，
∴，
∴，即：
∵O为边的中点，
∴AO2=8×9=72，
∴AO=6（负值舍去），
∴AB=12．
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”相似三角形模型，是解题的关键．
18．D
【分析】根据全等三角形的性质可判断①和②，再根据相似三角形的判定判断③即可．
【详解】解：①∵，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠1=∠2，故①成立；
②∵，
∴BC=DE，故②成立，
③∵，
∴AB=AD，AC=AE，
∴，又∠1=∠2，
∴，故③成立，
综上，一定成立的有①②③共3个，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的判定是解答的关键．
19．C
【分析】过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，证明△PQE∽△PHF，得出PQ=2PH=2BQ，再由PQ∥BC证得△AQP∽△ABC，得到，设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，求出x值即可解决问题．
【详解】解：∵在中，，，
∴AC= ，
过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，
则∠PQB=∠PHB=∠B=90°，
∴四边形PQBH是矩形，
∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC，
∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，
∴∠QPE=∠HPF，
∴△PQE∽△PHF，
∴，又PE=2PF，
∴PQ=2PH=2BQ，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴，
设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，
∴，
解得：，AP=3，
故选：C．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线是解答的关键．
20． 4
【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质求解即可；
（2）证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质求出AD，再利用勾股定理求解即可；
（3）先利用勾股定理求得AD，再证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质求解即可；
【详解】解：（1）∵在中，，是边上的高．
∴∠ADC=∠ACB=90°，又∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，即，
解得：AD= 4，
故答案为：4；
（2）由（1）知△ADC∽△ACB，
∴ ，即，
解得：AD=2，或AD=﹣8（舍去），
在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=，
故答案为：；
（3）在Rt△ADC中，AC=5，CD=4，
由勾股定理得：AD= ，
由（1）中△ADC∽△ACB，
∴ ，即，
解得：BC= ，
经检验，BC= ，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
21．5
【分析】作轴于，轴于，易证得，根据系数三角形的性质即可求得的值，然后根据反比例函数系数的几何意义即可求得的面积．
【详解】解：作轴于，轴于，

四边形是菱形．
，，，
，，
，
，
，
，
点在双曲线，，
，，
，
，
点在双曲线上，
，
，
平行于轴的直线与两双曲线分别交于点，，
，
故答案为5．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定和性质、菱形的性质，作出辅助线构建相似三角形求出反比例函数的解析式是解题的关键．
22．
【分析】先证明△DAB∽△EAC，进而可得结论．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，
∵把绕点A逆时针旋转，
∴∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠EAC＝∠DAB，
又∵，
∴△DAB∽△EAC，
∴=，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形．
23．4.
【分析】根据射影定理列式计算即可．
【详解】由射影定理得，，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
24．
【分析】根据勾股定理求出，根据射影定理列式计算即可．
【详解】解：在中，，
由射影定理得，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
25．4
【分析】先证明，得到与CQ有关的比例式，设，则，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【详解】解：

又


设，则．
，化简得，
整理得，
所以当时，y有最大值为4．
故答案为4．
【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．
26．1或4
【分析】根据题意可证，得出比例关系式，进而求出AP的长．
【详解】∵在梯形中，，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∴．
设，则，
∴，
解得或4.
∴或4．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”相似三角形模型，是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）正方形的边长为.
【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，由AE⊥BF，得出∠CBF+∠AEB＝90°，推出∠BAE＝∠CBF，由ASA证得△ABE≌△BCF即可得出结论；
（2）证出∠BGE＝∠ABE＝90°，∠BEG＝∠AEB，得出△BGE∽△ABE，得出BE2＝EG•AE，设EG＝x，则AE＝AG+EG＝2+x，代入求出x，求得AE＝3，由勾股定理即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥BF，垂足为G，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE与△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BGE＝∠ABE＝90°，
∵∠BEG＝∠AEB，
∴△BGE∽△ABE，
∴＝，
即：BE2＝EG•AE，
设EG＝x，则AE＝AG+EG＝2+x，
∴（）2＝x•（2+x），
解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合题意舍去），
∴AE＝3，
∴AB＝＝＝．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等与相似是解题的关键．
28．（1）；（2）（3）有变化，
【分析】（1）连接，由菱形的顶点、在菱形的边上，且，易得，，共线，延长交于点，延长交于点，连接，交于点，则也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；
（2）连接，，由和都是等腰三角形，易证与与，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；
（3）连接，，易证和，利用相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）连接，
∵菱形的顶点、在菱形的边上，且，
，，，
，，共线，，
，
延长交于点，延长交于点，连接，交于点，则也为菱形，
，，
，
∵，
，
∵为平行四边形，
，
．

（2）如图，连接，，

∵和都是等腰三角形，
，，
，
，
，
∵，
，
在和中，


，
．
（3）有变化．
如图，连接，，

∵，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

【点睛】本题是菱形与相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点的综合运用，难度较大．
29．（1）AF=DF，AF⊥DF，证明见解析；（2），证明见解析；（3）．
【分析】（1）如图①中，结论：AF=DF，AF⊥DF．证明△AHF≌△FJD（SAS），可得结论；
（2）如图②中，结论：．证明△AHF∽△FJD，可得结论；
（3）如图③中，结论：，证明方法类似（2）．
【详解】解：（1）如图①中，结论：AF=DF，AF⊥DF．
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．

∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，
∴BH=CH，CJ=JE，
∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ=AH，FH=JE=DJ，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF≌△FJD（SAS），
∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；
（2）如图②中，结论：．

理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BH=CH，，
∵DC=DE，∠CDE=120°，
∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，
∴，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ，HF=JE，
∴，
∴，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF∽△FJD，
∴，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，
∴，AF⊥DF；
（3）如图③中，结论：，
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．

∵AB=AC，∠BAC=α，
∴BH=CH，，
∵DC=DE，∠CDE=180°-α，
∴CJ=JE，，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ，HF=JE，
∴，
∴，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF∽△FJD，
∴，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，
∴，AF⊥DF．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
30．（1）；（2）依然成立，证明见解析；（3）．
【分析】（1）分别求出AD，BE的长，即可求解；
（2）通过证明△BCE∽△ACD，可得，∠CBO=∠CAD，可得结论；
（3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE，AD⊥BE；
（2）结论仍然成立，
理由如下：∵AC=，BC=1，CD=，EC=，
∴，，
∴，
∵△CDE绕点C顺时针旋转，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，∠CBO=∠CAD，
∴AD=BE，
∵∠CBO+∠BOC=90°，
∴∠CAD+∠AOP=90°，
∴∠APO=90°，
∴BE⊥AD；
（3）∵∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP，

∵BE是⊙C切线，
∴CE⊥BE，
∵sin∠EBC=，
∴∠EBC=30°，
∴∠GBP=30°，
∵GB=GP，
∴∠GBP=∠GPB=30°，
∴∠BGP=120°，
∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C，
∴P点运动轨迹的长度=，
∵∠ABP=30°，BP⊥AP，
∴AP=AB=1，BP=AP=，
∵∠CBP=30°，PH⊥BH，
∴PH=BP=．
∴P点到直线BC距离的最大值．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．