（2014－2023）十年高考数学真题分项汇编1-13

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TOC \ "1-1" \h \u 题型一：函数及其表示 PAGEREF _Tc7254 \h 1
题型二：函数的基本性质6
题型三：基本初等函数14
题型四：函数与方程20
题型五：函数模型及其综合应用26
题型一：函数及其表示
1．(2023年北京卷·第15题)设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】②③
解析：依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像(即半圆)；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误．
故答案为：②③．
2．(2023年北京卷·第11题)已知函数，则____________．
【答案】1
解析：函数，所以．
故答案：1
3．(2022高考北京卷·第11题)函数定义域是_________．
【答案】
解析:因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；故答案为,
4．(2020北京高考·第11题)函数的定义域是____________．
【答案】
【解析】由题意得，故答案为：
5．(2019·江苏·第4题)函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】由，解得，即函数的定义域为．
6．(2014高考数学浙江理科·第15题)设函数若，则实数的取值范围是______
【答案】
解析：∵函数，它的图象如图所示：
由，可得
由可得，即，
故当时，则实数a的取值范围是，
故答案为： ]．
7．(2014高考数学四川理科·第12题)设是定义在上的周期为2的函数，当时， ，则
【答案】
解析：
8．(2014高考数学上海理科·第4题)设若，则的取值范围为_________________．
【答案】
解析:由，可得，所以得．
9．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题)设函数，则满足的的取值范围是 ．
【答案】
【解析】法一：因为
当时，；
当时，；
当时，由，可解得
综上可知满足的的取值范围是．
法二：，，即
由图象变换可画出与的图象如下：
由图可知，满足的解为．
法三：当且时，由得，得，又因为是上的增函数，所以当增大时，增大，所以满足的的取值范围是．
10．(2016高考数学江苏文理科·第11题)设是定义在上且周期为2的函数，在区间上 其中，若，则的值是 ．
【答案】．
解析：由题意得，
由可得
则，则．
11．(2016高考数学江苏文理科·第5题)函数的定义域是 ．
【答案】．
解析：，解得，因此定义域为．
题型二：函数的基本性质
1．(2023年全国甲卷理科·第13题)若为偶函数，则________．
【答案】2
解析：因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以．
故答案为：2．
2．(2023年全国乙卷理科·第16题)设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______．
【答案】
解析：由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是．
故答案为：．
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第14题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】(答案不唯一，均满足)
解析:取，则，满足①，
，时有，满足②，的定义域为，
又，故是奇函数，满足③．故答案为(答案不唯一，均满足)
4．(2021年新高考Ⅰ卷·第15题)函数的最小值为______．
【答案】1
解析:由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴,故答案为1．
5．(2021年新高考Ⅰ卷·第13题)已知函数是偶函数，则______．
【答案】1
解析:因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，故答案为：1
6．(2022高考北京卷·第14题)设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
【答案】 ① 0(答案不唯一) ②． 1
解析:若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0(答案不唯一)，1
7．(2022年浙江省高考数学试题·第14题)已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】 ①． ②． ##
解析:由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为．
故答案为：，．
8．(2020江苏高考·第7题)已知是奇函数，当时， ，则的值是____．
【答案】
【解析】，因为为奇函数，所以,故答案为：
9．(2019·上海·第6题)已知函数周期为，且当，，则________.
【答案】1
【解析】.
10．(2019·全国Ⅱ·理·第14题)已知是奇函数，且当时，．若，则 ．
【答案】.
【解析】因为是奇函数，且当时，．又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【点评】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
11．(2019·北京·理·第13题)设函数(a为常数)．若为奇函数，则a=________；若是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】 (1)； (2)．
【解析】若函数为奇函数，则，
对任意的恒成立，故；
若函数是上的增函数，则恒成立，．
即实数取值范围是．
12．(2018年高考数学江苏卷·第9题)函数满足，且在区间上，则的值为 ．
【答案】
解析：由得函数的周期为4，所以，因此．
13．(2018年高考数学江苏卷·第5题)函数的定义域为 ．
【答案】[2，+∞)
解析：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为[2，+∞)．
14．(2018年高考数学北京(理)·第13题)能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
【答案】(答案不唯一)；
解析：在上满足，且在上为增函数，在为减函数．
函数需要满足在上的最小值为，并且在上不单调，选取开口向下，对称轴在上的二次函数均可，其余答案也正确．
15．(2014高考数学四川理科·第15题)以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间 例如，当时， ．现有如下命题：
① 设函数的定义域为，则“”的充要条件是“”；
② 函数的充要条件是有最大值和最小值；
③ 若函数的定义域相同，且，则；
④ 若函数有最大值，则．
其中的真命题有 (写出所有命题的序号)
【答案】①③④
解析：若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．
取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于
[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．
当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．
对于f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝(x＞－2)．
易知f(x)∈，所以存在正数，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确．
16．(2014高考数学课标2理科·第15题)已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是__________．
【答案】
解析：因为是偶函数，所以不等式，因为在上单调递减，所以，解得
17．(2015高考数学浙江理科·第10题)已知函数，则 ，的最小值是 ．
【答案】，．
解析：
，当时，，当且仅当时，等
号成立，当时，，当且仅当时，等号成立，故最小值为．
考点：分段函数
18．(2015高考数学新课标1理科·第13题)若函数为偶函数，则
【答案】1
解析：由题知是奇函数，所以 =，解得=1．
考点：函数的奇偶性
19．(2015高考数学四川理科·第15题)已知函数， (其中)。对于不相等的实数，，设，，现有如下命题：
(1)对于任意不相等的实数，，都有；
(2)对于任意的及任意不相等的实数，，都有；
(3)对于任意的，存在不相等的实数，，使得；
(4)对于任意的，存在不相等的实数，，使得．
其中的真命题有 (写出所有真命题的序号)．
【答案】①④
解析：
设．
对(1)，从的图象可看出，恒成立，故正确．
对(2)，直线CD的斜率可为负，即，故不正确．
对(3)，由m=n得，即．
令，则．
由得：，作出的图象知，方程不一定有解，所以不一定有极值点，即对于任意的a，不一定存在不相等的实数，使得，即不一定存在不相等的实数，使得．故不正确．
对(4)，由m=－n得，即．
令，则．
由得：，作出的图象知，方程必一定有解，所以一定有极值点，即对于任意的a，一定存在不相等的实数，使得，即一定存在不相等的实数，使得．故正确．
所以(1)(4)
考点：函数与不等式的综合应用．
20．(2015高考数学福建理科·第14题)若函数 ( 且 )的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
解析：当，故，要使得函数的值域为，只需()的值域包含于，故，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是．
考点：分段函数求值域．
【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用，属于中档题．
21．(2017年高考数学浙江文理科·第17题)已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值范围是
．
【答案】
【解析】(绝对值几何意义)
令,则,所以,的最大值是5．

当时,最大值为5,成立;
当时,,,其几何意义为数轴上的数到数和数到数0的距离之和最大值为5,则．综上,．
法二:因为,最大值为
即或,解得或 ,所以．
【考点】绝对值,函数最值
22．(2017年高考数学山东理科·第15题)若函数(是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有性质．下列函数中所有具有性质的函数的序号为__________．
① ② ③④
【答案】①④
【解析】①在上单调递增,故具有性质;
②在上单调递减,故不具有性质;
③,令,则,
当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增,故不具有性质;
④,令,
则,在上单调
递增,故具有性质．
23．(2017年高考数学江苏文理科·第11题)已知函数, 其中e是自然对数的底数． 若,则实数的取值范围是______．
【答案】
解析:因为,所以为奇函数,因为,所以在R上是单调递增函数,又,即,所以,即,解得,故实数的取值范围是．
【考点】利用函数性质解不等式
【点评】解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后根据函数的单调性去掉“”,转化为具体的不等式(组),此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
24．(2016高考数学天津理科·第13题)已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是_____________．
【答案】
解析：由是偶函数可知，单调递增；单调递减
又，
可得，即
25．(2016高考数学四川理科·第14题)若函数是定义上的周期为的奇函数，当时，，则．
【答案】
【解析】由题意知，

所以．
题型三：基本初等函数
1．(2018年高考数学上海·第11题)已知常数，函数的图像经过点．若，则 ．
【答案】
解析：由题意：，所以，所以，
所以，又因为，所以．
2．(2018年高考数学上海·第7题)已知．若幂函数为奇函数，且在上递减，则
．
【答案】
解析：由为奇函数，所以，又在上递减可知．
3．(2018年高考数学上海·第4题)设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则 ．
【答案】7
解析：由题意可知经过，所以．
4．(2014高考数学重庆理科·第12题)函数的最小值为_________．
【答案】
解析：根据对数的运算变型,换元法令,,得最小值为
5．(2014高考数学上海理科·第9题)若，则满足的的取值范围是___________．
【答案】
解析:首先注意定义域:;再由得,作图即得结果为
6．(2014高考数学陕西理科·第11题)已知则=________．
【答案】
解析:由得
7．(2014高考数学江苏·第10题)已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
解析：画出二次函数的分析简图：由图象分析可得结论：开口向上的二次函数在上恒小于0的充要条件为 开口向下的二次函数在上恒大于0的充要条件为
．
8．(2015高考数学浙江理科·第12题)若，则 ．
【答案】．
解析：
∵，∴，∴．
考点：对数的计算
9．(2015高考数学上海理科·第10题)设为的反函数，则的最大值为 ．
【答案】
解析：通过分析，我们可得函数在定义域上是单调递增的，且值域为，由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得的定义域为，值域为，又原函数与反函数的公共定义域为，故．
10．(2015高考数学上海理科·第7题)方程的解为 ．
【答案】
解析：由条件可得
，所以或，检验后只有符合；
11．(2015高考数学山东理科·第14题)已知函数 的定义域和值域都是 ，则 ．
【答案】
解析：若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以．
考点：指数函数的性质．
12．(2017年高考数学上海(文理科)·第12题)定义在上的函数的反函数为,若为
奇函数,则的解为________．
【答案】
【解析】,∴的解为．
13．(2016高考数学浙江理科·第12题)已知．若，则 ， ．
【答案】
【命题意图】本题主要考查对数运算、指数运算等知识点，意在考查学生的运算求解能力．
解析：由于，则，因为，即，所以或(舍去)，所以，即，所以，所以，，所以
(舍去)，所以．
14．(2016高考数学上海理科·第5题)已知点在函数的图像上，则的反函数 ．
【答案】
解析：将点带入函数的解析式得，所以，用表示得，所以．
题型四：函数与方程
1．(2023年天津卷·第15题)若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．
【答案】
解析：(1)当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
(2)当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
2．(2022高考北京卷·第13题)若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 ①． 1 ②．
解析:∵，∴
∴
故答案为：1，
3．(2021高考北京·第15题)已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有个1零点；
③存在负数，使得恰有个3零点；
④存在正数，使得恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
解析：对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确．
故答案为：①②④．
4．(2018年高考数学浙江卷·第15题)已知，函数，当时，不等式的解集是 ，若函数恰有2个零点，则的取值范围是 ．
【答案】，
解析：当时，，
若，，得，于是；
若，，得，于是；
不等式的解集为；
第二空两种解法
方法一：代数法(分类讨论两段函数根的个数)
①当时，由于有一个零点，问题等价于当时，有一个零点，因为，只需要；
②当，由于无零点，问题等价于当时，有两个零点，
而，当时，有两零点1，3满足条件；
综上可知，或．
方法二：几何法(图像观察)
当直线 从左到右的运动过程中，当或时，
与轴有两个交点，即恰有2个零点，
即的取值范围是或．
5．(2018年高考数学天津(理)·第14题)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ．
【答案】
解析：当时，由，得，，且，所以，当时，无解；当时，有一个解；当时，有两个解；
当时，由，得，，且，所以
，所以当时，无解；当时，有一个解；当时，有两个解；
综上，要使关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是．
解法二：当时，由，得，即，很明显不是原方程的解，则；
当时，由，得，即，很明显不是原方程的解，则
；令 ，
其中，，
作出的图象如图所示，由图可知，要使函数与函数的图象
有两个不同的交点，且考虑到，则的取值范围是．
6．(2014高考数学天津理科·第14题)已知函数,．若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为_________．

【答案】
解析:画出函数的大致图象,
令,则函数的图象与函数的图象有且仅有4个不同的交点,如图,显然(不可能)．联立消去得,
由解得或(舍去);联立消去
得,由解得或(舍去)．
结合图象,实数的取值范围为．
7．(2014高考数学江苏·第13题)已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，． 若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是 ．
【答案】
解析：作出函数的图象，可知，当时，，，方程在上有10个零点，即函数的图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的图象有4个交点，则．
8．(2015高考数学湖南理科·第15题)已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 ．
【答案】．
分析：分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，
若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，∴，从而；
若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而
，综上，实数的取值范围是．
9．(2015高考数学湖北理科·第12题)函数的零点个数为 ．
【答案】2
解析：因为
所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，
函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，
所以函数有2个零点．
考点：二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点．
10．(2015高考数学北京理科·第14题)设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】(1)1，(2)或．
解析：①时，，函数在上为增函数，函数值大于1，在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为1；
(2)①若函数在时与轴有一个交点，则，并且当时，，则，函数与轴有一个交点，所以；
②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或．
考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题．利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论．
11．(2015高考数学江苏文理·第13题)已知函数， ，则方程实根的个数为___．
【答案】4
解析：由题意得：求函数与交点个数以及函数与交点个数之和，因为，所以函数与有两个交点，又，所以函数与有两个交点，因此共有4个交点
考点：函数与方程
12．(2017年高考数学江苏文理科·第14题)设是定义在且周期为1的函数,在区间上, 其中集合,则方程的解的个数是______．
【答案】8
解析:由于 ,则需考虑 的情况
在此范围内, 且 时,设 ,且 互质
若 ,则由 ,可设 ,且 互质
因此 ,则 ,此时左边为整数,右边非整数,矛盾,因此 ,
因此不可能与每个周期内对应的部分相等,只需考虑与每个周期的部分的交点,画出函数图像,图中交点除外,其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期的部分,且处,则在附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8个．

【考点】函数与方程
【点评】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．
13．(2016高考数学山东理科·第15题)已知函数 其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是________________．
【答案】 【解析】画出函数图象如下图所示：

。




由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得
题型五：函数模型及其综合应用
1．(2019·北京·理·第14题)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60
元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
① 当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
【答案】① 130；② 15．
【解析】① ，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元；
② 设顾客一次购买水果的促销前总价为元，
当0