湖南省长沙市长郡双语实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

2021级初三第一次作业精选练习数学科目

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）2023的相反数是（　　）

A．﹣2023 B．2023 C． D．±2023

2．（3分）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A．       B． C．      D．

3．（3分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（　　）

A．23.9×107 B．2.39×109 C．2.39×108 D．0.239×109

4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠A＝（　　）

第 4题图                              第 6题图

A．66° B．33° C．24° D．30°

5．（3分）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为（　　）

A．10 B．8 C．5 D．3

7．（3分）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　）

A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）

8．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　）

A．y＝（x﹣3）2+4             B．y＝（x+3）2+4 

C．y＝（x﹣3）2﹣4             D．y＝（x+3）2﹣4

9．（3分）以坐标原点O为圆心，1为半径作圆，直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　）

A．﹣1＜b＜1 B．﹣＜b＜ C．﹣＜b＜0 D．0＜b＜

10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．（3分）分解因式：x3﹣4x＝　              　．

12．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+3图象的顶点坐标为　        　．

13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为 　         　．

第13题图                 第15题图               第16题图

14．（3分）点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝x2﹣2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1　   　y2（填“＞”、“＜”、“＝”）．

15．（3分）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则⊙O的直径AD＝　              　．

16．（3分）二次函数y＝x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一个解为x1＝1，则另一个解x2＝　   　．

三．解答题（共9小题，满分72分）

17．（6分）计算：|﹣3|++（﹣2）×1．

18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝2023．

19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点C的坐标为（﹣4，1）．

（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，并写出C1的坐标；

（2）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出C2的坐标．

20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接DE、AD．

（1）求证：AD＝CE；

（2）若BC＝8cm，BE＝7cm，求△ADE的周长．

21．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积．

22．（9分）“全民阅读”深入人心，读好书让人终身受益．为打造书香校园，满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和科技阅读两类图书．经了解，20本文学名著和40本科技阅读共需1520元，一本文学名著比一本科技阅读多22元（注：所采购的文学名著书价格都一样，所采购的科技阅读书价格都一样）．

（1）求每本文学名著和科技阅读各多少元？

（2）若学校要求购买科技阅读比文学名著多20本，科技阅读和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请你为学校求出符合条件的购书方案．

（3）请在（2）的条件下，请你求出此次活动学校最多需投入资金多少元？

23．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．

（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；

（2）若AB＝2，AD＝2，求CD和BD的长度．

24．（10分）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18．

（1）求该抛物线对应的函数表达式；

（2）求点B的坐标；

（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（10分）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P是上一点，连接AP，CP，作射线BP．

（1）求证：PC平分∠APB；

（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若AP＝2，PC＝5，求△ABC的面积．

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