黑龙江省佳木斯市第八中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份黑龙江省佳木斯市第八中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，若直线与直线互相垂直，则的值为，设，向量，且，则，关于直线等内容，欢迎下载使用。
佳市八中2023—2024学年度（上）高二学年月考数 学 试 卷考试时间：120分钟；命题人：邢文怡 校题人：倪海霞注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）1．下列向量中，与向量，平行的是（    ）A． B．C． D．2．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．3．在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（    ）A．点P关于坐标原点对称点的坐标为B．点P在x轴上的射影点的坐标为C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为4．如图，在三棱柱中，分别是，的中点，，则（    ）  A．                B．C．               D．5．直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（    ）    A． B． C． D．6．若直线与直线互相垂直，则的值为（    ）A． B．1 C． D．27．设，向量，且，则（    ）A． B． C．3 D．8．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝，∠BAA1＝∠DAA1＝，则直线BD1与直线AA1所成角为（    ）A． B． C． D． 二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分。每题有多个选项，漏选可得2分，多选，错选，不选均不得分） 9．已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），那么下列说法中，正确的有（    ）A． B．C． D．10．关于直线：，下列说法正确的有（    ）A．斜率为 B．倾斜角为150°C．在轴上的截距为 D．直线不经过第一象限11.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，得出如下四个结论，其中正确的是（    ）  A．    B．C．D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ）  A．B．直线与平面所成角的正弦值为C．点到直线的距离是D．异面直线与所成角的余弦值为第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．若，点的坐标为，则点的坐标为           ．14．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，三点共线，则实数的值为          .15．在下列命题中：①若，共线，则，所在的直线平行；②若，所在的直线是异面直线，则，一定不共面；③若，，三向量两两共面，则，，三向量一定也共面；④已知三向量，，，则空间任意一个向量总可以唯一表示为，其中不正确的命题为          ．16．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为          ．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题每题12题，共70分，每题要写出必要的证明，演算过程，推论或步骤） 17.已知直线的方程为．(1)求直线的斜率；(2)求直线与两条坐标轴所围成的三角形的面积   18.已知，．（1）求；    （2）当时，求实数的值．    19.如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，为的中点，且，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出四点的坐标；          （2）求．       如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点，（1）求证：    （2）求点到平面的距离；          21.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM. (1)求BC.     (2)求二面角A-PM-B的正弦值．      22.如图，在多面体ABCDEF中，四边形与均为直角梯形，平面，．(1)已知点G为AF上一点，且，求证：BG与平面DCE不平行；(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．
 
高二数学参考答案： 1.C【分析】根据空间向量共线的等价条件判断即可.【详解】对于A，因为，所以两向量不平行；对于B，因为，所以两向量不平行；对于C，因为，所以两向量平行；对于D，因为，所以两向量不平行.故选：C.2.D【解析】设直线的倾斜角为，，则，.故选：D3．C【分析】利用空间直角坐标系中点的对称性特征可判断.【详解】点关于原点的对称点为.故选项A正确；点在x轴上的射影即为过点作x轴的垂线所得垂足，其坐标为.故选项B正确；点关于Oyz平面的对称点与点横标互为相反数，纵坐标与竖坐标保持不变.故选项C错误；点在平面Oyz上的射影即为过点作平面Oyz的垂线所得垂足，其坐标为.故选项D正确.故选：C.4．D【分析】根据空间向量线性运算的几何意义结合已知条件，可把分解成基底向量的线性组合即可得解.【详解】如下图所示：  首先有，一方面：由，所以，又是的中点，所以 ， 所以；另一方面：，且注意到分别是，的中点，所以.因此.故选：D．4．D【分析】运用空间向量共线列式计算即可.【详解】∵，，且，∴，解得，，∴．故．B5．【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可.【详解】由图知：，故斜率最小的直线是.故选：B6.D【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，解得；故选：D7.A【分析】利用空间向量的平行、垂直以及数量积的坐标表示求解.【详解】因为，所以，解得，所以又因为，所以，解得，所以，所以，则，故选：A.8.【分析】由空间向量的数量积的运算，结合异面直线所成角的求法求解即可．【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝，∠BAA1＝∠DAA1＝，则＝，，又＝，则＝＝1，又，则＝，即，即直线BD1与直线AA1所成角为，故选：B．9.CD【分析】根据空间中线面关系及面面关系的向量表示，逐项判断即可.【详解】对于，故错误；对于或,故错误；对于,,故正确；对于,,故正确.故选： 10.BCD【分析】根据直线方程一般式求出斜率及倾斜角可判断A，B选项；将直线化为截距式可判断C，D选项.【详解】直线：，其斜率为，由得其倾斜角为150°，故A错误，B正确；将直线化为截距式为 ，故直线在轴上的截距为，故C正确；直线在轴上的截距为，故直线经过第三象限，直线不经过第一象限，故D正确；故选：BCD11.ABC【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，建系，利用空间向量的坐标运算逐项分析判断.【详解】因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，建立以D为坐标原点，以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴的空间直角坐标系，设斜边，则，  可得，对于选项A：，故A正确；对于选项B：，则，故B正确；对于选项C：，则，故C正确；对于选项D：因为平面ADC的一个法向量为向量，设平面ABC的法向量为，则，令，则，可得，则，平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不是互相垂直，故D错误．故选：ABC.12.BCD【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到；B选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D选项，利用异面直线夹角公式进行求解.【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，则，A错误；B选项，平面的法向量为，，设直线与平面所成角的大小为，则，B正确；C选项，，点到直线的距离为，C正确；D选项，，设异面直线与所成角大小为，则，D正确.    故选：BCD13.【分析】根据空间向量的坐标表示直接构造方程求解即可.【详解】设，则，，解得：，.故答案为：.14./【分析】由列方程，化简求得的值.【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∵，不共线，∴，∴，∴.故答案为：15.①②③④【分析】利用共线向量和共面向量的概念逐个分析判断即可【详解】解：对于①，若，共线，则，所在的直线平行或重合，所以①不正确；对于②，若，所在的直线是异面直线，则，一定共面，所以②不正确；对于③，如图，，三向量两两共面，但，，三向量不共面，所以③不正确；对于④，若三向量，，共面，则不在平面内的向量不能表示为，所以④不正确，故答案为：①②③④【点睛】此题考查了共线向量、共面向量定理及其空间向量基本定理，属于基础题16./【分析】根据阅读材料可得平面的一个法向量，再在两平面的交线上取两个点，从而得交线的方向向量，由此利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解．【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量，又直线：上有两个点，，所以直线的方向向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为．故答案为：．17.(1)    (2)【分析】（1）将直线方程化为斜截式，即可确定直线斜率；（2）方法一：求出直线与坐标轴的交点坐标，进而得到三角形面积；方法二：将直线方程化为截距式，得到截距后可求得三角形面积.【详解】（1）将直线的一般式方程化为斜截式得：，直线的斜率．（2）设直线交轴于点，交轴于点．  方法一：对于直线方程，令，得；令，得，，，.方法二：将直线的一般式方程化为截距式得：，，，.18.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）已知，，则，，，所以；（2）因为，所以，解得或．19.(1)，，，     (2)【分析】（1）根据为正三角形，由，结合空间直角坐标系中坐标的写法，即可求解；（2）利用空间向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：由题意，可得为正三角形，因为，所以，以为坐标原点，所在的直线分别为的方向为轴、轴和轴建立的空间直角坐标系，可得．（2）解：由（1）可得，所以.20.(1)证明见解析        (2)【分析】（1）利用勾股定理证得，再由线面垂直得线线垂直，进而线面垂直得线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用点面距离的向量公式求解即可.【详解】（1）中，，所以，在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，平面，所以.（2）由（1）知，平面，平面，平面，所以，又，如图建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，解得，令，则，设到平面的距离为，由得.21.解：(1)因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中AD⊥DC，所以AD，DC，PD两两垂直．以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2x，则D(0,0,0)，A(2x,0,0)，B(2x,1,0)，P(0,0，1)．所以＝(－x,1,0)，＝(2x,1，－1)，所以(－x,1,0)·(2x,1，－1)＝0，解得x＝(负值已舍去)．所以BC＝.(2)由(1)知，A(，0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，M，则＝，＝，＝(－，0,0)，＝(，1，－1)．设n1＝(x1，y1，z1)为平面PAM的法向量，则即取x1＝2，得y1＝，z1＝2，所以n1＝(2，，2)．设n2＝(x2，y2，z2)为平面PBC的法向量，则即取y2＝1，得x2＝0，z2＝1，所以n2＝(0,1,1)．设二面角A-PM-B的大小为θ，则|cos θ|＝＝＝.所以sin θ＝＝，即二面角A-PM-B的正弦值为.22.(1)证明见解析(2)AF的长为4；． 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面DCE的法向量，计算出，证明出BG与平面DCE不平行；（2）由BF与平面DCE所成角的正弦值计算出AF的长，从而求出梯形ABEF的面积，计算出四棱锥的体积.【详解】（1）证明：因为平面ABEF，AB，平面ABEF，所以，，又，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则、、、、，所以，，，设平面DCE的法向量为，则，令，则，所以，因为，且不存在使得与垂直，所以BG与平面DCE不平行；（2）设（且），则，所以，∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，∴，化简得，解得或（舍去）；故．此时梯形ABEF的面积，故．