湖北省武汉市首义中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

武汉市首义中学2023届九年级第一次月考数学试卷

一、单选题（共24分）

1.下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ）

A.   B.   C.   D.

2.抛物线的顶点坐标为（    ）

A.    B.   C.   D.

3.用配方法解方程时，配方后正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4.一元二次方程的根的情况是（    ）

A.有两个不等的实数根      B.有两个相等的实数根

C.无实数根        D.无法确定

5.把抛物线向右平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（    ）

A.      B.

C.      D.

6.某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为.根据题意列方程正确的是（    ）

A.      B.

C.   D.

7.已知、是一元二次方程0的两个根，则的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.如图1，在平行四边形中，点沿→→方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化关系的图象，则的长为（    ）

  图1     图2

A.4.4    B.4.8    C.5     D.6

二、填空题（共24分）

9.若抛物线的开口向上，则实数的取值范围为________.

10.若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________.

11.已知关于的方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的值________.

12.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________.

13.已知，，为抛物线上的三点，那么，，的大小关系是________.

14.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，，，连接，将线段向上平移落在处，且恰好经过这个抛物线的顶点，则四边形的周长为________.

15.已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果的差倒数正好是，那么的值是________.

16.二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：

①；②；③若方程有两个根和，且，则；④c的最小值为.其中正确结论的是________.

三、解答题（共72分）

17.先化简，再求值.

，其中；

18.解方程：

（1）

（2）

19.已知是二次函数，且当时，随的增大而增大.

（1）求的值；

（2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，那么的取值范围为________.

20.云梦鱼面是湖北地区的汉族传统名吃之一，主产于湖北省云梦县，并因此而得名，1915年，云梦鱼面在巴拿马万国博览会参加特产比赛获优质银牌奖，产品畅销全国及国际市场.今年云梦县某鱼面厂在“农村淘宝网店”上销售云梦鱼面，每袋成本16元，该网店于今年3月销售出200袋，每袋售价30元，为了扩大销售，4月准备适当降价.据测算每袋鱼面每降价1元，销售量可增加20袋.

（1）每袋鱼面降价5元时，4月共获利多少元?

（2）当每袋鱼面降价多少元时，能尽可能让利于顾客，并且让厂家获利2860元?

21.已知关于的方程：.

（1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根.

（2）设非0实数，是方程的两根，试求的值.

22.如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为.

（1）求的值及抛物线的顶点坐标.

（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标.

23.九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第（且为整数）天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为元.

（1）求出与的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?

（3）该商品在销售过程中，共有几天每天销售利润不低于3250元?请直接写出结果.

24.如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点为第二象限内拋物线上的一点，连接.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，过点作轴于点，若，求的值；

（3）如图2，设与的交点为，连接，是否存在点，使?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

  图1      图2

答案

一、单选题

1-8DBCCDDBC

二、填空题

9.  10.  11.1（答案不唯一）  12.11

13.  14.  15.7  16.②③④

三、解答题

17.；9

18.（1），

（2），

19.【小问1详解】

解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得，

解得：；

【小问2详解】

解：由（1）得二次函数的解析式为，

如图所示：

当时，，

当时，，

∴当时，，

故答案为：.

20.【小问1详解】

解：根据题意得：元，

答：每袋鱼面降价5元时，4月共获利2700元；

【小问2详解】

解：设每袋鱼面降价元，根据题意得：

，

整理得：，

解得：，，

因为能尽可能让利于顾客，

所以，

答：每袋鱼面降价3元.

21.【小问1详解】

证明：

无论取何实数时，总有.

∴方程总有两个不相等的实数根.

【小问2详解】

把代入方程，得.

即.

∵，∴.

由根与系数的关系，.

∴.

∴.

22.【小问1详解】

将点代入得，，，

∴抛物线解析式为

，

∴抛物线的顶点坐标为；

【小问2详解】

如下图，点与点是关于直线成轴对称，根据其性质有，，

当点、点、点共线时，为最小值，即为的最小值，

由抛物线解析式为，可得点坐标为，点坐标为，对称轴为，

设直线的解释为，

将点，点，代入得，，解得，

∴直线的解析式为，联立方程，

，解得

∴当的值最小时，点的坐标为.

23.【详解】解：（1）当时，，

整理得：；

当时，，

整理得：；

∴；

（2）对于函数，

整理可得：，

∵，

∴当时，取得最大值，最大值为4050；

对于函数，

∵，

∴随的增大而减小，

∵，

∴当时，取得最大值，最大值为3850，

∵，

∴第30天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元；

（3）当时，由题意，，

解得：或，

由（2）中，二次函数的性质可得：

当时，每天销售利润不低于3250元，共有30天；

当时，由题意，，

解得：，

∴当时，每天销售利润不低于3250元，共有6天；

∴（天），.

∴共有36天每天销售利润不低于3250元.

24.【小问1详解】

把代入得，

∴点坐标为，，

∵，

∴，

∵抛物线对称轴为直线，

∴点的横坐标为，点的横坐标为，

即点坐标为，点坐标为，

把代入得，

解得，

∴；

【小问2详解】

设交轴于点，

∵轴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

设，则，

在中，由勾股定理得，

∴，

解得，

∴点坐标为，

设直线解析式为，

将，代入，

得，解得，

∴，

令，

解得或，

∴点的横坐标为，

∴，，

∴；

【小问3详解】

不存在，理由如下：

作轴交延长线于点，

∵，

∴为中点，

∴

∴，

设，则，

设直线解析式为，

把，代入解析式得，

解得，

∴

∵点在直线上，

∴，

该方程无解，

∴符合题意的点不存在.