苏科版初中数学九年级上册第一章《一元二次方程》单元测试卷（困难）（含答案解析）

苏科版初中数学九年级上册第一章《一元二次方程》单元测试卷

考试范围：第一章  考试时间 ：120分钟 总分& ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.关于的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.关于的一元二次方程有一个实数根是，则的值为(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

3.如果是一元二次方程的一个根，则常数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.若是关于的方程的一个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.解一元二次方程，结果正确的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.已知关于的一元二次方程有两个实数根，为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

8.已知关于的一元二次方程有两个实数根，为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数的和为
(    )

A.  B.  C.  D.

9.已知一元二次方程有两个实数根，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.关于的方程的两个根，满足，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为(    )

A.  B.
C.  D.

12.赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制每两队之间都进行两场比赛，比赛总场数为场，若设参赛队伍有支，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.若方程有一根是，则______．

14.等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为          ．

15.设，是一元二次方程的两个根，则        ．

16.有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，若设每轮传染中平均每人传染了个人，那么可列方程为_______________________。

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知三个不同的实数，，满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根求，，的值．

18.本小题分
当为何值时，关于的方程为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．

19.本小题分
先化简，再求值：，其中是方程的一个根．

20.本小题分
关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
上述方程的根，，恰好是斜边为的直角三角形的两直角边的边长，求这个直角三角形的面积．

21.本小题分
已知关于的方程为实数，．
求证：此方程总有两个实数根；
如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数的值．

22.本小题分
已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

23.本小题分
已知关于的方程．
取什么值时，方程有两个实数根；
如果方程有两个实数根，，且，求的值．

24.本小题分

某校准备在图书馆后面的场地边建一个矩形自行车棚，一边充分利用图书馆的后墙墙长米，并利用已有总长米的铁围栏，且留有米宽的门设矩形自行车棚的边长米，面积为平方米．
用含的代数式表示长方形的面积；
若要求车棚的面积为平方米，求长；
若要求车棚的面积为平方米，能否搭建？回答能或不能即可

25.本小题分
如图，用篱笆靠墙围成矩形花围，墙可利用的最大长度为米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为米．

若围成的花圃面积为米时，求的长；
如图若计划在花圃中间用一道隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为米，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求的长？如果不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，一元二次方程满足且，
当时，代入方程，有；
综上可知，方程必有一根为．
故选：．
由满足且，可得：当时，有故问题可求．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

2.【答案】 

【解析】解：是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得，解此方程得到，；
原方程是一元二次方程，二次项系数，即；
综合上述两个条件，，
故选：．
本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
本题逆用一元二次方程解的定义易得出的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．

3.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得，
解得．
故选：．
把代入方程得关于的方程，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

4.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
因为，
所以，
则．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义得到，然后利用等式性质求的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查新定义的问题，解题时要注意一元二次方程的求解方法，根据题设条件，由，知，由此能求出最佳乐观系数的值．
【解答】
解：，，，
，
整理得，，
，
解得，
，
．
故选D．

6.【答案】 

【解析】解：，
分解因式得：
，，
解得：，，
故选：．
分解因式得出，推出方程，，求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出的值，将其相加即可得出结论．
【解答】
解：，，，关于的一元二次方程有两个实数根，
，
．
为正整数，且该方程的根都是整数，
或．
．
故选：．

8.【答案】 

【解析】 解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
为正整数，
或或，
又方程的根为整数，
当时，，，不符合题意，舍去，
当时，，，符合题意，
当时，，，符合题意，
综上所述，符合条件的所有正整数的和为．
故选B．
本题考查根的判别式以及一元二次方程的解．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出的值，将其相加即可得出结论．

9.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故选：．
先根据根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．

10.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，
，，
，
，
解得．
故选：．
因式分解法可求，，再根据，可得关于的方程，解方程可求的值．
本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得，．

11.【答案】 

【解析】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，
根据题意得：，
即．
故选B．
根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：设参赛队伍有支，则
．
故选：．
设参赛队伍有支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数为场这个等量关系列方程求解．

13.【答案】 

【解析】解：由题意，把代入，
得．
．
将代入方程，得到，等式的两边都扩大为原来的倍，问题可求．
已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程，仔细观察即可将问题解决．

14.【答案】或 

【解析】当为腰长时，将代入，得，解得当时，原方程为，解得，．，符合题意．当为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，，解得当时，原方程为，解得．，符合题意综上所述，的值为或．

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
；
故答案为：．
根据，是一元二次方程的两根时，，，得，，分式通分后相加，再把两根之和与两根之积的结果代入，计算即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查的是一元二次方程的应用的有关知识，如果设每轮传染中平均每人传染了人，那么第一轮传染中有人被传染，第二轮则有人被传染，已知“共有人患了流感”，那么即可列方程．
【解答】
解：设每轮传染中平均每人传染了人，
则第一轮传染中有人被传染；
第二轮则有人被传染；
又知：共有人患了流感；
可列方程：．
故答案为．

17.【答案】解：依次将题设中所给的四个方程编号为，，，．
设是方程和方程的一个相同的实根，则

两式相减，可解得分
设是方程和方程的一个相同的实根，则
两式相减，可解得．
所以分
又方程的两根之积等于，于是也是方程的根，
则．
又，两式相减，得分
若，则方程无实根，
所以，故．
于是，又，
解得，分 

【解析】将题设中所给的四个方程编号为，，，设是方程和方程的一个相同的实根，是方程和方程的一个相同的实根，得到关于与的解析式，进而求出的值，再求出、的值即可解答．
本题考查了一元二次方程为常数的解．同时考查了从结论的反面思考问题的方法和代数式的变形能力．

18.【答案】解：根据题意得：
，
解得：，
即原方程为：，
解得：，． 

【解析】根据一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程和关于的不等式，解之即可得到的值，代入原方程解一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

19.【答案】解：把代入方程得：，即，
则原式

，
当时，
原式． 

【解析】把代入方程求出的值，原式整理后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的加减化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
．
解得；
由题意，得，．
，
．
即．
解得，，．
，
应舍去，
所以，三角形的面积为：． 

【解析】由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出，解之即可得出结论；
根据根与系数的关系可得出、，结合勾股定理可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由方程的两根均为正值可确定的值，再根据三角形的面积公式即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及勾股定理，解题的关键是：由方程有两个实数根找出；利用根与系数的关系结合勾股定理找出．

21.【答案】证明：，
，
，
，
此方程总有两个不相等的实数根；
解：由求根公式，得，
，，
此方程的两个实数根都为正整数，
整数的值为或． 

【解析】本题主要考查了一元二次方程的概念和一元二次方程根的判别式的知识点，解题的关键熟练运用根的判别式以及求根公式，本题属于基础题型根据判别式即可求出答案；
由求根公式即可求出的值．

22.【答案】解：把代入方程得，则，所以为等腰三角形；
根据题意得，即，所以为直角三角形；
为等边三角形，
，
方程化为，解得，． 

【解析】把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状；
根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

23.【答案】解：方程有两个实数根，
，
，
解得：；
方程有两个实数根，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：． 

【解析】根据根的判别式大于等于，求出的范围即可；
利用根与系数的关系化简已知等式，计算即可得到的值．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

24.【答案】解：由题意可得：，则，
故；

由得：
，
整理得：，
解得：，，
当时，，
此时不合题意，故AB；

当，
整理得：，
，
此方程无实数根，
不能搭建面积为平方米的车棚． 

【解析】根据题意表示出的长，再利用矩形面积得出答案；
利用中所求，结合进而得出答案；
利用中所求，结合，再由根的判别式得出答案．
本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积求解：长宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点．

25.【答案】解：设的长度为米，则的长度为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
，
舍去．
答：的长为米．
不能围成，理由如下：
设的长为米，则的长为米，
根据题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为米的花圃． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设的长度为米，则的长度为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
设的长为米，则的长为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为米，即可得出关于的一元二次方程，由该方程的根的判别式，即可得出方程无解，即不能围成面积为米的花圃．