苏科版初中数学九年级上册第二章《对称图形——圆》单元测试卷（较易）（含答案解析）

苏科版初中数学九年级上册第二章《对称图形——圆》单元测试卷

考试范围：第二章 考试时间 ：120分钟  总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的半径为，点到圆心的距离，则点与的位置关系为(    )

A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定

2.如图，在的正方形网格中小正方形的边长为，有个点，，，，，，以为圆心，为半径作圆，则在外的点是(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.如图，是的直径，弦于点若，，则弦的长是(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.下列语句中，不正确的是(    )

A. 圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形
B. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 当圆绕它的圆心旋转时，不会与原来的圆重合
D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

5.下列说法中，正确的是
(    )

A. 经过平面内的任意三点都可以确定一个圆
B. 等弧所对的弦相等
C. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D. 相等的弦所对的圆心角相等

6.如图，是的内接三角形，连接、，若，，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

7.如图，的直径，垂足为，，连接并延长交于点，连接，则的度数为(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.如图，是的内切圆，则点是的
(    )

 

A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点

9.如图，已知正五边形内接于，连接，则的度数是
(    )
 

A.   B.   C.   D.  

10.如图，正六边形内接于，的半径是，则正六边形的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

11.某款钟表的分针长度为，则经过分钟分针针尖走过的路线长为

A.  B.  C.  D.

12.下列说法错误的是(    )

A. 六棱柱有六个侧面，侧面都是长方形
B. 球体的三种视图均为同样大小的圆
C. 棱锥都是由平面围成的
D. 一个直角三角形绕其直角边旋转一周得到的几何体是圆锥

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.如图：为的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，，则的大小是______

14.已知点是的外心，，则 ______ ．

15.已知一个正多边形的内角和为，则它的一个外角的度数为______度．

16.圆锥的底面半径为，侧面积为，则这个圆锥的母线长为          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
在平面内，给定不在同一直线上的点，，，如图所示．点到点，，的距离均等于为常数，到点的距离等于的所有点组成图形，的平分线交图形于点，连接，．
求证：．

18.本小题分

如图所示，在中，，，，为中线，以点为圆心，以为半径作圆，则点，，与的位置关系如何．

19.本小题分
如图，在中，是直径，弦．

在图中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点；保留作图痕迹，不写作法
如图，在的条件下连接、，若交弦于点，的面积，且，求的半径；

20.本小题分

如图，是的外接圆，，是直径，且，连接，求的长．

21.本小题分
如图，，是的两条直径，弦于点，，的延长线交于点，连结．
求证：；
若，，求的长．

22.本小题分
如图，在中，，平分，与交于点，，垂足为，与交于点，经过，，三点的与交于点．
求证是的切线；
若，，求的半径．

23.本小题分

如图所示，正五边形，连接对角线、，设与相交于点．
写出图中所有的等腰三角形；
判断四边形的形状，并说明理由．

24.本小题分
如图，为的直径，点为上一点，于点，平分．
求证：直线是的切线；
若，的半径为，求图中阴影部分的面积．

25.本小题分

如图，在中，，在上，经过，，三点的圆交于点，且点是弧的中点，

求证是圆的直径；

若，，求阴影部分的面积；

当为锐角时，试说明与的关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】
解：的半径为，点到圆心的距离为，
即点到圆心的距离小于圆的半径，
点在内．
故选B．

2.【答案】 

【解析】【分析】根据点与圆的位置关系即可求解．

【解答】解：，，，，

在外的点是，

故选：．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了垂径定理，利用勾股定理，垂径定理是解题关键．
根据垂径定理，可得答案．
【解答】
解：连接，

由题意，得
，
，
．
故选B．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了圆的对称性，解答此题的关键是知道圆既是轴对称图形也是中心对称图形．
解答此题根据圆的对称性解答即可．
【解答】
解：、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，正确
B、正确
C、根据知错误
D、任意过圆心的直线都是圆的对称轴，有无数条，对称中心即是圆心，有一个，正确．
故选：．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了确定圆的条件，垂径定理，，圆心角、弧、弦的关系及圆的性质等知识，熟悉圆周角定理、垂径定理的推论是解题的关键．利用确定圆的条件，垂径定理，圆周角、弧、弦的关系分别对每个选项判断后即可确定答案．

【解答】
解：、经过平面内不在同一直线上的三点都可以确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；

、等弧所对的弦相等，正确，符合题意；

、平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故原命题错误，不符合题意；

、同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故原命题错误，不符合题意．

故选：．

6.【答案】 

【解析】解：如图作于．

，，
，，
，，
，，
，
，设，，
，
，
．
故选：．
如图作于首先证明，在中，易知，设，，利用勾股定理列出方程即可解决问题．
本题考查三角形的外心与外接圆、圆周角定理．垂径定理、勾股定理、直角三角形度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．

7.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
连接，根据圆周角定理求解即可．
【解答】
解：如图，连接，

的直径，
，
，
，，
，
，
，
故选：．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心；熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质是关键．
根据三角形的内切圆得出点到三边的距离相等，即可得出结论．
【解答】
解：是的内切圆，
则点到三边的距离相等，
点是的三条角平分线的交点，
故选：．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于是解题的关键．
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出、，根据等腰三角形的性质求出，计算即可．
【解答】
解：五边形为正五边形，
，
，
，
，
故选C．

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，．
在正六边形中，，，
是等边三角形，
，
正六边形的周长是．
故选：．
连接，证明是等边三角形，求得，据此求解即可．
本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

11.【答案】 

【解析】【分析】
主要考查了弧长公式．弧长公式为，需要注意的是求弧长需要知道圆心角的度数和半径．
根据弧长公式可求得．
【解答】
解：分钟对应圆心角的度数为，
．
故选A．

12.【答案】 

【解析】解：、六棱柱有六个侧面，侧面不一定都是长方形，可能是正方形，说法错误，符合题意；
B、球体的三种视图均为同样大小的圆，说法正确，不符合题意；
C、棱锥都是由平面围成的，说法正确，不符合题意；
D、一个直角三角形绕其直角边旋转一周得到的几何体是圆锥，说法正确，不符合题意；
故选：．
利用棱柱的定义、球体的三视图和棱锥的三视图分别判断即可．
考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解一些几何体的形状，难度不大．

13.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
连接，如图，利用半径相等得到，根据等腰三角形的性质得，则利用三角形外角性质可计算出，加上，然后再根据三角形外角性质可计算出的度数．
本题考查了圆的认识：圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合；掌握与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．

14.【答案】或 

【解析】解：如图所示，
，
；
如图所示，
，
．
故答案为：或．
由于的形状不能确定，故分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．
本题考查的是圆周角定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．

15.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是掌握多边形内角和定理：，外角和等于．
首先设此多边形为边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的外角和等于，即可求得答案．
【解答】
解：设此多边形为边形，
根据题意得：，
解得：，
这个正多边形的每一个外角等于：．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】【分析】
根据圆锥的侧面积公式：即可进行计算．
本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥侧面积公式．
【解答】
解：，
，
．
即这个圆锥的母线长为．
故答案为：．

17.【答案】证明：根据题意作图如下：

是的角平分线，
，
，
． 

【解析】由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．
本题主要考查圆周角定理及推论，熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键．

18.【答案】解：在中，，，，
，
为中线，
，
，
点在的外面，
，
点在的内部，
，
点在上． 

【解析】根据勾股定理求出的值，根据点与圆的位置关系特点，判断即可．
本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．

19.【答案】解：接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图，

点为所作；
连接，如图，
点为劣弧的中点，
，，
的面积为，
，
解得，
设的半径，则，，
在中，，
解得，
即的半径为． 

【解析】由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可；
连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可．
本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

20.【答案】解：和所对的弧都是弧，
，
是直径，
，
，
，
由勾股定理得：． 

【解析】根据圆周角定理求出，是直径，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．

21.【答案】证明：连接，

是的直径，弦，
，
，
四边形内接于，
，
，
，
；
解：，，，
，
，
是直径，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，由垂径定理及圆周角定理得出，由圆内接四边形的性质得出，则可得出结论；
由勾股定理求出，，的长，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

22.【答案】证明：连接，
，
，
是直径，点是的中点，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
经过的外端点，
是的切线；

解：，
，
，，
∽，
，
，，
，
设的半径为，
则，，
，
，
的半径为． 

【解析】连接，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
解根据平行线的性质得到，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
本题为圆的综合题，考查了切线的判定、三角函数、三角形的相似等知识，掌握切线的判定法，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

23.【答案】解：图中的等腰三角形有：
、、、、．
四边形是菱形；理由如下：
正五边形内接于，
，，
，；
同理可证：，而，
四边形是菱形． 

【解析】直接写出图形中的等腰三角形即可解决问题．
根据圆周角定理求出、的度数，进而证明；证明，，即可解决问题．
该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是：深入分析、大胆猜测、合情推理、科学论证．

24.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：过点作于，
则，
在中，，，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
过点作于，根据垂径定理得到，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正弦的定义求出，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．

25.【答案】解：连结，是中点，
，
又，
，
，
是直径；

连结，
，，
，
，
，
，
，
，
．

由知是的直径，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的三线合一得到，根据圆周角定理的推论证明；
连接，根据扇形面积公式计算即可；
由知是直径，得到，根据余角的性质得到，等量代换即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．