山东省德州市禹城市2022-2023学年八年级下学期期末教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份山东省德州市禹城市2022-2023学年八年级下学期期末教学质量检测数学试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了下列运算正确的是，定义新运算“※”等内容，欢迎下载使用。
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2022~2023学年第二学期期末教学质量检测
八年级数学试题
（满分150分 时间120分钟）
一。单选题（48分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
3．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
4．如图，在Rt△ABC中，，CE是斜边AB上的中线，过点E作交AC于点F．若，△AEF的面积为5，则的值为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①；②；③；④；
⑤点O在M、N两点的连线上．
其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
6．如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，，线段PQ在边BA上运动，，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为；
④四边形PCDQ周长的最小值为．
其中，正确结论的序号为（ ）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
7．如图，在Rt△ABC中，，以其三边为边向外作正方形，过点C作于点R，再过点C作分别交边DE，BH于点P，Q．若，，则CR的长为（ ）

A．14 B．15 C． D．
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，，，点F在射线AM上，且，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③；其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
9．如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（ ）

A． B． C． D．3
10．在正方形ABCD中，，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使，过点F作交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①；②；③；④．正确的个数是（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
12．如图，在△OAB中，，点C为边AB上一点，且．如果函数的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（ ）

A． B． C． D．
二．填空题（24分）
13．若实数a、b满足，则________．
14．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若，且，则AB的长为________．

15．如图，在矩形ABCD中，，．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为________．

16．如图，△ABC中，，，．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且．P是线段DE上一点，且．过点P作直线l与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是________．

17．甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时间x（单位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数图象，则________．

18．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点M，交直线于点N．若点P是线段ON上的一个动点，，，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．

三．计算题（6分）
19．（2分）计算：．
20．（4分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中是函数与的图象的交点坐标．
四．解答题（72分）
21．（6分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解．并规定：．例如12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有；
（2）如果一个两位正整数t，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉样数”中的最大值．
22．（8分）已知△ABC是等边三角形．

（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角，得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．
①如图a，当时，△ABD与△ACE是否全等？________（填“是”或“否”），________度；
②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；
（2）如图c，在AB和AC上分别截取点和，使，，连接，将绕点A逆时针旋转角，得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
23．（8分）如图，在菱形ABCD中，，，连接BD．

（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且．
①当时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，的值是否也最小？如果是，求的最小值；如果不是，请说明理由．
24．（10分）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．

（1）如图①，连接BG、CF，求的值；
（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，，请直接写出线段QN扫过的面积．
25．（8分）

【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，，点E在AB上，．求证：DE平分∠ADB．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若，，，求BD的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，，点E在AC上，．若，，，求AC的长．
26．（10分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．

【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为________个单位长度；
（2）若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为________个单位长度；
【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．
①________；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；
【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是________．（直接写出结果）
27．（8分）如图①，甲、乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形．如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，．

（1）求容器甲、乙的容积分别为多少立方米？
（2）现在我们分别向容器甲、乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变，直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知h（米）关于注水时间t（小时）的函数图象如图③所示，其中MN平行于横轴，根据图中所给信息，解决下列问题：
①求a的值；
②求图③中线段PN所在直线的解析式．
28．（14分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．

（1）当秒时，点Q的坐标是________；
（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；
（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中的最小值．
2022~2023学年第二学期期末教学质量检测
八年级数学试题参考答案
（满分150分 时间120分钟）
一．单选题（48分；每题4分）
1
2
3
4
5
6
D
B
C
A
B
D
7
8
9
10
11
12
A
C
A
B
D
D
二．填空题（24分；每题4分）
13．1 14． 15． 16．或
17． 18．
三．计算题（6分）
19．（2分）解：


．
20．解：（1）（2分）原式，
，
；
（2）（2分）原式，
，
，
∵是函数与的图象的交点坐标，
∴联立，
解得，，
当，时，原式，
当，时，原式．
四．解答题（72分）
21．（6分）解：（1）对任意一个完全平方数m，设（n为正整数），
∵，
∴是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有；
（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为，则，
∵t为“吉样数”，
∴，
∴，
∵，x，y为自然数，
∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，
∴，，，，，
，，
∵，
∴所有“吉样数”中，的最大值是．
22．（8分）
解：（1）①是；120
②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，
∴，
∵△ADE是由△ABC绕点A旋转得到的，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）当时，，
当时，．
如图，∵，，
∴，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴是等边三角形，
根据旋转变换的性质可得，，
在△ABD和△ACE中，，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
当时，，
当时，点B，点O，点E共线．
当时，．
23．（8分）
解：（1）（2分）过点D作交BA的延长线于H，如图：

∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADH中，
，
，
∴；
（2）（3分）①设交AB于M点，过点F作交BA的延长线于N，如图：菱形ABCD中，

∵，，，
∴，
∴，
在Rt△BCM中，，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴，
在Rt△BEM中，
，
，
∵，
∴，
∴，
在Rt△AFN中，
，
∴，
，
∴，
∴



；
②（3分）当四边形ABEF的面积取最小值时，的值是最小，
理由：设，则，过点C作于点H，过点F作于点G，
过点E作于点Y，作于M点，过点F作交BA的延长线于N，如图：

∴，，
∴四边形EMHY、FNHG是矩形，
∴，，，，
由①可知：，
，
，
，
，，
∴，
，
，
，
，
∴，
，，
∴，
∴



，
∵，
∴当时，四边形ABEF的面积取得最小值，
方法一：



，
∵，当且仅当时，，
∴，
当且仅当时，，即当时，的最小值为12，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，的值也最小，最小值为12．
方法二：如图：将△BCD绕点B逆时针旋转60°至△BAG，连接CG，

在Rt△BCG中，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
即当且仅当点C、E、G三点共线时，的值最小，
此时点E为菱形对角线的交点，BD中点，，，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，的值也最小，最小值为12．
24．（10分）
解：（1）（3分）如图①，连接AF，AC，

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）（4分），，
理由如下：如图②，连接ME，过点C作，交直线ME于H，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，

∵，
∴，
∵点M是CF的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，点N是BE中点，
∴，，
∴，；
（3）如图③，取AB中点O，连接ON，OQ，AF，

∵，
∴，
∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，
∴，，
∴点Q在以点O为圆心，为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，
∴线段QN扫过的面积．
25．（8分）
（1）（2分）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DE平分∠ADB．
（2）（3分）如图2，∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）（3分）如图3，在AB上取一点F，使，连结CF．

∵AC平分∠BAD，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
即，
∵，即，
∴，
∴，，
∵，，
∴；
∵，，
∴，
∵（公共角），
∴，
∴，
∴，，
∴．
26．（10分）【观察】①90；②120；【发现】①50；
②当时，点在线段OP上，
∴线段OP的表达式为，
当时，即当，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
∴，
即：，
补全图形如图2所示，
【拓展】或
27．（8分）
解：（1）如图②中，连接FH，

∵正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，
∴米，
∴容器甲的容积（立方米），
∵，
∴FH为直径，
在Rt△EFH中，，米，
∴，
∴（米），（米），
∴容器乙的容积（立方米）．
（2）①当时，，
∵轴，
∴，，
∵6小时后的高度差为1.5米，
∴，
解得．
②当注水t小时后，由，可得，
解得，即，
设线段PN所在的直线的解析式为，
∵，在直线PN上，
∴，
解得，
∴线段PN所在的直线的解析式为．
28．（14分）
解：（1）；
（2）当点Q在原点O时，，
∴，
∴，
①当时，如图1，令，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AOB中，，
由运动知，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形PQMN是正方形，
∴，，
在Rt△APD中，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图2，同①的方法得，，，
∴；
③当时，如图3，；
（3）如图4，由运动知，，，

∴，
∵T是正方形PQMN的对角线交点，
∴，
∴点T是直线上的一段线段，，
∵
∴点N是直线AG：上的一段线段，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AOG中，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
即：，
∵T正方形PQMN的对角线的交点，
∴，
∴，
∴点O，T，N在同一条直线上（点Q与点O重合时），且时，最小，
∴点N是直线AG：上的一段线段，
∵，
∴．
即：的最小值为．