2023青岛莱西高一下学期期末数学试题含解析

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高一学业水平阶段性检测（四）数学试题本试卷共22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 对于下列四个命题：①满足的复数只有、；②若、，且，则是纯虚数；③复数的充要条件是；④在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．其中真命题的个数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解方程，可判断①；取，可判断②；设，由可求得的值，可判断③；利用复平面的相关知识可判断④.【详解】对于①，由可得，解得，①错；对于②，当时，则，此时，为实数，②错；对于③，设，若，所以，复数的充要条件是，③对；对于④，在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴，④对,所以，真命题的个数为.故选：C.2. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（    ）A. 内不存在与异面的直线 B. 内存在与平行的直线C. 内存在唯一一条直线与相交 D. 内存在与垂直的直线【答案】D【解析】【分析】利用图形判断A选项；利用反证法可判断B选项；设，取内所有过点的直线可判断C选项；利用线面垂直的性质可判断D选项.【详解】因为直线不平行于平面，且，则直线与平面相交，对于B选项，若内存在与平行的直线，则，且，，则，与题设矛盾，B错；对于A选项，如下图所示：  设，设直线满足，且，在平面内存在直线，使得，且，由A选项可知，与不平行，若，则、，且、，从而有，与题设矛盾，故与异面，即在平面内存在直线与直线异面，A错；对于C选项，设，则平面内所有过点的直线均与直线相交，C错；对于D选项，设，在直线上取异于点的一点，设点在平面内的射影为点，连接，  在平面内存在直线，使得，因为，，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，故内存在与垂直直线，D对.故选：D.3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（    ）A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同【答案】B【解析】分析】根据中位数、平均数、众数的定义说明．【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B错误．故选：B．【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础．4. 抛掷2枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”；下列结论正确的是（    ）A.  B. 与互斥C. 与相等 D. 与是对立事件【答案】A【解析】【分析】根据事件发生的结果，仔细辨别对立事件、互斥事件和相等事件即可.【详解】A选项，因为，所以，故A选项正确；B选项，事件与可以同时发生，所以与不是互斥事件，故B选项错误；C选项，事件与可以同时发生，也可能不同时发生，所以与不相等，故C选项错误；D选项，事件与可以同时发生，所以与不是对立事件，故D选项错误；故选：A.5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ）A. 向左平移个单位长度，然后把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍B. 向右平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍C. 向左平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍D. 向右平移个单位长度，然后再把图象上每点的纵坐标缩短到原来的倍【答案】A【解析】【分析】用辅助角公式先把函数化为，再用三角函数的图象变换法则即可求解.【详解】因为，把的图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的图象，然后再把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍即可得到的图象.故选：A6. 已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（    ）A.  B.  C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】设点P的坐标为，表示出，的坐标，由且P在直线上，故分或两种情况讨论，根据向量相等得到方程组，解得．【详解】解：设点P的坐标为，，则，．由且点P在直线上，得或．∴或解得或∴点P坐标为或．故选：【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.7. 对于，若存在 ，满足，则称为“类三角形”．“类三角形”一定满足．A. 有一个内角为 B. 有一个内角为C. 有一个内角为 D. 有一个内角为【答案】B【解析】【分析】由对称性，不妨设和为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．【详解】解：由对称性，不妨设和为锐角，则A，B，所以：+＝π﹣（A+B）＝C，于是：cosC＝sin＝sin（+）＝sinC，即：tanC＝1，解得：C＝45°，故选B．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．8. 在三棱锥中，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得等腰直角三角形和等腰直角三角形，取的中点，明确其为外接球的球心，根据线面垂直的判定定理，分割三棱锥，利用其体积公式，求得半径，结合球的体积公式，可得答案.【详解】由题意可作图如下：  设的中点为，的中点为，连接，因为，，，所以，所以.所以为三棱锥外接球的球心，设其半径为，又，且，所以，，则，又由，，且，平面，则平面所以，解得，所以外接球的体积.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为（    ）A. 若，则 B. 若在直线上，则C. 若为纯虚数，则 D. 若在第四象限，则【答案】CD【解析】【分析】根据复数的基本概念直接判断选项即可.【详解】对于A，若，则，得，故A错误；对于B，因为在直线上，所以，则，故B错误；对于C，若为纯虚数，则，即，此时虚部不为0，故C正确；对于D，若在第四象限，则，解得，故D正确.故选：CD10. 为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，对于这5000只家食血液样本中的指标值，下列的叙述正确的为（    ）  A. 估计指标值的中位数为 B. 估计A指标值的80%分位数为9C. 估计A指标值的众数为7.5 D. 估计A指标值的第25百分位数为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，由频率分布直方图分别计算中位数，众数以及百分位数即可得到结果.【详解】由题意可知，，解得，因为，，所以中位数在之间，设中位数为，则，解得，故A正确；观察频率分布直方图可得，的频率最大，所以众数为8，故C错误；由频率分布直方图可知，前两组的频率之和为，小于，所以第25百分位数位于第3组，则，故D正确；且前四组的频率之和为，所以80%分位数为9，故B正确；故选：ABD11. 一个袋子中有标号分别为、、、的四个球，除了标号外没有其它差异，现采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号小于”，则下列选项正确的为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】列举出所有的基本事件，确定每个选项中各事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得各选项中事件的概率.【详解】采用不放回方式从中任意摸球两次，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共种，对于A选项，事件包含的基本事件有：、、、、、，共种，则，A错；对于B选项，事件包含的基本事件有：：、、、、、、、、、，共种，则，B对；对于C选项，事件包含的基本事件有：、，共种，故，C对；对于D选项，事件包含的基本事件有：、、、、、，共种，故，D错.故选：BC.12. 三棱锥满足下列两个条件：①；②．若，记二面角的大小为，则下列选项中可以取到的为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】CD【解析】【分析】设，，，将三棱锥沿着、、剪开，然后将、分别沿着、都展开在所在的平面内，延长、交于点，则四边形为正方形，计算得出，在三棱锥中，过点在平面内作，连接，推导出，利用基本不等式计算的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出的范围，即可得出合适的选项.【详解】设，，，将三棱锥沿着、、剪开，然后将、分别沿着、都展开在所在的平面内，如下图所示，得五边形，由题设知，，延长、交于点，则四边形为正方形，且，，，在中，有，互，解得，在三棱锥中，过点在平面内作，连接，因为，，，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，故为二面角的平面角，则，因为平面，平面，所以，，故，在中，，在中，，从而，而余弦函数在时单调递减，所以，，故选：CD.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若圆锥的底面半径为，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的高为_______.【答案】【解析】【分析】求出圆锥的母线长，利用勾股定理可求得该圆锥的高.【详解】设该圆锥的母线长为，高为，圆锥的侧面积为，可得，因此，该圆锥高为.故答案为：.14. 已知，则在上的投影向量的坐标为_______；【答案】【解析】【分析】根据题意，先由平面向量的坐标运算得到，然后由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，则在上的投影向量的坐标为：.故答案为：.15. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为，且，，若，则称甲乙“心有灵犀”现任意找两个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为______．【答案】【解析】【分析】由题意知是古典概型，从0~9中任意取两个数共有100种取法，列出满足所有可能情况，代入公式得到结果．【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从，，，，，，，，，十个数中任取两个共有种不同的结果，则的情况有；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；共种情况，他们”心有灵犀”的概率为．故答案为：．16. 设锐角三角形的内角所对的边分别为，，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【详解】由正弦定理及有，所以,则，由已知有，所以．点睛：本题主要考查了正弦定理，两角差正弦公式以及两角和正弦公式的逆用，属于中档题．本题关键是灵活运用这些公式．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17 已知复数和满足：，若，求和．【答案】答案见解析【解析】【分析】由可得，代入化简，然后设代入上式化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得结果.【详解】解：由可得：，将其代入可得：，设，则，化简得，∴解之得：或，或            当时，；当时，．18. 试分别解答下列两个小题：（1）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，记事件“方程没有实根”，事件 “方程有且仅有一个实根”，求．（2）甲、乙、丙三位同学各自独立地解决同一个问题，已知这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，记“三人中只有一个人正确解决了这个问题”，求．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）用古典概型的概率公式分别算出和，进而可得结果；（2）分别计算出只有甲、乙、丙正确解决这个问题的概率，从而可得.【小问1详解】设样本空间为，则，样本点的个数为36个，，为满足，必须：当时，；当时，；当时，；当时，.中样本点的个数为17个， ，               ，为满足，必须：当时，；当时，，中样本点的个数为2个，            【小问2详解】∵这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，∴仅甲同学单独解决了这个问题的概率为：        仅乙同学单独解决了这个问题的概率为：             仅丙同学单独解决了这个问题的概率为：            19. 如图，在三棱锥中，作平面，垂足为，连接并延长交棱于点为棱上的一点，若，二面角的大小与相等，求证：平面.  【答案】证明见解析【解析】【分析】连接，推出平面，，得为二面角的平面角，根据推出，再根据线面垂直的判定可得平面.【详解】连接，平面，平面，，，平面，平面，因为平面，，因为平面，又，为二面角的平面角， ，平面平面，又，，，从而， 平面平面              20. 试分别解答下列两个小题：（1）已知向量和都是非零向量，且与垂直，与垂直，记向量与的夹角为，求．（2）在中，内角的对边分别为，若．试将表示成关于的表达式，并求出的取值范围．【答案】（1）    （2）；【解析】【分析】（1）由已知可得，解得，然后利用向量的夹角公式求解出，再利用两角差的正切公式可求得结果；（2）利用数量积的定义结合余弦定理可得，再利用基本不等式求出的范围，从而可求得的取值范围．【小问1详解】因为与垂直，与垂直，所以，，解得，所以，因为，所以，所以，【小问2详解】因为，所以，因为所以                所以，因为，，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以所以21. 如图，四边形是边长为2的正方形，平面，且为的中点．  （1）求证：；（2）设平面平面与直线所成的角为，求．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）过作交于，连接，然后利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形为平行四边形，则，由已知线面垂直可得，从而可证得结论；（2）延长和交于点，连接和，则可得与重合，证得，从而可得为与直线所成的角，进而可求得结果.【小问1详解】过作交于，连接 ，               为的中点，为的中点，，且，∴四边形为平行四边形，                平面，面，，∴                  【小问2详解】延长和交于点，连接和，∵平面平面，与重合，，∴∽，从而，∵四边形是正方形，，从而为平行四边形，                由（1）可知，，为与直线所成的角，即，            在边长为2的正方形中，，22. 如图，正方形的边长为1，分别为边上的点，的周长为2．  （1）求的大小；（2）设，试将表示为的函数，并求出的最大值及相应的．【答案】（1）    （2）；时，【解析】【分析】（1）设，，即可得到，再由，，利用两角和的正切公式求出，即可得解；（2）首先表示、，根据利用二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】设，，则，的周长为，，化简得，            ∵正方形的边长为1，，从而，，，        ，，从而 ，【小问2详解】，，其中，在中，，，在中，，，                ，            ，，当，即时，.