新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题06 函数的概念及其性质（含解析）

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专题06 函数的概念及其性质
【考纲要求】
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
一、函数的概念及其表示
【思维导图】

【考点总结】
一、函数的概念
(1)函数的概念：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，xA．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
二、具体函数定义域的求法
函数的定义域是自变量x的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．
(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：
①若f(x)为整式，则其定义域为实数集R．
②若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．
③若f(x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．
三、抽象函数的定义域的求法
求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．
(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域．
一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是由g(x)的取值范围，求x的取值范围．
(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．
函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是自变量x[a，b]．一般地，若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域就是g(x)在区间[a，b]上的取值范围(即g(x)的值域)．其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围．
四、函数值域的求法
(1)常见函数的定义域和值域：
①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R．
②反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域是(－∞，0)(0，＋∞)，值域是(－∞，0)(0，＋∞)．
③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R．
当a＞0时，值域是；当a＜0时，值域是．
(2)求函数值域的常用方法．
①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；
如求函数y＝的值域时，由x2≥0及4－x2≥0知[0,2]．故所求的值域为[0,2]．
②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．
③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
例如形如y＝ax＋b±的函数，我们可令＝t，将函数y转化为关于自变量t的二次函数，然后利用配方法求其值域．
④分离常数法：将形如y＝(a≠0)的函数，
分离常数，变形过程为＝＝＋，再结合x的范围确定的取值范围，从而确定函数的值域．
(3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
五、分段函数
(1)定义：有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段．
六、函数解析式的求法
求函数的解析式的常用方法有：
(1)代入法：如已知f(x)＝x2－1，求f(x＋x2)时，有f(x＋x2)＝(x2＋x)2－1．
(2)待定系数法：已知f(x)的函数类型，要求f(x)的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可．
例如，一次函数可以设为f(x)＝kx＋b(k≠0)；二次函数可以设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)等．
(3)拼凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．
(4)换元法：令t＝g(x)，再求出f(t)的解析式，然后用x代替f(g(x))解析式中所有的t即可．
(5)方程组法：已知f(x)与f(g(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用g(x)代替两边的所有的x，得到关于f(x)及f(g(x))的方程组．解之即可得出f(x)；
(6)赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式．
由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．
二、函数的性质


【考点总结】
一、函数的单调性
(1)增函数和减函数
名称[
定义
几何意义
图形表示
增
函
数
对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数，区间D称为f(x)的单调递增区间
f(x)的图象在区间D上是“上升”的

减
函
数
对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数，区间D称为f(x)的单调递减区间
f(x)的图象在区间D上是“下降”的

(2)单调性
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性．区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
二、函数的最值
(1)最大值和最小值
定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的xI，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；
②存在x0I，使得f(x0)＝M．
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大(小)值．
几何意义：函数y＝f(x)的最大(小)值是其图象上最高(低)点的纵坐标．
(2)最值
函数的最大值和最小值统称为函数的最值，则函数y＝f(x)的最值是图象上最高点或最低点的纵坐标．
三、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
五、函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
六、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.

【题型汇编】
题型一：函数的定义
题型二：函数的定义域
题型三：函数的值域
题型四：函数的解析式
题型五：分段函数
题型六：函数的单调性
题型七：函数的最值
题型八：函数的奇偶性
题型九：函数的周期性
题型十：函数的对称性
【题型讲解】
题型一：函数的定义
一、单选题
1．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知下表为函数部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数值时，取值精确到0.01．

3.27
1.57


0.26
0.42


0



0.27
0.26
0.21
0.20


0

下列关于函数的叙述不正确的是（       ）
A．为奇函数 B．在上没有零点
C．在上单调递减 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数解析式，判断奇偶性后确定相应函数值的正负，得零点区间，然后结合各函数值得变化趋势，确定的正负．
【详解】
由，则，故，
所以且定义域为R，故为奇函数，A正确；
又，，
所以在上必有零点，B错误；
根据已知表格数据：的情况下，越大，函数值越小，由三次函数的性质：，D正确，
所以在上单调递减，C正确．
故选：B．
2．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知结合函数对称性可求出，进而求得结果.
【详解】
解：因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，
若，则.
故，即.
故选：C.
3．（2022·江西九江·三模（理））已知函数是定义在的奇函数，且当时，．若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇偶性，由可求得，代入即可求得结果.
【详解】
为奇函数，，解得：，
.
故选：B.
4．（2022·广西桂林·二模（文））已知函数，且．给出如下结论：①；②；③；④．其中正确结论是（       ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用导数求出函数的单调区间，根据从而得到，设得到，且，从而得到，再依次判断即可.
【详解】
因为，所以，
，，为增函数，，，为减函数，
，，为增函数，
因为，且，所以，
设，
又因为，所以，且，
则，，所以，
化简，得，即，即，
所以，，，
则，，即（2）（3）正确．
故选：B
5．（2022·山东济南·二模）已知函数若，则m的值为（       ）
A． B．2 C．9 D．2或9
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得或，即求.
【详解】
∵函数，，
∴或，
解得.
故选：C.
二、多选题
1．（2022·湖北十堰·三模）已知函数，则(   )
A．，，成等差数列 B．，，成等差数列
C．，，成等比数列 D．，，成等比数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据函数解析式，求出选项对应的函数值，结合等差数列的等差中项和等比数列的等比中项的应用依次判断选项即可.
【详解】
A：，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以A正确；
B：，，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以B正确；
C：，，
则，，成等差数列，又，所以C错误；
D：，，，
则，由等比中项的应用知，
成等比数列，所以D正确.
故选：ABD.
题型二：函数的定义域
一、单选题
1．（2022·河南郑州·三模（理））设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合，从而得到 ，图中阴影部分表示的集合为 ，由此能求出结果.
【详解】
集合，，
所以.
图中阴影部分表示的集合为.
故选：C
2．（2022·辽宁大连·二模）设集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简集合A，利用集合的交集运算求解.
【详解】
解：因为集合，，
所以，
故选：D
3．（2022·江西赣州·二模（文））下列四个命题中正确的是（       ）
A．若函数的定义域为，则的定义域为
B．若正三角形的边长为，则
C．已知函数，则函数的零点为
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
利用抽象函数的定义域可判断A选项；利用平面向量数量积的定义可判断B选项；利用函数零点的定义可判断C选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项.
【详解】
对于A选项，若函数的定义域为，
对于函数，则有，解得，即函数的定义域为，A错；
对于B选项，若正三角形的边长为，则，B错；
对于C选项，已知函数，令，解得，
所以，函数的零点为，C错；
对于D选项，若，则、无意义，即“”“”；
若，可取，，则，即“”“”.
因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，D对.
故选：D.
4．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由的定义域得到集合，再根据集合交集的原则即可求解.
【详解】
对于集合，，即，则，
所以，
故选：C
二、多选题
1．（2022·山东威海·三模）已知函数，则（       ）
A．当时，函数的定义域为
B．当时，函数的值域为
C．当时，函数在上单调递减
D．当时，关于x的方程有两个解
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A.由根式函数的定义域求法求解；B.由函数值域的求法求解；C.由 ，分和判断；D. 设，将问题转化为，即有两个解求解判断.
【详解】
A. 当时，，由，解得或，所以函数的定义域为，故错误；
B.当时，，定义域为R，当时，，当时，，所以函数的值域为，故正确；
C.当时，，当时，，在上递减，当时，，在上递减，又，所以函数在上单调递减，故正确；
D. 易知，，即为，设，则，即，若方程有两个解则，故正确.
故选：BCD
2．（2022·江苏江苏·一模）下列函数中，最大值是1的函数有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
化简变形各个选项中的函数解析式，再求其最大值即可判断作答.
【详解】
对于A，，当且仅当，即时取“=”，
即当时，，A不正确；
对于B，，当且仅当，即时取“=”，
即当时，，B正确；
对于C，，当且仅当，即时取“=”，
即当时，，C正确；
对于D，依题意，由，都有意义，且得：，且，且，，
，显然最大值为1，
此时，，而使函数无意义，即不能取到1，D不正确.
故选：BC
题型三：函数的值域
一、单选题
1．（2022·广东佛山·三模）箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆于点，交直线于点，过和分别作轴和轴的平行线交于点，则点的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为，设，下列说法正确的是（       ）


A．是奇函数 B．点的横坐标为
C．点的纵坐标为 D．的值域是
【答案】C
【解析】
【分析】
连接，则，设点，联立直线和圆的方程，求出点的纵坐标，可得出函数的解析式，利用函数奇偶性的定义可判断A选项；求出函数的值域可判断D选项；求出点的横坐标与纵坐标，可判断BC选项.
【详解】
连接，则，圆的标准方程为，
该圆的直径为，

设点，当点不与点重合时，直线的方程为，
联立，解得，
当点与点重合时，点的坐标也满足方程，所以，，
对任意的，，即函数的定义域为，
，故函数为偶函数，A错；
当点在第一象限时，，因为，此时，B错；
当点不与点重合时，，
因为，则，
当点与点重合时，点也与点重合，此时，点的纵坐标也满足，
综上所述，点的纵坐标为，C对；
对于D选项，，所以，，D错.
故选：C.
2．（2022·陕西西安·三模（理））已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式求得集合，求函数的值域求得集合，由此求得.
【详解】
，解得或，
所以.
，
所以.
所以.
故选：B
3．（2022·安徽·芜湖一中一模（文））已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝（       ）
A．{1} B．{1，2，3}
C．{1，3} D．{1，3，5}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意先求出集合B，进而根据交集的定义求得答案.
【详解】
集合，.
故选：C．
4．（2022·四川泸州·模拟预测（文））设集合，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求得集合中对应函数的值域，再求即可.
【详解】
因为，又，
故.
故选：C.
二、多选题
1．（2022·湖北武汉·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说法正确的是（       ）
A．函数在区间（）上单调递增
B．若函数，则的值域为
C．若函数，则的值域为
D．，
【答案】AC
【解析】
【分析】
求出函数式确定单调性判断A；举特例说明判断B，D；变形函数式，分析计算判断C作答.
【详解】
对于A，，，有，则函数在上单调递增，A正确；
对于B，，则，B不正确；
对于C，，
当时，，，有，
当时，，，有，的值域为，C正确；
对于D，当时，，有，D不正确.
故选：AC
题型四：函数的解析式
一、单选题
1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用换元法可求得函数的解析式.
【详解】
对于，令，则，所以，，
因此，.
故选：C.
2．（2022·河北保定·二模）若函数，则函数的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值
【详解】
因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为.
故选：D
3．（2022·陕西·略阳县天津高级中学二模（理））若，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由二倍角余弦公式可得，令得求，最后应用二倍角余弦公式化简目标函数式.
【详解】
由，
令，则，
所以，对于，即.
故选：A
二、多选题
1．（2022·江苏·华罗庚中学三模）是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则（       ）
A．当时， B．当时，
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
先求出，对四个选项一一一验证：
对于A、B：利用代入法求解析式,即可判断；对于C:分别求出和，求出.即可判断;对于D：由，利用等比数列的求和公式即可求得.
【详解】
因为是奇函数,是偶函数,则有，解得.
对于A：任取，则，所以.故A正确；
对于B：任取，则，所以.故B错误；
对于C:当x∈(2,3)时,有x-1∈(1,2),x-2∈(0,1).所以，则有，，故.故C错误;
对于D：由C的结论, ，则.故D正确.
故选：AD
题型五：分段函数
一、单选题
1．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析可知，对实数的取值进行分类讨论，确定函数在上的零点个数，然后再确定函数在上的零点个数，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】
当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.
函数的对称轴为直线，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且.
①当时，即当时，则函数在上无零点，
所以，函数在上有个零点，
当时，，则，
由题意可得，解得，此时不存在；
②当时，即当时，函数在上只有一个零点，
当时，，则，则函数在上只有个零点，
此时，函数在上的零点个数为，不合乎题意；
③当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时；
④当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
2．（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数若，且，则的最大值是（       ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数图象，设，建立关于的函数，利用导数判断单调性，求最值即可.
【详解】
作出图象，如图，

设，则，由，得，
所以.
设，则，
所以在上单调递减，则.
故选：B
3．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）设，函数．若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，从而可求得在上单调递增这个条件的范围，再根据函数与的图象有三个交点，则在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的的范围，取交集即可得出答案，注意说明时，函数与的图象只有一个交点.
【详解】
解：当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
又因函数与的图象有三个交点，
所以在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，
当时，令，
由，
当时，，
此时，，
结合图象，所以时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，.
故选：B.

二、多选题
1．（2022·山东泰安·一模）已知函数，，，则下列结论正确的是（       ）
A．在上单调递增
B．当时，方程有且只有3个不同实根
C．的值域为
D．若对于任意的，都有成立，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对于A：取特殊函数值否定结论；
对于B：当时，解方程得到和是方程的根.利用零点存在定理证明在上有且只有一个零点.即可证明.
对于C：根据单调性求出的值域.
对于D：对x分类讨论： 、和三种情况，利用分离参数法分别求出k得到范围，取交集即可.
【详解】
对于A：.
因为，，
所以，所以.
所以在上不是增函数.
故A错误；
对于B：当时，方程可化为：或.
由可解得：.
对于，显然代入方程成立，所以是方程的根.
当时，记.
.
所以令，解得：；令，解得：；
所以在上单增，在上单减.
所以.所以在上没有零点；
而在上单减，且，，
所以在上有且只有一个零点.
综上所述：当时，方程有且只有3个不同实根.
故B正确；
对于C：对于.
当时，.，所以；
当时，..
令，解得：；令，解得：；
所以在上单减，在上单增.
所以；
故的值域为成立.
故C正确.
对于D：对于任意的，都有成立，
所以及恒成立.
若恒成立，则有.
令，只需.
令，则.则.
所以，即.
若恒成立，
当，无论k取何值，不等式均成立，所以.
当，则有.
令，只需.
.
记，则，所以在上单减，所以，即，所以在上单减，所以
所以.
综上所述：.
故D正确.
故选：BCD
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（4）利用导数处理恒（能）成立问题.
题型六：函数的单调性
一、单选题
1．（2022·湖南师大附中三模）下列两数的大小关系中正确的是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，利用导数可知在上单调递减，可得，由此推导可知A错误；由可知B正确；由可推导知C错误；由正切函数单调性知，由此可得D错误.
【详解】
对于A，设，则，
则当时，，在上单调递减，，
即，即，，则，A错误；
对于B，，，，则，B正确；
对于C，，，，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：B.
2．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】
对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，函数单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
由幂函数的性质知函数在R上单调递增，
所以函数在R上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，又，
所以函数在上单调递减，故C符合题意；
对于D，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，又，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意.
故选：C.
3．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】
对于A，函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
又，所以在上单调递增，
在上单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
又，令，令，
所以在上单调递减，在上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数的定义域为(Z)，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
又，
所以在上单调递增，故C不符合题意；
对于D，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，又，
令，则为增函数，又函数为增函数，
所以在R上单调递增，故D符合题意.
故选：D.
二、多选题
1．（2022·辽宁·育明高中一模）下列说法中正确的是（   ）
A．若，则
B．若，则
C．若定义域为的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围为
D．若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于A，令，将指数式转化为对数式即可判断；
对于B， 作出函数的图像，结合图像即可得判断B；
对于C，根据函数的奇偶性不等式即为或或，解之即可判断C；
对于D，分别判断的符号，再利用作商法比较即可判断D.
【详解】
解：对于A，令，则，当且仅当时，，当时，，故A错误；
对于B，作出函数的图像，又当时，，当时，，
所以若，则，故B正确；

对于C，因为为上的奇函数，所以，因为在单调递减，所以函数在也单调递减，因为，所以，
则当时，，当时，，
若，则或或，
所以或或，所以满足的的取值范围为，故C不正确；
对于D，，，
所以，，，
所以，所以，，由，
因为，所以，所以，所以，故D正确.
故选：BD.
题型七：函数的最值
一、单选题
1．（2022·上海普陀·二模）已知定义在上的偶函数，满足对任意的实数都成立，且值域为.设函数，（），若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据函数满足的关系式及奇偶性，值域，得到，再写出，在同一坐标系中画出两函数图象，结合当时，及时，的图象要位于的下方，得到，求出实数的取值范围.
【详解】
变形为，
所以或，即或，
因为为偶函数，且值域为，
所以，
因为，所以，
在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图：

要想满足若对任意的，存在，使得成立，
则当时，，所以，
且时，的图象要位于的下方，
故只需，即，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】
对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出不等式，求出参数的取值范围.
2．（2022·上海长宁·二模）若函数存在反函数，则常数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意可得在上单调，分两种情况讨论，参变分离，结合指数函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为函数存在反函数，
所以函数在上单调，
若单调递增，即，则在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，所以；
若单调递减，即，则在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，所以；
综上可得；
故选：D
3．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设且，若对恒成立，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题设知在恒成立，结合正弦函数、对数函数性质可得，再根据正弦、对数函数的区间单调性及恒成立求参数范围.
【详解】
由题设，即在恒成立，
当时，上，不满足题设，
所以，此时在上递减，递增，
要使不等式恒成立，则，即，
综上.
故选：D
4．（2022·山西晋城·三模（理））已知函数，若对任意，，恒成立，则m的最大值为（       ）
A．－1 B．0 C．1 D．e
【答案】C
【解析】
【分析】
对任意，恒成立等价于对任意，恒成立；可换元，设，令，则，即在恒成立，求导由单调性即可求出最值.
【详解】
由题知对任意，恒成立，
等价于，即，即对任意，恒成立，
不妨设，令，则，
则原式等价于，即在恒成立，
设，，则，
所以在上为增函数，所以，
所以，即m的最大值为，当且仅当，即时取得最大值，
故选：C.
二、多选题
1．（2022·江苏·二模）已知定义在上的函数，则（       ）
A．任意，，，均能作为一个三角形的三条边长
B．存在，使得，，不能作为一个三角形的三条边长
C．任意，，，均不能成为一个直角三角形的三条边长
D．存在，使得，，能成为一个直角三角形的三条边长
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出函数在定义区间上的最值，再结合构成三角形、直角三角形的条件判断作答.
【详解】
函数在上单调递减，在上单调递增，，，
任意，不妨令，则，
即，，均能作为一个三角形的三条边长，A正确，B错误；
取，满足，则，
显然有，即，，为边的三角形是直角三角形，C错误，D正确.
故选：AD
题型八：函数的奇偶性
一、单选题
1．（2022·上海金山·二模）对于定义在上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数为“等均”函数.下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
按照“等均”函数的定义，对四个函数一一验证，即可判断.
【详解】
对于①：因为,所以的定义域为R.对任意的，,满足(1)；
所以存在,使得,满足(2).
所以为“等均”函数.
对于②：因为,所以的定义域为.所以当时，，此时不存在,不满足(1)；
所以不是“等均”函数.
对于③：因为,所以的定义域为.对任意的，,满足(1)；.
若满足,则有
所以.
又因为，所以，
所以，满足且.
所以为“等均”函数.
对于④：因为,所以的定义域为R.对任意的，,满足(1)；.
若满足,则有
设，则，所以在R上单调递减，所以，此时不满足（2）.
所以 不是“等均”函数.
故“等均”函数的个数是2.
故选：B.
2．（2022·上海虹口·二模）函数是定义域为的奇函数，且对于任意的，都有成立.如果，则实数的取值集合是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意可得在定义域上单调递减，由，则等价于，根据函数的单调性即可得解；
【详解】
解：因为对于任意的，都有，
当时，即，
当时，即，
即在定义域上单调递减，
又是定义域为的奇函数，所以，
所以，
则，即，即，所以，
即不等式的解集为；
故选：C
3．（2022·海南海口·二模）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于直线对称，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析可知是偶函数，利用偶函数的定义推导出，利用已知条件求出的值，即可求得的值.
【详解】
因为的图象关于对称，则是偶函数，
，且，
所以，对任意的恒成立，所以，，
因为且为奇函数，所以，，
因此，.
故选：B.
4．（2022·湖南·雅礼中学二模）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（       ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性，整理化简，即可得答案.
【详解】
因为是奇函数，
∴，
∵是偶函数，
∴，即，
，
则，即周期为8；
另一方面，
∴，即是偶函数.
故选：B.
二、多选题
1．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.
题型九：函数的周期性
一、单选题
1．（2022·江西师大附中三模（文））定义在R上的函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为（       ）
A．7 B．14 C．21 D．28
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分析得到是周期为4的周期函数，且关于点对称，函数的所有零点之和即为函数与的图像的交点的横坐标之和，画出函数图象，数形结合求出答案.
【详解】
依题意，是奇函数.又由知，的图像关于对称.

，
所以是周期为4的周期函数.
，
所以关于点对称.
由于
从而函数的所有零点之和即为函数与的图像的交点的横坐标之和.
而函数的图像也关于点对称.
画出，的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数所有零点和为.

故选：B
2．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数满足：对任意，．当时，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据可得，，则，将代入解析式，即可求解.
【详解】
因为，
则，即，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：C
3．（2022·湖北武汉·二模）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件进行化简，结合周期函数的知识确定正确选项.
【详解】
依题意，定义在上的函数满足，
所以，
所以是周期为的周期函数.
故选：D
4．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））已知定义域为R的奇函数满足，且当时，则（       ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和周期性求解即可.
【详解】
奇函数满足，
所以，以4为周期的奇函数.
.
故选：A
5．（2022·陕西汉中·二模（文））定义在R上的函数，满足，当时，，当时，，则（       ）.
A．403 B．405 C．806 D．809
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的周期性计算．
【详解】
由得是周期函数，周期是5，
，，，
，，
所以，
．
故选：B．
二、多选题
1．（2022·山东淄博·三模）已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（       ）
A．的图象关于对称
B．
C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增
D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性可判断C选项；设，利用
【详解】
对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A错；
对于B选项，因为且函数为偶函数，
所以，可得，所以，，
所以，对任意的，，B对；
对于C选项，因为，
若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对；
对于D选项，当时，，，
所以，，D错.
故选：BC.
题型十：函数的对称性
一、单选题
1．（2022·湖北·襄阳五中二模）已知函数，下列对于函数性质的四个描述：①是的极小值点；②的图像关于点中心对称；③有且仅有三个零点；④若区间上递增，则的最大值为．其中正确的描述的个数是（        ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
①：根据导数判断及其附近导函数值的符号，进而确定在的附近的单调性；②：根据中心对称的定义：若，则为的对称中心，代入检验；③：的零点即为的交点，结合图像分析；④：利用导数求的单调递增区间，判断求解的最大值．
【详解】
.
①：，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点，故本选项描述正确；
②：因为，
所以的图像关于点对称，因此本选项描述正确；
③：令，函数在同一直角坐标系内的图像如下图所示：

可知两个函数的图像有三个交点，因此有且仅有三个零点，所以本选项描述正确；
④：，当时，则有：，因此函数的增区间为：，显然有，所以的最大值为，因此本选项描述不正确，
故选：C．
2．（2022·天津河西·二模）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为(       )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解．
【详解】
由知的图象关于对称，
由知的图象关于对称，
作出与在,上的图象：

由图可知函数与函数的图象在区间上的交点个数为4．
故选：B．
3．（2022·福建漳州·三模）函数的图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据给定函数，由函数图象的对称性排除两个选项，再由的值判断作答.
【详解】
函数，则函数的图象关于直线对称，选项C，D不满足；
又，显然选项B不满足，选项A符合条件.
故选：A
二、多选题
1．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.