新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题11 三角函数（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题11 三角函数（含解析），共37页。

专题11 三角函数
【考纲要求】
1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，理解任意角三角函数的定义.
2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
3．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
4．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式．
5.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
6．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数
【思维导图】


【考点总结】
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
角α的弧度数公式
|α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算
①1°＝rad；②1 rad＝°
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
二、同角三角函数的基本关系及诱导公式
【思维导图】


【考点总结】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tan_α(α≠＋kπ，k∈Z)．
2．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α


口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
三、三角恒等变换
【思维导图】

【考点总结】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos__β＋sin_αsin__β．
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos__β－sin_αsin__β．
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos__β＋cos_αsin__β．
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos__β－cos_αsin__β．
T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
T(α－β)：tan(α－β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sin_αcos__α．C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
T2α：tan 2α＝.
四、三角函数的图象与性质
【思维导图】

【考点总结】
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是递增函数，在
[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上是递增函数
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ＋，0)(k∈Z)
对称中心是(，0)(k∈Z)
五、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
【思维导图】

【考点总结】
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ
0

π

2π
x
－
－

－

y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

【题型汇编】
题型一：任意角的三角函数
题型二：同角三角函数的基本关系
题型三：三角函数的诱导公式
题型四：三角函数恒等变换
题型五：三角函数的图象和性质
【题型讲解】
题型一：任意角的三角函数
一、单选题
1．（2022·北京市八一中学一模）在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据余弦函数的定义进行求解即可.
【详解】
设点，因为，所以.
故选：C.
2．（2022·北京房山·二模）已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据cosα求出tanα，根据角的终边关于y轴对称可知．
【详解】
∵是第一象限角，∴，，
∵角的终边关于y轴对称，∴．
故选：D．
3．（2022·山东潍坊·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点，在角的终边上，且，则（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到直线的斜率为，进而判断所在象限，即可求解.
【详解】
由已知得，因为点，在角的终边上，所以直线的斜率为，所以，明显可见，在第二象限，.
故选：C
4．（2022·山西临汾·一模（文））已知角的终边过点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出点的坐标，进而根据三角函数的定义求得答案.
【详解】
由题意，点的坐标为，则.
故选：C.
5．（2022·河南·一模（文））已知是第二象限角，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知结合三角函数的定义及象限角的范围，及正弦的二倍角公式判断即可.
【详解】
由是第二象限角，可得，，

故选：C
6．（2022·山东济南·二模）如果角的终边过点，则的值等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
先计算三角函数值得，再根据三角函数的定义求解即可.
【详解】
解：由题意得，它与原点的距离，
所以.
故选：C.
7．（2022·河北石家庄·一模）若角终边经过点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：利用三角函数的定义，即可求出.
详解：角终边经过点，则
由余弦函数的定义可得
故选B.
点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题.
二、多选题
1．（2022·湖北·孝昌县第一高级中学三模）已知角的终边经过点．则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据同终边角的正弦和余弦可知，然后解出方程并判断，逐项代入即可.
【详解】
解：由题意得：
如图所示：



，即
，即
解得：（舍去）或


，故A正确；
，故D正确；
，故B正确；
，故C错误；
故选：ABD
题型二：同角三角函数的基本关系
一、单选题
1．（2022·宁夏·固原一中一模（文））若，且在第四象限，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．
【详解】
解：∵，且在第四象限，
∴，
∴．
故选：D．
2．（2022·辽宁·沈阳二中二模）若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
先由求出，再由同角三角函数基本关系，以及二倍角的正弦公式，将所求式子化简，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
因此.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查由同角三角函数基本关系化简求值，涉及二倍角的正弦公式，属于基础题型.
3．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角公式结合平方关系得，利用开方取负值即可
【详解】
，，，
故选：C.
4．（2022·江西萍乡·三模（文））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由，分子分母同除以，即可求出结果.
【详解】
因为，
又，所以，
故选：A.
5．（2022·广东广州·三模）已知，若，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将两边平方得：2sinxcosx=-<0,结合>0,求出x的范围，再利用       求解即可.
【详解】
解：将两边平方得：2sinxcosx=-<0,
所以 ，
又因为>０，
所以，2x,
又因为sin2x=-,
所以cos2x=-=-.
故选：D.
6．（2022·江西南昌·三模（文））若角的终边不在坐标轴上，且，则(       )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cosα，从而求出sinα，根据即可求得结果．
【详解】
或，
∵的终边不在坐标轴上，∴，
∴，∴．
故选：A．
7．（2022·广西南宁·二模（文））若是钝角且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，再根据商数关系求出即可.
【详解】
因为是钝角，所以．则．
故选：A.
题型三：三角函数的诱导公式
一、单选题
1．（2022·江西萍乡·三模（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简可以得到，再将化为齐次式，采用“弦化切”，代入即可得到答案
【详解】
，


故选：A
2．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））若，为第四象限角，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平方关系及商数关系，结合诱导公式即可求值.
【详解】
由题设，所以，则.
故选：C
3．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由诱导公式化简求值即可.
【详解】
，
故选：A
4．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简即得所求
【详解】

故选：A
5．（2022·福建漳州·二模）已知，则（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
整体法用诱导公式求解.
【详解】
.
故选：C
6．（2022·广西柳州·二模（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简求值.
【详解】
由诱导公式得，
故选：B.
7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若，（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由诱导公式进行化简，然后根据二倍角公式即可求解.
【详解】
，
故选：B
8．（2022·贵州贵阳·二模（理））若，（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式可得，利用诱导公式可得结果.
【详解】
，.
故选：B.
9．（2022·江西九江·三模（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据辅助角公式得到，再利用诱导公式求解即可。
【详解】
，即，

故选：B
10．（2022·安徽马鞍山·三模（文））若，，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平方关系结合已知可得，然后由诱导公式和商数关系可得所求.
【详解】
因为，所以
因为，所以
所以.
故选：D
题型四：三角函数恒等变换
一、单选题
1．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角公式即得.
【详解】
由题可得，
解得（舍去），或.
故选：A.
2．（2022·北京·二模）已知角的终边经过点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求.
【详解】
由题设，而.
故选：A
3．（2022·河南商丘·三模（文））已知，则（       ）
A．3 B． C． D．-3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角公式化简即可
【详解】
．
故选：C
4．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角公式结合平方关系得，利用开方取负值即可
【详解】
，，，
故选：C.
5．（2022·福建南平·三模）在中，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由，利用正切的二倍角公式即可求解.
【详解】
因为，所以，
所以，
故选：A
6．（2022·内蒙古包头·二模（理））若，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式和余弦公式、特殊角的三角函数值进行求解即可.
【详解】
，
因为，所以，
于是由，
解得，
解得，或（舍去），
因为，
所以，
即，
故选：B
7．（2022·湖北武汉·二模）设，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解.
【详解】
解：


.
故选：A.
8．（2022·陕西·安康市高新中学三模（文））若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】
解：．
故选：C．
9．（2022·江西萍乡·二模（文））已知，则 （       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角的余弦公式求解.
【详解】
因为，
所以，
，
，
故选：A
10．（2022·山西·二模（理））若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和切化弦，化简即可求得.
【详解】
因为，所以.
故选：B．
11．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））若，，则（       ）
A． B．－ C． D．－
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式先求得的值，再求，结合二倍角余弦公式求值即可
【详解】
∵，
平方可得，
∴，
∴ 同号，又，
∴，
∴，
∴，
则，
所以
故选：A.
12．（2022·山西晋城·三模（理））若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦的二倍角公式，然后再结合平方关系和商的关系，转化为的式子，得出答案.
【详解】

故选：A
二、多选题
1．（2022·海南海口·二模）已知，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据商的关系化简条件可求，利用平方关系求，再由商的关系求，再利用，结合二倍角公式及同角三角函数关系求，.
【详解】
因为，
所以，又 ，
所以，，故A错误，B正确．
，
所以，
，
故C错误，D正确．
故选：BD.
2．（2022·全国·模拟预测）已知，，则（       ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
切化弦后，由平方关系化为关于的方程，解方程可得，求出后由商数关系得，再由正切的二倍角公式得，由余弦的二倍角公式得，由两角和的正弦余弦公式化简后代入值可得．
【详解】
对于选项A，∵，∴，∴，解得或（舍），故选项A正确；
对于选项B，∵，∴，，，故选项B正确；
对于选项C，，故选项C错误；
对于选项D，
，故选项D正确．
故选：ABD．

题型五：三角函数的图象和性质
1．（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.
【详解】
当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
2．（2022·陕西西安·三模（文））下列区间中，函数单调递增的区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据诱导公式，结合余弦型函数的单调性进行判断即可.
【详解】
，
当时，，显然该集合是的子集
此时函数单调递减，不符合题意；
当时，，显然该集合不是的子集
此时函数不单调递增，不符合题意；
当时，，显然该集合是的子集
此时函数单调递增，符合题意；
当时，，显然该集合不是的子集
此时函数不单调递增，不符合题意，
故选：C
3．（2022·安徽淮南·二模（文））函数的部分图象可能是（       ）
A．B．C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性以及特殊值排除法,即可求解.
【详解】
记,则,故,是奇函数,故图像关于原点对称.此时可排除A,C ,取 ,排除D.
故选:B
4．（2022·江西九江·一模（理））函数的最小正周期为，则的值为（       ）．
A．2 B．4 C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二倍角的余弦公式可得，结合求最小正周期的公式计算即可.
【详解】
解：，
由得函数的最小正周期为，
∴，
故选：A．
5．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知函数的图像如图所示，则ω的值为（       ）

A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由图象分析函数的周期，求得的值.
【详解】
由图象可知，函数的半周期是，所以，得.
故选：C
6．（2022·上海松江·二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对称轴和的范围可得的值，从而可得周期，然后由题意可知的最小值为可得.
【详解】
由题知，则，
因为，所以
所以
易知的最小值为.
故选：B
7．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在上的函数，若的最大值为，则的取值最多有（       ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】
【分析】
因为，讨论或，结合函数图像理解分析．
【详解】
∵，则
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以，结合函数与在上的图像可知，存在唯一的，使得.
综上可知，若的最大值为，则的取值最多有2个.
故选：A．

8．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知函数的图象如图所示.则（       ）

A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由相邻零点与对称轴间的距离为周期的四分之一，求得周期，进而求得，由最低点的坐标求得的值，进而计算得解.
【详解】
由图象可得的最小正周期，∴，
由，解得，
由得，∴，
∴，
故选：A
9．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））函数在区间上的所有零点之和为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把方程变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得．
【详解】
解：因为，令，即，当时显然不成立，
当时，作出和的图象，如图，

它们关于点对称，
由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．
故选：C．
10．（2022·河南郑州·三模（文））关于函数，有下述四个结论：
①的一个周期为；                 ②的图象关于直线对称；
③的一个零点为；        ④在上单调递增．
其中所有正确结论的编号是（       ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦函数的周期性、对称性、零点及单调性依次判断即可.
【详解】
，①正确；，则的图象关于对称，②错误；，，③正确；由可得，单调递减，④错误.
故选：A.
二、多选题
1．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻对称中心的距离为，则（       ）
A．的最小正周期为 B．的最小正周期为
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据三角函数图象性质可得函数解析式进而可得周期.
【详解】
因为图象相邻的对称中心与对称轴的距离为，所以最小正周期，故A正确，B不正确；
因为，且，所以，故C正确，D不正确，
故选：AC.
2．（2022·湖北·荆州中学三模）已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论，其中错误的结论是（        ）
A．的一个周期是
B．是偶函数
C．在区间上单调递减
D．的最大值大于
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用函数周期性的定义可判断A选项的正误；利用和的值可判断B选项的正误；化简函数在上的解析式，可判断C选项的正误；由的值可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，
所以，函数的一个周期为，A选项正确；
对于B选项，，
，
，，
所以，函数不是偶函数，B选项错误；
对于C选项，当时，，，则，
则，所以，函数在是常函数，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：BC.
三、解答题
1．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））设函数.
(1)求函数单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值是
【解析】
【分析】
(1)根据诱导公式和二倍角公式化简得：，再根据余弦函数的单调性求解即可；
(2)化简得,再根据，求解即可.
(1)
，
当        ，即时是单调递减区间；
(2)
，
因为，所以，
，
，
故最小值为，最大值是；
2．（2022·山东临沂·二模）已知函数，，且在上的最大值为．
(1)求的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由求得，再结合在上的最大值为且，知，求出即可；
（2）先求出，由求得，结合诱导公式及倍角公式即可求得.
(1)
因为，所以周期，又在上的最大值为，且，
所以当时，取得最大值，所以，且，即，
，故，解得，故；
(2)
，又，则，
.
3．（2022·浙江台州·二模）设函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由三角函数的性质求解
（2）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解
(1)


∴函数的最小正周期为.
(2)

.
∵，∴，即.
∴函数在上的最大值为.
4．（2022·浙江·三模）已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）的解析式可化简为，令，即可解得的单调递增区间
（2）对恒成立的不等式等价转化后，结合的范围可得，从而解得的范围
(1)


令
解之得
∴的单调递增区间为
(2)
对任意，都有，
∵，
∴，
∴，
∴实数的范围为．