新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题13 平面向量的线性运算及坐标表示（含解析）

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专题13 平面向量的线性运算及坐标表示
【考纲要求】
1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．
2、理解向量的几何表示，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
3、掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义.
一、平面向量的概念
【思维导图】

【考点总结】
一、向量及其几何表示
1.向量与数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量.
2.向量的几何表示
(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度.
(2)向量可以用有向线段表示.向量的大小，也就是向量 的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，，.
二、向量的有关概念
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，记作a∥b
规定：零向量与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
向量a与b相等，记作a＝b












二、平面向量的线性运算
【思维导图】

【考点总结】
一、向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任一向量a，规定＝a＋0＝a.
2.向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作A＝a，B＝b，则向量A叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝A＋B＝A

平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b，作A＝a，A＝b，以A，A为邻边作▱ABCD，

则对角线上的向量A＝a＋b.
二、相反向量
1.定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量.
2.性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0.
(2)若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量.
　(1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图)．显然a＋(－a)＝0.

(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
三、向量的减法
1.定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
2.作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图2­2­11所示.

图2­2­11
3.几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
四、向量的数乘运算
1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
3.运算律：
设λ，μ为实数，则
(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，我们有
(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
三、平面向量基本定理及坐标表示
【考点总结】
1．平面向量的基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
(3)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标；
②设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则点A坐标为(x，y)，反之亦成立(O为坐标原点)．
2．平面向量的坐标运算
向量的加法、减法
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
向量的数乘
设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)
向量坐标的求法
设O(0,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1，y1)，
＝(x2－x1，y2－y1)
3.向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，特别地，若x2，y2≠0，则a∥b⇔＝.
4．三点共线定理
若，是平面内不共线的向量，则存在实数λ1，λ2使得＝λ1＋λ2，则当λ1＋λ2＝1时，A，B，C三点共线，特别地，当λ1＝λ2＝时，C是A与B的中点．

【题型汇编】
题型一：平面向量的概念
题型二：平面向量的线性运算
题型三：平面向量的基本定理及坐标表示
【题型讲解】
题型一：平面向量的概念
一、单选题
1．（2022·湖北·一模）已知则=（       ）
A．4 B． C．10 D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件，利用模的平方可求出的值，再将变形并平方，即可求得答案.
【详解】
由，
可得，
即，
所以，
故，
故选：B
二、填空题
1．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知的外心为，若，且，则___________.
【答案】60°或
【解析】
【分析】
根据向量的运算，结合条件，可知O为BC的中点，再结合，可得 为等边三角形，由此可求答案.
【详解】
设的边BC的中点为D,

则 ,又，
即O,D两点重合，O为BC的中点，即BC为外接圆直径，
则,又，
故 为等边三角形，故 ,即，
故答案为：60°
题型二：平面向量的线性运算
一、单选题
1．（2022·河南·三模（理））已知、、均为非零向量，且，，则（       ）
A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反向
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数乘向量的定义可得出结论.
【详解】
因为，，所以与同向，与反向，所以与反向．
故选：C.
2．（2022·新疆·三模（文））如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 ， ，则可以表示为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件利用平面向量的减法运算列式作答.
【详解】
在平行四边形ABCD中，依题意，，而，
所以.
故选：D
3．（2022·江西·南昌市实验中学一模（文））已知正方形的边长为2，点是的中点，，则向量（       ）.
A．1 B．5 C．7 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将表示为的线性和形式，再结合向量数量积的运算，求得的值.
【详解】
画出图像如下图所示，依题意可知是线段的中点，是线段的中点.故,.故.
故选：C.

【点睛】
本小题主要考查平面向量加法和减法运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
4．（2022·河南·二模（文））正方形中，点，分别是，的中点，那么
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意点，分别是，的中点，求出，，然后求出向量即得．
【详解】
解：因为点是的中点，所以，
点得是的中点，所以，
所以，
故选：．
【点睛】
本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用。属于基础题。
5．（2022·新疆·三模（理））已知D，E分别是的边和的中点，若，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：因为，分别是的边和的中点，

所以
．
故选：D．
6．（2022·河北唐山·三模）已知菱形的边长为2，，则（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量得线性运算可知，代入，可得，再结合代入运算．
【详解】
根据题意可得
∵，即
∴
，即
故选：B．
7．（2022·重庆·三模）已知为的重心，记，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为为的重心，所以，表示出，则，代入即可得出答案.
【详解】
因为为的重心，所以，所以，而.
故选：A.
8．（2022·河南开封·三模（文））在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的加减法法则结合已知条件逐个分析判断即可
【详解】
因为在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，
所以，
因为，
所以,
所以A正确，
因为，
所以，所以B正确，
因为，
所以，所以C正确，
因为，
所以D错误，
故选：D

9．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））在梯形ABCD中，且，点P在边BC上，若，则实数（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
延长、交于点，根据三点共线的推论得到，再根据梯形上下底的比例关系，即可得到，代入即可得解；
【详解】
解：延长、交于点，则、、三点共线，于是可得，
因为且，所以，
所以，故；

故选：A
10．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））已知G是△ABC重心，若，，则的值为（          ）
A．4 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
延长交于，则可得为的中点，再将用表示，然后求两向量的数量积，化简可求得答案
【详解】
延长交于，
因为G是△ABC重心，所以为的中点，
所以，
因为,
所以,
故选：D

11．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（     ）


A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由平面向量的运算对选项逐一判断
【详解】
对于A，，故A正确，
对于B：因为，，所以，故B正确，
对于C：由题意是的外心，不是的重心
设中点为，则，
，故C错误，
对于D：，故D正确．
故选：C
二、多选题
1．（2022·广东惠州·一模）如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（       ）

A．与能构成一组基底 B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
对A，由正八边形性质可证与平行，即可由基底定义判断；
对B，由正八边形性质可证，即可由向量数量积与向量垂直的关系判断；
对C，由，利用平行四边形法则即可计算；
对D，由，即可根据向量数量积定义计算
【详解】


连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，所以，所以与是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；
，所以，所以，B项正确；
因为，由平行四边形法则可知，，C项正确；
正八边形的每一个内角为，，
所以，D项错误（或者从正八边形的性质可知与的夹角为锐角，则有可判断D错误）.
故选：BC
2．（2022·辽宁·育明高中一模）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（       ）

A．为定值 B．的取值范围是
C．当时，为定值 D．的最大值为12
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题设中的圆幂定理可判断AC的正误，取的中点为，连接，利用向量的线性运算可判断B的正误，根据直径的大小可判断D的正误.
【详解】

如图，设直线与圆于，.
则,
故A正确.
取的中点为，连接，则

，
而，故的取值范围是，故B错误.
当时，
，故C正确.
因为，故，故D错误.
故选：AC
题型三：平面向量的基本定理及坐标表示
一、单选题
1．（2022·江西·二模（理））已知向量，且，则（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算公式得到，，利用模列出方程，求出.
【详解】
，，
由于，
所以，
解得：
故选：B
2．（2022·安徽省含山中学三模（文））已知向量．若，则实数（       ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，再利用平行关系即可求出.
【详解】
由题，因为，所以.
故选：A．
3．（2022·陕西渭南·二模（理））已知向量，若，则λ=（       ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意和平面向量的坐标运算求出，利用平面向量数量积的坐标运算计算即可.
【详解】
由题意得，
，
由，得，
所以，
解得.
故选：C
4．（2022·山西临汾·二模（理））已知向量．若，则（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示即可求出．
【详解】
因为，而，所以，解得．
故选：B．
5．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（文））若平面向量与方向相同，且，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量共线设出向量的坐标，然后由向量的模的坐标表示列方程可解.
【详解】
因为向量与方向相同，且，所以，所以，解得，所以.
故选：D
6．（2022·全国·二模（理））已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示，联立方程组求解即可得答案.
【详解】
解：因为向量，，，
所以，
又，，
所以，解得，
所以向量的坐标为，
故选：D.
7．（2022·山西吕梁·三模（文））已知向量，且，则实数（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量平行列方程即可求出.
【详解】
由向量，得.
因为，所以，解得.
故选：A
8．（2022·河北保定·二模）已知向量，，则（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
由题知，进而求模即可.
【详解】
解：由题意可得，所以.
故选：C
9．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知，，若，则（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示计算作答.
【详解】
因，，则，而，
因此，，解得，
所以.
故选：A
二、多选题
1．（2022·广东广州·三模）已知向量，，则下列结论中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断即可.
【详解】
，A正确；，B正确；
，则，C正确；
，D错误.
故选：ABC.
2．（2022·山东日照·二模）已知向量，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于A，由根据向量的平行可判断；对于B、C根据向量的垂直可判断；对于D，根据向量的模可判断.
【详解】
由，，，
对于A，若，由，故A错误；
对于B，若，则，符合题意，故B正确；
对于C，若，由，故C错误；
对于D，，，故D正确.
故选：BD.
3．（2022·山东青岛·一模）已知向量，，则下列结论正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与的夹角为锐角
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据向量垂直、平行、模、夹角的坐标运算对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
A选项，，，A选项正确.
B选项，，，B选项错误.
C选项，，C选项错误.
D选项，，，为锐角，D选项正确.
故选：AD
4．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知O为坐标原点，，， ，则下列结论正确的是（       ）
A．为等边三角形 B．最小值为
C．满足的点P有两个 D．存在一点P使得
【答案】AD
【解析】
【分析】
A选项，利用向量模长的坐标表示求出三角形三边长判断结论；B选项，利用向量数量积的坐标表示，再利用三角函数求其最值；C选项，利用向量的数量积为求解方程；D选项，利用向量的坐标表示以及向量相等的等价形式求解.
【详解】
对于A，，，
，，

为等边三角形，A正确；
对于B， ，

又，
又在上单调递增，
，B错误；
对于C，，
即
，只有一个点，C错误；
对于D，假设存在点
， ，

即
，D正确；
故选：AD.