新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题18 数列的通项公式和数列求和（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题18 数列的通项公式和数列求和（含解析），共33页。
专题18 数列的通项公式和数列求和
【考纲要求】
掌握数列求和的几种基本方法．
【思维导图】

【考点总结】
一、倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
二、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
三、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
裂项相消求和经常用到下列拆项公式：
(1)＝－；
(2)＝；
(3)＝－．
【思维导图】


【考点总结】
一、分组求和法
分组求和一般适用于两种形式：
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
二、并项求和法
一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
【题型汇编】
题型一：倒序相加法数列的前n项和
题型二：错位相减法数列的前n项和
题型三：裂项相消法数列的前n项和
题型四：分组并项法数列的前n项和
题型五：数列求和的其他方法
【题型讲解】
题型一：倒序相加法数列的前n项和
1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数，则______．
【答案】4043
【解析】
【分析】
根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
可得
，
设，
则
两式相加，可得

，
所以.
故答案为：.
2．（2022·江西萍乡·二模（理））已知函数，等差数列满足，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】
.
依题意是等差数列，
令，
，
结合等差数列的性质，两式相加得.
故答案为：.
3．（2022·四川遂宁·三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意先求，然后利用倒序相加法求，则由可得，求出的最小值即可求得的取值范围
【详解】
因为，
所以，
由，
，
所以，所以，
所以由，得，
，
，
所以，
令，（）则当，递减，当时，递增，
因为，
所以，
所以，
即的取值范围是，
故答案为：
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值．
【详解】
∵①，
∴当时，②，
①－②得，∴；
当时，，∴，此时仍然成立，
∴．
∴当n=1时，；
当时，，
当n=1时，上式也成立，故．
由于，
设

则，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题关键是熟练掌握利用前n项和与通项公式的关系求得，观察猜测并发现为定值，从而利用倒序相加法即可求和．
题型二：错位相减法数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·广东·三模）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据欧拉函数定义得出，然后由错位相减法求得和，从而可得．
【详解】
因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，则，
于是①，
②，
由①-②得，
则.于是.
故选：A．
二、填空题
1．（2022·山东聊城·二模）已知数列，当时，，则数列的前项的和为______．
【答案】
【解析】
【分析】
分别取、、、时，满足的项数，计算得出，利用错位相减法可求得数列的前项的和.
【详解】
当时，，共项，
当时，，共项，
当时，，共项，

当时，，共项，又因为，
所以，数列的前项的和为，
记，
则，
上述两个等式作差可得，
所以，，
因此，数列的前项的和为.
故答案为：.
2．（2022·陕西·安康市高新中学三模（文））已知为等差数列的前n项和，，，设，且数列的前n项和为，则使恒成立的实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得数列的通项公式，由此求得，利用错位相减求和法求得，由分离常数，从而求得的取值范围.
【详解】
设的公差为d，由，得，解得，
故数列的通项公式为，所以．
则①，
②，
由①－②得，
所以．
因为等价于恒成立，
而，
所以．
故答案为：
3．（2022·陕西·略阳县天津高级中学二模（理））已知数列满足，，则数列{}的前9项和为______________．
【答案】8149
【解析】
【分析】
利用通项公式求出，然后利用错位相减求和即可.
【详解】
由题可知：，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以，设的前9项和为，的前9项和为
所以①，
②，
①-②得，
所以
．
故答案为：8149.
三、解答题
1．（2022·河北邯郸·二模）已知等比数列{}的公比，且，．
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设数列{}的前n项和为，求数列{}的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）利用错位相消法进行求解即可.
(1)
由，或（舍去），
所以；
(2)
由（1）可知，所以，
所以，设数列{}的前n项和为，
，
，
，得，
即.
2．（2022·河南许昌·三模（文））已知等差数列的前n项和为，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，由可求出，从而得出的通项公式，根据等比数列的定义可求出数列的通项公式；
（2）根据错位相减法即可求出．
(1)
设等差数列的公差为，，解得，所以；又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即．
(2)
因为，
所以，①
②.
①－②得，


，.
3．（2022·江西·二模（文））已知等比数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据 求出 通项，再验证 即可
（2）先求出 的通项公式，再用错位相减求和法求前n项和即可
(1)
由得

相减得
当时，也满足上式，
∴．
(2)
由
        ①
        ②
①-②得

∴
4．（2022·广东·华南师大附中三模）已知等差数列中，，，且.
(1)求数列的通项公式及前2n项和；
(2)若，记数列的前n项和为，求.
【答案】(1)，数列的前2n项和为
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合，求得等差数列的通项公式，即可得的通项公式，利用分组求和的方法，根据等差数列和等比数列的前n项和公式求解即可；
（2）由（1）可知，利用错位相减法求解即可.
(1)
设等差数列的公差为d，则，
所以，从而．


.
(2)
∵，
∴，
，
相减得，，
，
即.

题型三：裂项相消法数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·广西柳州·三模（理））我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，．
第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an．
则a1a2＋a2a3＋…＋an-1an等于（       ）
A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，再利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】





故选：C．
2．（2022·陕西·西安中学三模（文））数列，满足，，，则的前10项之和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
求出的通项，利用裂项相消法可求前10项之和.
【详解】
因为，，故，
故的前10项之和为，
故选：D.
3．（2022·广东广州·三模）已知数列满足，，则数列的前2022项和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得出为等差数列，即可求出，进而得出，利用裂项相消法可求出.
【详解】
当时，；当时.
所以，所以.
因为，
所以，
所以是一个首项为3，公差为1的等差数列，所以，故.
所以，
所以.故选：A
4．（2022·云南·二模（文））设等差数列的前n项和为．若，，则数列的前项和是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，进而得，，故，再根据裂项求和求解即可.
【详解】
解：设等差数列的公差为，
因为，，则，解得
所以，所以，
所以数列的前项和为：

故选：B
5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模（文））数列中，，，.当时，n等于（       ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】B
【解析】
【分析】
根据累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出，
结合即可求解.
【详解】
由，得，

.
当时，此式也满足，故数列的通项公式为：
.

.
又因为，所以，解得.
故选：B.
二、解答题
1．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正项数列的前项和满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求证：数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用可证是首项为，公比为的等比数列；（2）整理，利用裂项相消求和证明．
(1)
由题意：，
当时，可得，

两式相减得到
又，是首项为，公比为的等比数列
的通项公式为.
(2)
由题意知，



2．（2022·山东威海·三模）已知等比数列的各项均为正值，是、的等差中项，，记．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设数列的公比为，则，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列和的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法可证得结论成立.
(1)
解：设数列的公比为，则，
由题意知，可得，解得，
所以，，．
(2)
证明：因为，
所以.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））等比数列中，首项，前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设数列公比为q，根据通项公式列式求出，即可得解；
（2）根据进行裂项求和可求出结果.
(1)
设数列公比为q，由，，可得，
化简得，即，所以.
(2)
，
则.
3．（2022·宁夏石嘴山·一模（文））已知为等比数列，前n项和为，，.
(1)求的通项公式及前n项和；
(2)若，求数列的前100项和.
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）设公比为，依题意根据等比数列通项公式得到方程求出，即可求出与；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可；
(1)
解：设公比为，
∵，，∴，∴，
∴；
(2)
解：∵，
∴，
∴.
4．（2022·内蒙古通辽·二模（理））已知数列的前项和为，且.
(1)证明：为等比数列.
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列；
（2）求出，利用裂项相消法可求得.
(1)
证明：因为，所以当时，，可得；
当时，由可得，
所以，所以.
即是首项为，公比为的等比数列，所以，.
(2)
解：由（1）知，
所以.
题型四：分组并项法数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（       ）
A．351 B．353 C．531 D．533
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意讨论的奇偶，当为奇数时，可得，按等差数列理解处理，当为偶数时，可得，按并项求和理解出来，则按奇偶分组求和分别理解处理．
【详解】
依题意，，
显然，当n为奇数时有，
即有，，…，，
令，故，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
故；
当n为偶数时有，
即，，…，，
于是，

，
故选：B．
2．（2022·四川·仁寿一中二模（理））数列{}中，，前和为，则为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用数列通项公式求和，然后可得答案.
【详解】
解：由题意得：



故选：C
3．（2022·福建漳州·二模）已知是数列的前n项和，，，，记且，则（     ）
A．171 B．278 C．351 D．395
【答案】C
【解析】
【分析】
通过得出数列隔两项取出的数是等差数列，按照等差数列求和和分组求和计算得出答案.
【详解】
由，，
是首项为1，公差为2的等差数列，是首项为2，公差为2的等差数列，
是首项为3，公差为2的等差数列，

.
故选：C.
4．（2022·陕西·西安中学二模（理））已知数列满足，，则数列的前项和（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将递推公式变形，可得数列相邻奇数项和相邻偶数项的和的通项公式，再求前40项的和.
【详解】
由题意可得，，两式相减得： ，，两式相加得：，故
.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：将两式相减得相邻奇数项的和，将第一个式子中的换成，再与第二个式子相加，得相邻偶数项的和，最后再计算前40项的和.
二、解答题
1．（2022·上海松江·二模）在等差数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过基本量列方程组求解可得；
（2）先求通项，结合（1）可得通项，然后分组求和可得.
(1)
设等差数列的公差为，
由，
可得，
解得，
∴；
(2)
∵数列是首项为1，公比为3的等比数列，
∴，
又，可得，
所以
．
2．（2022·广东韶关·二模）已知数列前项和为，
(1)证明：
(2)设 求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据与前项和为的关系，即可证明结果；
（2）由（1），对分奇数和偶数两种情况讨论，可得，由此可得，再根据分组求和即可求出结果.
(1)
解：由题可知，
当时，解得，所以
又因为，
将其与两式相减得：，
因为，有.
当时，上式也成立，
综上，.
(2)
解：当n为大于1的奇数时，
有，，，…，
累加得
又满足上式，所以n为奇数时；
当n为大于2的偶数时，有，，，…，
累加得，满足上式，又，
综上可知



.
3．（2022·重庆·二模）设为数列的前项和，已知，.若数列满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据求解的通项，根据，可得为等比数列，求解计算即可；（2）根据通项采用分组求和即可.
(1)
由，①，得：
当时，,解得或（负值舍去），
当时，②，
得：，
所以，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
所以.
因为数列满足，，.
所以数列是等比数列，首项为2，公比为2.
所以.
(2)
因为，所以，
所以


.
4．（2022·陕西宝鸡·三模（文））已知数列中，且.记
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若数列的前项和为，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由递推公式代入可得，即可证明是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）先求出，再由分组求和法求出数列的前项和.
(1)
证明：由，得，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
(2)
由（1）知，，
令数列的前项和为，由知
.
题型五：数列求和的其他方法
一、单选题
1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学三模（文））已知数列的前n项之和，则的值为　　
A．61 B．65 C．67 D．68
【答案】C
【解析】
【分析】
首先运用求出通项，判断正负情况，再运用即可得到答案．
【详解】
当时，，
当时，，
故，
据通项公式得




．
故选C．
【点睛】
本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意的情况，是一道基础题．
二、多选题
1．（2022·重庆·三模）数列依次为：1，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第一项为，接下来三项均为，再接下来五项均为，依此类推.记的前项和为，则（       ）
A． B．存在正整数，使得
C． D．数列是递减数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据数列的规律即可求出，即可判断A选项；求出数列的通项公式，做差法推出矛盾即可说明B选项；求出数列的前n项和公式，做差法即可说明C选项；根据数列单调性的概念，比较即可判断D选项.
【详解】
A：由数列可知占了数列的项，且相对应的项的和为1，
，，所以，故，故A正确；
B：若，则，故，即 ，与矛盾， 故B错误；
C： 若，则，
而，
若，则，故；
若，则，
故，
即，因为，故，即，即，综上：，故C正确；
D：因为，则，
所以，
则


，
所以，故数列是递减数列，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
数列求和的方法技巧：
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和，或者奇偶项通项公式不同的数列，或者周期性数列．
（4）裂项相消.
三、解答题
1．（2022·广东佛山·三模）设各项非零的数列的前项和记为，记，且满足．
(1)求的值，证明数列为等差数列并求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）依据题意列出关于的方程即可求得的值，依据等差数列的定义去证明数列为等差数列，进而求得的通项公式；
（2）先求得数列的通项公式，再分类讨论去求数列的前项和．
(1)
由题意可知，，且，解得：或（舍去）
又当时，，所以有
化简得：，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列
所以
(2)
由(1)可知
当时，
当时，
则，
①当是奇数时，

②当是偶数时，

综上所述：
2．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由和的关系式，得到和的递推关系式，从而得到的通项公式；
（2）根据（1）中求得的通项，求出通项公式，然后分奇偶，分别求出其前项的和.
【详解】
（1）当时，.
因为，所以，所以.
因为，所以.
两式相减，得，即
又因为，所以.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
（2）由（1）可知
故当为偶数时，
当为奇数时，

所以
【点睛】
本题考查通过与的关系求通项公式，分奇偶求数列的前项和，属于中档题.