北京市陈经纶中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

这是一份北京市陈经纶中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了解答题共5小题，共70分等内容，欢迎下载使用。
2023 北京陈经纶中学高一10月月考数 学本试卷共 8页，150分。考试时长 90 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合, 则( )A.{-1,2}    B. {1,2}    C. {1,4}    D. {-1,4}2.若函数,且, 则=(  )A.7     B.8     C.9     D. 103. 设全集, 集合,则图中阴影部分对应的集合为( )A.   B.C.   D.4.若，下列不等式中不一定成立的是(  )            D. 5.已知函数的定义域为, 则的定义域是(   )        C.   D.6.已知实数a、b、c满足,那么“”是“”成立的( )A. 充分不必要条件      B. 必要不充分条件C. 充分必要条件       D. 既不充分也不必要条件7. 二次函数.的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为且(,如图所示，则m的取值范围是( )A. m>0        或  8.已知函数 若,则a=( )A.     B.0     C.或0    9. 若存在,有成立，则实数a的取值范围是( )         B.             10. 对集合 的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下： 按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果. 例如：集合的“交替和”为6-4+2-1=3,集合的“交替和”为8-3=5,集合{6}的“交替和”为 6,则集合A所有非空子集的“交替和”的和为( )A.    B.    C.    D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11.函数 的定义域为        .12.已知,且 则的取值范围是       .13.已知不等式的解集为,则不等式的解集是        .14.已知函数的值域是，则实数m的取值范围是         .15.若,则实数m的一个取值为         .16. 高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影. 设,用符号表示不大于x的最大整数,如[1.6]=1,[-1.6]=-2 称函数叫做高斯函数. 给出下列关于高斯函数的说法：①②若,则③函数的值域是④函数在上单调递增其中所有正确说法的序号是         .  三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17. 设全集为R,集合.(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)当a=0时,是否满足?说明理由;(Ⅲ)在, 这三个条件中任选一个作为已知条件,求实数a的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答， 则按第一个解答计分)    18. 设.(Ⅰ)若不等式对恒成立,求实数m的取值范围;(Ⅱ)已知,解关于x的不等式.   19. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下：①3小时内(含 3小时)为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位： EXP)与游玩时间t(单位：小时)满足关系式：;②3到5小时(含5小时)为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变)；③超过 5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50.(Ⅰ)当a=1时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式，求出游玩6小时的累积经验值；(Ⅱ)该游戏厂商把累积经验值 E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若a>0，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于 24，求实数a的取值范围.  20.已知函数 (Ⅰ)求函数的零点;(Ⅱ)证明: 函数在区间上单调递增;(Ⅲ)若时,恒成立，求正数a的取值范围.21. 设集合A为非空数集，定义.(Ⅰ)若集合,直接写出集合及;(Ⅱ)若集合,且,求证;(Ⅲ)若集合,且,求A中元素个数的最大值.
参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】C【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.【详解】解： 由题意得：集合A={1,2,3,…,n}的非空子集中,除去集合{n},还有2"-2个非空集合,将这2"-2个子集分成两类:第一类：包含n的子集；第二类： 不包含n的子集；在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系： f：A₁→A₁∪{n}，其中A₁是第二类子集，显然这种对应是一一映射设A₁的“交替和”为k，则A₁∪{n}的“交替和”为n-k，这一对集合的“交替和”的和等于n，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为 故选: B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11.【答案】[-1,0)∪(0,+∞)12.【答案】[9,+∞)13.【答案】{x|-3≤x≤5}14.【答案】[0,2]15.【答案】m=0(答案不唯一)16.【答案】①②④，对1个给3分，对2个给4分，全对给5分，有错不得分三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17. 解:(Ⅰ)全集为R, 集合A={x|x²-2x-3>0}={x|x<-1}或x>3}(1分),所以 (2分);又a=-1时,集合B={x|a-1<x<2a+3}={x|-2<x<1}(3分),所以 (5分，若结果开闭区间错扣1分)(Ⅱ)当a=0时,不满足A∪B=R,(6分)理由如下: B={x|-1<x<3}, A∪B={x∈R|x≠-1且x≠3}, 故A∪B≠R(8分).(Ⅶ)选择①A∪B=A作为已知条件.(选择②③的解法同①)因为A∪B=A,所以B⊆A(9分),又由A={x|x<-1或x>3}得,当B=∅时, a-1≥2a+3(10分),解得a≤-4;(11分)当B≠∅时, 或 (12分)所以 或 所以-4<a≤-2或a≥4.(13分)综上,可得a的取值范围为(-∞,-2]∪[4, +∞).(14分)18.(Ⅰ)解:由.y=mx²+(1-m)x+m-2≥-2对一切实数x恒成立,即mx²+(1-m)x+m≥0对一切实数x恒成立,(1分)当m=0时, x≥0,不满足题意;(2分)当m≠0时，则满足 (4分),解得 (5分),综上所述，实数m的取值范围为 (6分).(2) 解:由不等式(mx²+(1-m)x+m-2<m-1,即(mx+1)(x-1)<0,(8分)方程(mx+1)(x-1)=0的两个根为( (9分，此步骤不写不扣分)①当m=-1时,不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);(10分)②当m<-1时，不等式的解集为 (12分)③当-1<m<0时,不等式的解集为( (14分)若①②合并讨论，结果正确也给分19.【详解】(1)当0<t≤2时, a=1,_E=t²+20t+16,(1分)当t=3时,E=85(2分),故当3<t≤5时, E=85,(3分)当t>5时, E=85-50(t-5)=335-50t,(5分,列式1分,化简1分)所以 (6分)当t=6时, E(t)=35.(7分)(2)当0<t≤3时, (9分)整理得：t²-4t+16a≥0恒成立,(10分)令f(t)=t²-4t+16a函数的对称轴是t=2∈(0,3],当t=2时,f(t)取得最小值16a-4(12分),即116a-4≥0,a≥ .所以实数a的取值范围是 (14分)用其他方法酌情给分.20.(1) 解:因为 所以x≠-1，(1分，若结果正确，此步不写不扣分)令 则有2x²=x+1,即2x²-x-1=0,解得x=1或 (3分)(2)证明:任取x₁,x₂∈(0,+∞),x₁<x₂,(4分)则 (6分)因为0<x₁<x₂,所以 (7分)即 (8分)所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;(9分)(3)解:若x>0时,f(ax²+2a)>0恒成立，即f(ax²+2a)>f(1)恒成立(10分)因为a>0,所以ax²+2a>0,又函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以“f(ax²+2a)>f(1)恒成立”等价于“ax²+2a>1恒成立”(12分)即 在x∈(0,+∞)上恒成立,故a的取值范围为 (14分，开闭区间错扣1分)21. 解:(Ⅰ) A⁺={-2,0,2}, A⁻={0, 2};(4分,每个2分)(Ⅱ)由于集合.A={x₁, x₂,x₃, x₄},x₁<x₂<x₃<x₄,且A⁻=A,所以A⁻中也只包含四个元素，即. (6分)剩下的x₃-x₂=x₄-x₃=x₂-x₁,所以.x₁+x₄=x₂+x₃;(8分)(Ⅲ)设 满足题意， 其中 则 所以 所以|A⁻|≥k,因为 由容斥原理| A⁺∪A⁻中最小的元素为0，最大的元素为 所以| 所以： ,所以k≤1349,实际上当A={675, 676,677, …, 2023}时满足题意,证明如下:设A={m, m+1, m-2,…, 2023}, m∈N,则 A⁺={2m,2m+1,2m+2,…, 4046}, A⁻={0,1,2,…, 2023-m},依题意有2023-m<2m,即 故m的最小值为675，于是当m=675时，A中元素最多，即A={675, 676, 677, …, 2023}时满足题意,综上所述，集合A中元素的个数的最大值是 1349.(14分)