广东省深圳市 高级中学2023-2024学年九年级上学期 10月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市 高级中学2023-2024学年九年级上学期 10月月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了如图所示，矩形ABOC的顶点O等内容，欢迎下载使用。
深圳高级中学2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞－1 B．k＞－1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
2．一个不透明的口袋中装着只有颜色不同的红、白两球共10个，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回搅匀，如此这样共摸球100次，发现70次摸到红球，估计这个口袋中有（　　）个红球．
A．7 B．8 C．9 D．10
3．顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD一定满足（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．AC＝BD，AC⊥BD D．AB⊥BC
4．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC．若S△BDE：S△ADE＝1：2．则S△DOE：S△AOC的值为（　　）

A． B． C． D．
5．如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙的一边长度为x米，则可列方程为（　　）

A．（33－2x）x＝65 B．（32－2x）x＝65
C．（31－2x）x＝65 D．（32－2x）（x＋1）＝65
6．已知，如图∠DAB＝∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是（　　）

A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
7．如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），A（－2，2），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第74次旋转后点P的落点坐标为（　　）

A． B．（2，0） C． D．
8．若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（　　）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为（　　）

A． B． C． D．

10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD2＝PH•CD；④．其中正确的有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每题3分，共15分）
11．若实数a，b是方程x2－4x＋3＝0的两个实数根，则a＋b的值是 　 　．
12．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走　 　 米报幕（结果精确到0.1米）．

13．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝　 　度．

14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝AB，点D在BC边上，PD＝PC，则的值是 　 　．

15．如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为 　 　．

三．解答题（共55分）
16．（6分）先化简，再求值：，请从－2，－1，1，2四个数中选择一个合适的数代入求值．
17．（6分）解方程：．
18．（7分）“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40－70分钟以内完成”，C表示“70－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．

请结合统计图，回答下列问题：
（1）这次调查的总人数是 　 　人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 　 　°；C类扇形所占的百分比是 　 　．
（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．

19．（8分）2022年受新型冠状病毒疫情的影响，水果电商有了意想不到的机遇，据统计某水果电商平台1月份的销售额是225万元，第一季度的销售额是819万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
20．（8分）如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA＝∠CGF；
（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．

21．（10分）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．

【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．①△BCG是 　 　三角形．②若AD＝4，则BD＝　 　；
【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；
【应用拓展】（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请求出k的值．

22．（10分）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；
拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．


深高级十月月考数学试卷参考答案与试题解析
一．选择题
1．关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞－1 B．k＞－1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22－4×k×（－1）＞0且k≠0，
解得k＞－1且k≠0，
故选：B．
2．一个不透明的口袋中装着只有颜色不同的红、白两球共10个，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回搅匀，如此这样共摸球100次，发现70次摸到红球，估计这个口袋中有（　　）个红球．
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：由题意可得，
红球的概率为＝70%，
则这个口袋中红球的个数：10×70%＝7（个）．
故选：A．
3．顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD一定满足（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．AC＝BD，AC⊥BD D．AB⊥BC
【解答】解：已知：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：B．

4．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC．若S△BDE：S△ADE＝1：2．则S△DOE：S△AOC的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：2，
∴BE：EC＝1：2，
∴BE：BC＝1：3，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，
∴＝＝，
∴S△DOE：S△AOC＝（）2＝，
故选：B．
5．如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙的一边长度为x米，则可列方程为（　　）

A．（33－2x）x＝65 B．（32－2x）x＝65
C．（31－2x）x＝65 D．（32－2x）（x＋1）＝65
【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，
依题意得（33－2x）x＝65，
故选：A．
6．已知，如图∠DAB＝∠CAE，下列条件中不能判断△DAE∽△BAC的是（　　）

A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC．
A．∵∠D＝∠B，∠DAE＝∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，选项A不符合题意；
B．∵∠E＝∠C，∠DAE＝∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，选项B不符合题意；
C．∵＝，∠DAE＝∠BAC，无法证出△DAE∽△BAC，
∴选项C符合题意；
D．∵＝，∠DAE＝∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，选项D不符合题意．
故选：C．
7．如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），A（－2，2），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第74次旋转后点P的落点坐标为（　　）

A． B．（2，0） C． D．
【解答】解：∵四边形ABOC是矩形，
∴OP＝AP，
∵点O（0，0），A（－2，2），
∴点P（－，1），
∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，
∴每4次回到起始位置，
∵74÷4＝18•••2，
∴第74次旋转后点P的落点在第四象限，且与点P关于原点成中心对称，
∴第74次旋转后点P的落点坐标为（－，1），
故选：D．
8．若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（　　）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
【解答】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴a＝b，或a、b中有一个数为4．
当a＝b时，有b2－4ac＝（－6）2－4（n＋1）＝0，
解得：n＝8；
当a、b中有一个数为4时，有42－6×4＋n＋1＝0，
解得：n＝7，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥PP'于D，
由旋转可得，AP＝AP'，∠PAP'＝120°，
∴PP'＝2PD，∠APD＝30°，
当PD最短时，PP'最短，且PD＝AP×cos30°，
∵P为BC边上一动点，
∴当AP⊥BC时，AP最短，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，
∴∠C＝30°，
∴当AP⊥BC时，AP＝AC×sin30°＝4×＝2，
此时，PP'＝2PD＝2×AP×cos30°＝2×2×＝2，
故答案为：2．

10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DHF＝4∠FDP；②△DFP∽△BPH；③PD2＝PH•CD；④．其中正确的有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，
∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°－60°＝30°，
∴，
∴∠FDP＝90°－75°＝15°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BHC＝180°－∠DBC－∠BCH＝180°－45°－60°＝75°，
∴∠DHF＝∠BHC＝75°，
∴∠DHF＝5∠FDP，故①错误；
∵∠PBC＝60°，∠DBC＝45°，
∴∠PBD＝60°－45°＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH，故②正确；
∵∠PDC＝75°，∠DHP＝75°，
∴∠DHP＝∠CDP，
又∵∠DPH＝∠CPD，
∴△DPH∽△CPD，
∴
∴PD2＝PH⋅PC，
∵PC＝CD，
∴PD2＝PH•CD，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，则正方形ABCD的面积为16，
∵△BPC为正三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，
∵∠PCD＝30°，
∴，，
∵S△BPD＝S△PBC＋S△PDC－S△BCD＝＝＝，
∴，故④错误；
综上，正确的是②③，有2个，
故选：B．

二．填空题
11．若实数a，b是方程x2－4x＋3＝0的两个实数根，则a＋b的值是 　4　．
【解答】解：∵实数a，b是方程x2－4x＋3＝0的两个实数根，
∴a＋b＝4．
故答案为：4．
12．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走　3.8　 米报幕（结果精确到0.1米）．

【解答】解：∵点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，
∴PB＝AB＝×10＝5－5（米），
∴AP＝AB－PB＝10－（5－5）＝15－5≈3.8（米）．
故答案为：3.8．
13．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝　25　度．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°，
∵DH⊥AB，
∴OH＝BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO＝＝25°，
故答案为：25．

14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，PA＝AB，点D在BC边上，PD＝PC，则的值是 　　．

【解答】解：如图，过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AC∥PE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠B＝∠E，
∴PB＝PE，
∵PC＝PD，
∴∠PDC＝∠PCD，
∴∠BPD＝∠EPC，
∴在△PCE和△PDB中，
，
∴△PCE≌△PDB（SAS），
∴BD＝CE，
∵AC∥PE，
∴，
∵PA＝AB，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为 　　．

【解答】解：如图，连接DE．取EC的中点J，连接DJ．

∵△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，
∵AD＝2CD，CE＝2BE，
∴EC＝2CD，
∵EJ＝JC，
∴CD＝CJ，
∵∠DCJ＝60°，
∴△DCJ是等边三角形，
∴DJ＝JE＝JC，
∴∠CDE＝90°，
∴DE＝CD＝，
∴AE＝＝＝，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠APD＝∠BAE＋∠ABP＝∠CBD＋∠ABP＝60°，
∴∠APD＝∠ACE＝60°，
∵∠PAD＝∠CAE，
∴△PAD∽△CAE，
∴＝，
∴＝，
∴△ADE∽△APC，
∴＝，
∴＝，
∴PC＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．先化简，再求值：，请从－2，－1，1，2四个数中选择一个合适的数代入求值．
【解答】解：原式＝÷[＋]
＝÷
＝÷
＝•
＝，
∵a＝－2，－1，2时，原分式无意义，
∴a＝1，
当a＝1时，原式＝＝．
17．解方程：．
【解答】解：去分母得：x＝x2－4－x＋2，
整理得：x2－2x－2＝0，
解得：x1＝1＋，x2＝1－，
当x＝1＋或1－时，（x＋2）（x－2）≠0，
∴分式方程的解为x1＝1＋，x2＝1－．
18．“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40－70分钟以内完成”，C表示“70－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．

请结合统计图，回答下列问题：
（1）这次调查的总人数是 　40　人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 　108　°；C类扇形所占的百分比是 　45%　．
（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．

【解答】解：（1）这次调查的总人数为6÷15%＝40（人），
扇形统计图中，B类扇形的圆心角为×360°＝108°，
C类的学生人数为40－6－12－4＝18（人），
∴C类扇形所占的百分比为×100%＝45%．
故答案为：40；108；45%．

（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．
19．2022年受新型冠状病毒疫情的影响，水果电商有了意想不到的机遇，据统计某水果电商平台1月份的销售额是225万元，第一季度的销售额是819万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
【解答】解：（1）设月平均增长率为x，则：225＋225（1＋x）＋225（1＋x）2＝819，
解得：x1＝0.2，x2＝－3.2（舍去），
∴月平均增长率是20%．
（2），
解得：y1＝4，y2＝2（舍去）
∴若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低4元．
20．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA＝∠CGF；
（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．

【解答】证明：（1）连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠CGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠HEA＝∠CGF；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠A＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG＝HE，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），
∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG＋∠DGH＝90°，
∴∠DHG＋∠AHE＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴菱形EFGH为正方形；

21．定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．

【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．①△BCG是 　等腰　三角形．②若AD＝4，则BD＝　8　；
【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；
【应用拓展】（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请求出k的值．

【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边，
∴BG＝DG＝AD＝BC，
∴△ADG与△BCG是等腰三角形；
②∵AD＝4，
∴BD＝2AD＝8，
故答案为：等腰；8；

（2）存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形．理由如下：
当BC＝2AB时，四边形ABEC是和谐四边形，
∵BC＝AD＝4，AB＝k，
∴BC＝2k，
∴k＝2；
当BC＝2AC时，不满足直角三角形的斜边大于直角边．
当AE＝2AC时，，无解．
当AE＝2AB时，，无解．
∴k的值为2时，四边形ABEC是和谐四边形；


（3）∵四边形ABCD是和谐四边形，BD为和谐对角线，AD为和谐边，
∴AD＝DG，
∴∠DAG＝∠AGD，
∵四边形ABEC是和谐四边形，AE为和谐对角线，AC为和谐边，
∴AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠ACF，
∴∠DAG＝∠AGD＝∠ACF＝∠AFC，
∴∠ADG＝∠CAF，
∵，，
∴，
∴△ADB～△ACE，
∵AB＝CE，
∴相似比为1，
∴△ADB≌△ACE，
∴AC＝AD，
作DM⊥AC于M，如图3所示：

∵AD＝DG，
∴AM＝GM，
设AM＝x，则AG＝2x，
∴AC＝2AG＝AD＝4x，
∴CM＝3x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
，
在Rt△DMC中，由勾股定理得：
，
∵CD＝AB＝4，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
22．问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；
拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．

【解答】问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
解：如图1，连接EC，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴，
∴＝3．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴＝3．
拓展创新
解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠MDA，
∴∠BDC＋∠CDM＝∠ADM＋∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴，
∵AC＝2，
∴BM＝2＝6，
∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，
∴AD＝．