广西南宁市邕宁区2022—2023学年下学期八年级期中数学试卷

2022-2023学年广西南宁市邕宁区八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．（3分）化简的结果是（　　）

A． B．3 C．± D．±3

2．（3分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（　　）

A．打喷嚏  捂口鼻 B．喷嚏后，慎揉眼 

C．勤洗手   勤通风 D．戴口罩   讲卫生

3．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）

A．，， B．2，3，4 C．6，7，8 D．9，12，15

4．（3分）一元二次方程x2﹣1＝0的根是（　　）

A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x＝1

5．（3分）已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）

A．m＜1 B．m≠0 C．m＞1 D．m≠1

6．（3分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

7．（3分）已知△ABC 三边长分别为5，12，13，则此三角形的面积为（　　）

A．65 B．60 C．32.5 D．30

8．（3分）已知正比例函数y＝（1﹣m）x的图象过二、四象限，则m的取值范围是（　　）

A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1

9．（3分）下列四个命题中，错误的命题是（　　）

A．四条边都相等的四边形是菱形 

B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 

C．有三个角是直角的四边形是矩形 

D．对角线互相平分且相等四边形是矩形

10．（3分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（　　）

A．56元 B．57元 C．59元 D．57元或59元

11．（3分）a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（　　）

A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b

12．（3分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若DA＝DE，则CF＝FG；其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．①② C．②③ D．①③

二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）

13．（2分）在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　      　．

14．（2分）因式分解：2x2﹣4x＝　          　．

15．（2分）已知函数y＝（m+2）x﹣3是一次函数，则m的值是 　       　．

16．（2分）如果是整数，则正整数n的最小值是　   　．

17．（2分）如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，∠AOC＝60°，点A的坐标为（6，0），则点B的坐标为　                  　．

18．（2分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变．MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为3和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 　                　．

三．解答题（共8小题，满分72分）

19．（6分）计算：．

20．（6分）4x（2x+1）＝3（2x+1）．

21．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．

（1）请作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）计算△A1B1C1的面积；

（3）借助已知点的坐标，直接作出直线y＝x的函数图象（不需要说明理由）．

22．（10分）已知关于x的方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．

（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．

（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．

23．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE．

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；

（2）连接OE，若∠ABC＝60°，且AD＝DE＝4，求OE的长．

24．（10分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．

（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；

（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于5000元．那么有哪几种购买方案？

25．（10分）观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：．

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证．

（2）写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．

26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）用t的代数式表示：AE＝　     　；DF＝　     　；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

2022-2023学年广西南宁市邕宁区八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1． 解：＝3．

故选：B．

2． 解：A、不是轴对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，不合题意；

C、不是轴对称图形，不合题意；

D、是轴对称图形，符合题意．

故选：D．

3． 解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；

B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误；

C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；

D、92+122＝152，能构成直角三角形，故正确．

故选：D．

4． 解：∵x2﹣1＝0，

∴x2＝1，

∴x＝±1，

即x1＝﹣1，x2＝1．

故选：C．

5． 解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，

∴m﹣1≠0，

∴m≠1，

故选：D．

6． 解：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，

∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2AD+2AE+2DE＝2（AD+AE+DE）＝2×6＝12．

故选：B．

7． 解：∵52+122＝169，132＝169，

∴52+122＝132，

∴△ABC是直角三角形，

∴此三角形的面积＝×5×12＝30．

故选：D．

8． 解：∵正比例函数y＝（1﹣m）x的图象过二、四象限，

∴1﹣m＜0，

解得：m＞1，

故选：B．

9． 解：A、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意；

B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项说法不正确，符合题意；

C、有三个角是直角的四边形是矩形，说法正确，不符合题意；

D、对角线互相平分且相等四边形是矩形，说法正确，不符合题意；

故选：B．

10． 解：将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出[20（60﹣x）+300]件，

根据题意得：（x﹣40）[20（60﹣x）+300]＝6080，

整理得：x2﹣115x+3304＝0，

解得：x1＝56，x2＝59．

∵要使顾客获得实惠，

∴x＝56．

故选：A．

11． 解：原式＝a﹣b﹣a

＝﹣b．

故选：C．

12． 解：设AF交BC于K，如图：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABK＝90°，

∴∠KAB+∠AKB＝90°，

∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，

∴∠KAB＝∠BCG，

∵∠AKB＝∠CKF，

∴∠BCG+∠CKF＝90°，

∴∠KFC＝90°，

∴AF⊥CG，故①正确；

∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，

∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，

又∵∠BEF＝90°，

∴四边形BEFG是矩形，

又∵BE＝BG，

∴四边形BEFG是正方形，故②正确；

如图，过点D作DH⊥AE于H，

∵DA＝DE，DH⊥AE，

∴AH＝AE，

∴∠ADH+∠DAH＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝90°，

∴∠DAH+∠EAB＝90°，

∴∠ADH＝∠EAB，

又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，

∴△ADH≌△BAE（AAS），

∴AH＝BE＝AE，

∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，

∴AE＝CG，

∵四边形BEFG是正方形，

∴BE＝GF，

∴GF＝CG，

∴CF＝FG，故③正确；

∴正确的有：①②③，

故选：A．

二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）

13． 解：∵x﹣2≥0，

∴x≥2．

故答案为：x≥2．

14． 解：2x2﹣4x＝2x（x﹣2）．

故答案为：2x（x﹣2）．

15． 解：∵函数y＝（m+2）x﹣3是一次函数，

∴m+2≠0，

解得：m≠﹣2．

故答案为：m≠﹣2．

16． 解：∵＝＝2，且是整数；

∴2是整数，即3n是完全平方数；

∴n的最小正整数值为3．

故答案为：3．

17． 解：如图：过点B作BD⊥OA于点D

∵点A的坐标为（6，0），

∴OA＝6

∵四边形OABC是菱形

∴OA＝AB＝6，AB∥OC

∴∠BAD＝∠AOC＝60°

∵∠BAD＝60°，BD⊥AO

∴∠ABD＝30°

∴AD＝AB＝3，BD＝AD＝3

∴OD＝OA+AD＝9

∴点B坐标（9，3）

故答案为：（9，3）

18． 解：连接BE，BD，

由勾股定理得：BD＝＝，

在Rt△MBN中，点E是MN的中点，

∴BE＝MN＝2，

∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，

∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，

∴DE的最小值为：﹣2，

故答案为：﹣2．

三．解答题（共8小题，满分72分）

19． 解：

＝2+2×1﹣2

＝2+2﹣2

＝2．

20． 解：∵4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，

∴（2x+1）（4x﹣3）＝0，

则2x+1＝0或4x﹣3＝0，

解得x1＝﹣，x2＝．

21． 解：（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如下：

（2）∵2×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×1×2＝，

∴△A1B1C1的面积为；

（3）作直线OB，则直线OB即为函数y＝x的图象，如图：

22． （1）证明：①当m＝0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；

②关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．

∵Δ＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，

∴无论m为任何实数，方程总有实数根．

（2）解：由题意得，Δ＝（m﹣1）2＝1，

解得m1＝0，m2＝2，

而m≠0，

∴m＝2．

23． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD．

∵DE＝CD，

∴AB＝DE．

∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）∵AD＝DE＝4，

∴AD＝AB＝4．

∴▱ABCD是菱形，

∴AB＝BC，AC⊥BD，BO＝，∠ABO＝．

又∵∠ABC＝60°，

∴∠ABO＝30°．

在Rt△ABO中，AO＝AB•sin∠ABO＝2，．

∴BD＝．

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AE∥BD，．

又∵AC⊥BD，

∴AC⊥AE．

在Rt△AOE中，．

24． 解：（1）设篮球的单价是x元，则足球的单价是（x﹣30）元，

由题意得：＝2×，

解得：x＝90，

经检验，x＝90是原方程的解，且符合题意，

∴x﹣30＝60，

答：篮球的单价是90元，足球的单价是60元；

（2）设采购篮球m个，则采购足球为（60﹣m）个，

由题意得：，

解得：，

又∵m为整数，

∴m的值可为41，42，43，44，45，46，

∴共有6种购买方案：

①采购篮球41个，足球19个；

②采购篮球42个，足球18个；

③采购篮球43个，足球17个；

④采购篮球44个，足球16个；

⑤采购篮球45个，足球15个；

⑥采购篮球46个，足球14个．

25． 解：（1）猜想：，

验证：；

（2）（n为任意自然数，且n≥2），

证明如下：＝（n为任意自然数，且n≥2）．

26． 解：∵直角△ABC中，∠C＝90°﹣∠A＝30°．

∵CD＝4t，AE＝2t，

又∵在直角△CDF中，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝2t，

故答案为：2t，2t；

（2）∵DF⊥BC

∴∠CFD＝90°

∵∠B＝90°

∴∠B＝∠CFD

∴DF∥AB，

由（1）得：DF＝AE＝2t，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，

即60﹣4t＝2t，

解得：t＝10，

即当t＝10时，▱AEFD是菱形；

（3）分两种情况：

①当∠EDF＝90°时，如图1，DE∥BC．

∴∠ADE＝∠C＝30°

∴AD＝2AE

∵CD＝4t，

∴DF＝2t＝AE，

∴AD＝4t，

∴4t＝60﹣4t，

∴t＝

②当∠DEF＝90°时，如图2，DE⊥EF，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD∥EF，

∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠DEA＝30°，

∴AD＝AE，

∴60﹣4t＝t，

解得t＝12．

综上所述，当t＝s或12s时，△DEF是直角三角形．