山东省滕州市第一中学2022-2023学年高二数学上学期第三次线上测试试题（Word版附解析）

高二年级第三次线上测试参考答案

         第I卷(选择题)(共60 分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设为等差数列的前项和，若，则的值为（     ）

A．14 B．28 C．36 D．48

【答案】D

【详解】因为为等差数列的前项和，所以故选：D

2. 双曲线的左顶点到其渐近线的距离为（     ）

A. 2 B.  C.  D. 3

【答案】C

【详解】因为双曲线的左顶点为，渐近线方程为

所以双曲线的左顶点到其渐近线的距离为故选：C

3. 经过两点，的直线方程都可以表示为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

4. 已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则（    ）

A．               B．             C．1               D．

【答案】B

【详解】解：因为，，所以

所以

,因为，所以，所以，故选：B

5. 冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列，已知，，且满足（），则该医院30天入院治疗流感的共有（    ）人

A. 225 B. 255 C. 365 D. 465

【答案】B

【详解】解：当为奇数时，，当为偶数时，，

所以，是以2为首项，2为公差的等差数列，

所以，故选：B

6. 已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【详解】解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，

则由椭圆定义，于是.

当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形，于是，

而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，

在第三象限交点时有.显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为.故选：A.

7. 在圆锥PO中，已知高PO＝2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M为原点．MO为x轴，过M点与MO垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【详解】因为，，所以，又为的中点，

所以，设抛物线方程为，则，所以，

解得，所以抛物线的焦点到准线的距离为.故选：B.

8. 已知，，其中是常数，且的最小值是，满足条件的点是双曲线一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【详解】试题分析：，

由题意，所以，又，故，

设弦的两端点为，则，，

两式相减得，所以，选D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.  已知数列：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【详解】对A，，，故A不正确；对B，，故B正确；

对C，由，，，…，，

可得，故C正确；

对D，该数列总有，，则，

，…，，

，，

故，故D正确．故选：BCD

10. 下列说法错误的是（    ）

A．若空间向量，则存在唯一的实数，使得

B．A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面

C．，，与夹角为钝角，则x的取值范围是

D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线

【答案】ACD

【详解】A选项，若是零向量，是非零向量，则，但不存在实数，使得，A选项错误.

B选项，，

，，所以P，A，B，C四点共面，B选项正确.

C选项，当时，，与夹角为，C选项错误.

D选项，如下图所示三棱锥，是空间的一个基底，但不共面，D选项错误.

故选：ACD

11. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ）

A. 点P的轨迹曲线是一条线段

B. 点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点

C. 不是“最远距离直线”

D. 是“最远距离直线”

【答案】BCD

【详解】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，

即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”，故P点轨迹是以为焦点，

直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误

点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确

要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，

把代入抛物线，消去y并整理得，

因为，无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确；

把代入抛物线，消去y并整理得，

因为，有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．

故选：BCD．

12. 如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，则在下列结论中正确的为（    ）

A. 若记直线的斜率分别为，则的大小是定值

B. 的面积是定值

C. 设，则

D. 为定值

【答案】BC

【详解】A，由题意，，设直线的方程为，，

联立方程组，得，所以，得，

所以，故A错误；

B，设直线的方程为，则直线的方程为，联立方程组，

得，不妨设点在第三象限，则，

可得，所以点到的距离，又，所以，故B正确；

C，联立方程组，可得，故，所以，

可得，所以到直线的距离，

所以，当且仅当，即时取等号.

所以，故C正确；

D，又，，所以，故D错误；

故选：BC.

第II卷(非选择题)(共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. （1）已知等比数列中，则______．

【答案】32

详解】试题分析：

 （2）. 在数列中，，，则______．

【答案】

【详解】由题意，得，，，，，

故数列是以4为周期的周期数列，则．故答案为：

（3）. 如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______．

【答案】

【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，

以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

因正三棱柱的所有棱长均为1，则，

，因动点P在线段上，则令，

即有点，，，，

因此点P到直线的距离

，当且仅当时取等号，

所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为.

（4）. 设为抛物线的焦点，、、为抛物线上不同三点，且，为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则___________.

【答案】3

【解析】如图，连接

设、、三点的坐标分别为,，,，,，则

抛物线的焦点的坐标为，

，，，

，

，点是的重心．．．故答案为：3．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

14. （满分10分）已知圆C的圆心在直线上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为．

（1）求圆 C 的方程；

（2）若圆C上至少有三个不同的点到直线的距离为，求实数 k 的取值范围．

【详解】（1）设圆心为，半径为r，根据题意得，解得，

所以圆C的方程为或．

（2）由（1）知圆C的圆心为或，半径为，

由圆C上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，

可知圆心到直线l：的距离．

即，所以，解得所以直线l斜率的取值范围为．

15. （满分12分）已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）取出数列的偶数项，并按从小到大的顺序排列构成新数列，写出的通项公式．

【详解】（1）当时，，

当时，由.

不适合，

所以数列的通项公式为；

（2）数列的偶数项从小到大排列为：、、、、，

所以，数列的偶数项成以为首项，以为公差的等差数列，

则的通项公式为．

16. （满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，M为线段上一点，，N为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若平面与平面所成的锐二面角的正弦值为，求直线与直线所成角的余弦值．

【详解】（1）证明：由已知得，取的中点T，连接，

由N为的中点知，．又，故，且，

∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，

∴平面．

（2）取的中点E，连接，由知，从而，．

以A为坐标原点，的方向为x轴的则正方向，建立如图所示的空间坐标系．

设，则，所以

设平面的法向量为，则，可取，

又平面的法向量为且平面与平面所成的锐二面角的正弦值为，

∴，解得．

所以，，所以，

设直线与直线所成角为，则．

所以直线与直线所成角的余弦值为．

17. （满分12分）已知数列的前n项和是，数列的前n项和是，若，再从三个条件：①；②，；③，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答（如果选择多组条件解答，则以选择第一组解答记分）．

（1）求数列，的通项公式；

（2）定义：，记，求数列的前n项和．

【详解】解：（1）由，得，又，则，

∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴，即．

若选①，当时，，当时，，∴．

若选②由得，所以数列是以20为首项，为公差的等差数列，∴．

若选③，则．

（2）由（1）知，            

∴当时，，

当时，，

∴

18. （满分12分）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点，△AOB的面积为2．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过P（，0）的直线与C相交于M，N两点，且2，求直线l的方程．

【详解】（1）易知直线AB的方程为，将该直线方程代入抛物线C的方程得，∴、，且|AB|＝2p，∴△AOB的面积为，∵p＞0，解得p＝2．因此，抛物线C的方程为y2＝4x；

（2）设直线MN的方程为，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），y2﹣4my+4＝0

△＝16m2﹣16＞0，解得m＜﹣1或m＞1．

，，∵，∴y1＝2y2，

由韦达定理得y1+y2＝3y2＝4m，则，，得，

因此，直线l的方程为，即或．

19. 已知椭圆的左、右焦点分别是、，其长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线、的斜率分别为、，若，证明：为定值，并求出这个定值；

（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求m的取值范围．

【详解】（1）由于，将代入椭圆方程，得．

由题意知，即．又，，所以，．

所以椭圆的方程为．

（2）设，，则直线的方程为．

联立得，整理得

由题意得△，即．

又，所以，故．

又知，所以，

因此为定值，这个定值为．

（3）设，，又，，

所以直线，的方程分别为，

．由题意知．

由于点在椭圆上，所以．所以．

因为，，可得，所以，因此．